Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 18: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Hình học 7

 Chuyên đề 18. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một 
đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.
2. Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một 
điểm (điểm này gọi là trọng tâm của tam giác).
 2
Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường 
 3
trung tuyến đi qua điểm đó (h.18.1).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Trên tia GB và GC lấy các 
điểm F và E sao cho G là trung điểm của FM đồng thời là trung điểm của EN. Chứng minh rằng ba đường 
thẳng AG, BE và CF đồng quy.
 Giải (h.18.2)
* Tìm cách giải.
Để chứng minh ba đường thẳng AG, BE và CF đồng quy ta 
có thể chứng minh chúng là ba đường trung tuyến của tam 
giác GBC.
* Trình bày lời giải.
Gọi D là giao điểm của AG và BC. Vì G là trọng tâm của 
 ABC nên AD là đường trung tuyến, suy ra DB DC.
 1 1
Ta có GF GM BM ;GE GN CN.
 3 3
 1 1 
Do đó GF FB BM ;GE EC CN .
 3 3 
Xét GBC có GD, BE, CF là ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy suy ra ba đường thẳng AD, BE, 
CF đồng quy.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Bx // AC . Lấy điểm 
D Bx và điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ABC và ADE có cùng 
một trọng tâm.
 Giải (h.18.3)
* Tìm cách giải
Tam giác ABC và ADE có chung đỉnh A nên muốn chứng minh chúng có cùng một trọng tâm, chỉ cần 
chứng minh chúng có chung một đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
* Trình bày lời giải.
Vì Bx // AC nên C· Bx B· CE (so le trong). Ta có CDG BDH (c.g.c) GC HB.
Theo tính chất ba đường trung tuyến của ABC ta có:
 3 3 3 3 3
AD GA GH; BE GB;CF GC BH.
 2 2 2 2 2
 AD BE CF 3
Suy ra .
 GH GB BH 2
Vậy ba đường trung tuyến AD, BE, CF tỉ lệ với ba cạnh của 
tam giác GHB, do đó ba đường trung tuyến này có thể là ba 
cạnh của một tam giác.
C. Bài tập vận dụng
• Chứng minh đồng quy, thẳng hàng
18.1. Chứng minh rằng trong một tam giác có hai cạnh không bằng nhau thì đường trung tuyến ứng với 
cạnh lớn hơn sẽ nhỏ hơn đường trung tuyến ứng với cạnh bé.
18.2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ AH  BC.Cho biết AB 10cm, AC 13cm, và AH 3cm.Gọi O 
là một điểm trên AH sao cho AO 2cm.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và HC.
Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
• Chứng minh trọng tâm
18.3. Cho tam giác ABC. Gọi D và E là hai điểm trên cạnh BC sao cho BD DE EC.Vẽ đường trung 
tuyến AO của tam giác ABC. Trên tia đối của tia OA lấy điểm F sao cho OF OA.
a) Chứng minh rằng D là trọng tâm của tam giác BAF; E là trọng tâm của tam giác CAF.
b) Tia AD cắt BF tại N, tia FE cắt AC tại M. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác AMN có cùng 
 trọng tâm.
18.4. Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng a // BC.Qua B vẽ đường thẳng b // AC và qua C vẽ 
đường thẳng c // AB.Các đường thẳng b và c cắt nhau tại A’ và cắt đường thẳng a lần lượt tại C’ và B’.
Chứng minh rằng ABC và A B C có cùng một trọng tâm.
18.5. Cho góc xOy và một điểm G ở trong góc đó. Hãy xác định điểm A Ox;B Oy sao cho G là trọng 
tâm của tam giác AOB.
• Tính độ dài các đường trung tuyến
18.6. Cho tam giác ABC cân tại A, AB 3 41cm, BC 24cm.
Tính độ dài đường trung tuyến BM.
18.7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại G. Biết 
GB 4 61cm,GC 2 601cm.Tính chu vi tam giác ABC.
18.8. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB2 2AC 2.
Chứng minh rằng các đường trung tuyến AM và CN vuông góc với nhau. Vậy AH là đường trung tuyến của ABN.
 2
Mặt khác AH 3cm, AO 2cm nên AO AH, suy ra O là trọng 
 3
tâm của ABN.
Ta có NM là một đường trung tuyến của NAB, do đó NM phải đi 
qua trọng tâm O. Vậy ba điểm M, N, O thẳng hàng.
18.3. (h18.8)
a) Xét BAF có OA OF nên BO là đường trung tuyến.
 1 2
 Điểm D nằm trên đường trung tuyến BO mà BD BC BO (vì BC 2BO ) nên D là trọng tâm 
 3 3
 của BAF.
 Chứng minh tương tự ta được E là trọng tâm của CAF.
b) Vì D là trọng tâm của BAF nên đường thẳng AD là một đường trung tuyến.
