Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 18: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số - Toán 7

 Chuyên đề 18
 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Cho hàm số f x xác định trên tập hợp D :
a) Nếu f x m mà m là một hằng số và f x m tại x x0 D thì giá trị nhỏ nhất của f x là m , 
đạt được tại x x0 . 
Ta viết min f x m tại x x0 .
b) Nếu f x n mà n là một hằng số và f x n tại x x0 D thì giá trị lớn nhất của f x là n , đạt 
được tại x x0 . Ta viết max f x n tại x x0 .
B. Một số ví dụ
1. Dạng bài đưa biểu thức về dạng f x m hoặc f x n 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A x 19x 5 2 1890 ;
b) B x 3x 15x 10 ;
c) C x 30 4x 1975 ;
 2019
d) D x x2018 x2020 2019 . 
 Tìm cách giải: Tìm giá trị nhỏ nhất của f x ta tìm hằng số m trong tập xác định D của f x mà 
f x m . Sau đó tìm x x0 D để f x0 m .
a) 19x 5 2 là bình phương của một biểu thức nên giá trị của nó luôn không âm x . Do đó tìm được 
 19x 5 2 1890 ? . Dấu “=” xảy ra khi nào? tại x ? 
b), c) Điều kiện để biểu thức có nghĩa?
Lưu ý: Căn bậc hai không âm của a được kí hiệu là a . Khi viết a phải có a 0 .
d) Nhận xét về bậc của các lũy thừa của x và giá trị của cả biểu thức. 
 Giải
a) Do 19x 5 2 0,x nên 19x 5 2 1890 1890,x .
 2 5
A x 1890 19x 5 0 x .
 19
 5
Ta có A x 1890,x ; dấu “=” xảy ra x .
 19 1 1
(theo tính chất lấy nghịch đảo: Cho hai số dương a và b, nếu a b thì ). Từ đó suy ra 
 a b
 2016 2016
 224 . 
 y 5 2 9 9
 Giải
a) E y 1945 2y 9 2
Ta có 2y 9 2 0,y nên 1945 2y 9 2 1945,y .
Do đó E y 1945,y . Mặt khác, E 4,5 1945 nên E y 1945,y ; dấu “=” xảy ra y 4,5 . 
Vậy max E( y) 1945 tại y 4,5 .
 2016 2 2
b) F y , y , ta có: y 5 0 y 5 9 9 
 y 5 2 9
 1 1
 .
 y 5 2 9 9
 2016 2016 2016 2016
Từ đó suy ra: . Mặt khác, F 5 224
 y 5 2 9 9 5 5 2 9 9
Nên F y 224y ; dấu “=” xảy ra y 5 .
Vậy max F y 224 tại y 5 . 
2. Dạng bài mà biến số có giá trị nguyên (hoặc tự nhiên)
Ví dụ 3: Tìm số nguyên x để:
 2015
a) Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất với A ;
 2019 x
 1930
b) Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất với B . 
 x 5
 Tìm cách giải: Với x Z thì A và B là những phân số.
Với các phân số dương có tử số dương không đổi thì phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu số dương nhỏ 
nhất.
Với các phân số âm có tử số dương không đổi thì phân số có giá trị nhỏ nhất khi đối của phân số đó có 
giá trị lớn nhất.
 Giải
a) Điều kiện x 2019 . Ta xét hai trường hợp sau:
* Nếu x 2019 thì 2019 x 0 , mà 2015 0 nên A 0 .
* Nếu x 2019 thì 2019 x 0 , mà 2015 0 nên A 0.
Do đó muốn Amax thì phải chọn x sao cho A 0 , tức là chọn x 2019 . b) Điều kiện y 25 , ta có:
 9 50 2y 9 2 y 25 9
D 2 F 2 .
 y 25 y 25 y 25
Ta xét hai trường hợp sau:
* Nếu y 25 thì y 25 0 mà 9 0 nên F 0 .
* Nếu y 25 thì y 25 0 mà 9 0 nên F 0 .
Do đó muốn Fmin phải chọn y sao cho F 0 , tức là chọn y 25.
 9 
Khi đó F khi số đối của F hay 25 y do 9 là hằng số dương.
 min max min
 25 y max
Ta có 25 y 0 mà y Z nên 25 y 25 y 1 hay y 24 .
 min
 59 2y
Vậy D đạt giá trị nhỏ nhất là 11 y 24. 
 y 25
3. Dạng tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức chứa nhiều biến.
Ví dụ 5:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M x, y, z x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 2016
P x, y ;
 x 2018 2 y 2019 2 224
c) Tìm giá trị lớn nhất của Q x, y xy biết rằng 3 x y 2 5xy 180 . 
 Tìm cách giải:
a) Biểu thức có ba biến, xác định với mọi giá trị của x,y và z.
Lưu ý: x 1 2 0,x R; y 2 2 0,y R 
và z 3 2 0z R .
b) Lưu ý tính chất nghịch đảo của số dương. Với a và b là hai số dương:
 1 1
Nếu a b thì .
 a b
c) Từ 3 x y 2 5xy 180 tìm hệ thức Q x, y nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số.
 Giải
a) M x, y, z x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 .
Do x 1 2 0,x R; y 2 2 0,y R; z 3 2 0,z R .
Nên x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 4,x R,y R,z R . 7 1 1 1 1 1
Với a 2 ta có 1 b 3;4 (2)
 10 2 b 5 b 2
Từ (1) và (2), ta có: min a b 2 3 5 
 2020
Vậy max A 404 . 
 5
C. Bài tập vận dụng