 1
 Vì AD cắt BF tại N nên FN BN BF. 1 
 2
 1
 Chứng minh tương tự ta được AM MC AC. 2 
 2
 Ta có OFB OAC (c.g.c).
 Suy ra BF AC 3 và O· FB O· AC.
 Từ (1), (2), (3) suy ra AM FN.
 AOM FON (c.g.c), suy ra OM ON 4 và ·AOM F· ON.
 Ta có ·AOM F· OM 180o (kề bù).
 Suy ra F· ON F· OM 180o , do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng. (5)
 Từ (4) và (5) suy ra O là trung điểm của MN do đó AO là đường trung tuyến của AMN.
 ABC và AMN có chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AO nên có cùng trọng tâm G.
18.4. (h.18.9)
Theo tinh chất đoạn chắn song song ta có AB BC, AC BC suy 
ra AB AC .
Chứng minh tương tự ta được BC BA và CA CB .
Xét A B C , ba đường thẳng A A, B B,C C là ba đường trung 
tuyến nên chúng đồng quy tại một điểm G.
Gọi M là giao điểm của AA với BC; N là giao điểm của BB với 
AC; P là giao điểm của CC với AB.
Ta có AMC A MB c.g.c suy ra MC MB. Vì G là trọng tâm của ABC nên
 3 3
BE BG .4 61 6 61 cm .
 2 2
 3 3
CF CG .2 601 3 601 cm .
 2 2
• Xét ABE vuông tại A ta có:
 AC 2 2
 BE 2 AB2 AE 2 AB2 6 61 2196. 1 
 4 
• Xét ACF vuông tại A ta có: 
 AB2 2
 CF 2 AF 2 AC 2 AC 2 3 601 5409. 2 
 4 
 5
 Từ (1) và (2), suy ra AB2 AC 2 7605.
 4
 Mặt khác AB2 AC 2 BC 2. 3 
 5
 Suy ra BC 2 7605 BC 2 6084 BC 78 cm .
 4
 AC 2 3AC 2
 Ta viết (3) thành AB2 6084. * 
 4 4
 AC 2
 Mà theo (1) thì AB2 2196. ** 
 4
 3
 So sánh (*) và (**) ta được AC 2 6084 2196 3888
 4
 AC 2 5184 AC 72 cm .
 Từ đó ta tính được AB2 BC 2 AC 2 6084 5184 900
 AB 30cm.
 Vậy chu vi ABC là: 78 72 30 180 cm .
18.8. (h.18.13)
Đặt AC b.Áp dụng định lí Py-ta-go cho ABC vuông tại A ta có:
 2
BC 2 AB2 AC 2 2AC 2 AC 2 3AC 2 3b2 3b 
 1 3
 BC 3b AM BC b.
 2 2
Áp dụng định lí Py-ta-go cho ACN vuông tại A ta có:
 2
 2 2 2
 2 2 2 2 AB 2 2AC 6b 6 6
CN AC AN AC AC b CN b.
 4 4 4 2 2
Gọi G là trọng tâm của ABC , ta có 18.11. (h.18.16)
Xét ABE có AC là đường trung tuyến. Mặt khác D AC và 
 2
AD AC nên D là trọng tâm của ABE.
 3
Suy ra đường thẳng BD chứa đường trung tuyến ứng với cạnh AE, 
do đó MA ME.
Ta có AMN EMC c.g.c AN EC.Do đó AN BC (vì BC EC ).
18.12. (h.18.17)
• Chứng minh mệnh đề nếu AB GB AC GC thì ABC cân tại A.
 Ta chứng minh bằng phản chứng.
 Giả sử AB AC. 1 
 Vẽ tia AG cắt BC tại D.
 Khi đó AD là đường trung tuyến nên DB DC.
 Xét ADB và ADC có: AD chung; DB DC và 
 AB AC nên ·ADB ·ADC (định lí hai tam giác có hai 
 cặp cạnh bằng nhau).
 Xét GDB và GDC có: GD chung; DB DC và G· DB G· DC (chứng minh trên) nên 
 GB GC. 2 
 Từ (1) và (2) suy ra AB GB AC GC (trái giả thiết).
 Vậy điều giả sử AB AC là sai. (*)
 Nếu AB AC ta cũng đi đến mâu thuẫn vậy AB AC là sai (**)
 Từ (*) và (**) suy ra AB AC do đó ABC cân tại A.
• Chứng minh mệnh đề nếu ABC cân tại A thì AB GB AC GC.
 Gọi E là giao điểm của BG vơi AC; F là giao điểm của CG với AB.
 Khi đó EA EC; FA FB.
 2 2
 ABE ACF c.g.c BE CF , do đó BE CF, dẫn tới GB GC.
 3 3
 Suy ra AB GB AC GC.
18.13. (h.18.18)
 1
• Chứng minh mệnh đề nếu µA 90o thì AM BC.
 2
 Ta chứng minh bằng phản chứng.
 1
 Giả sử AM BC, khi đó µA 90o , trái giả thiết.
 2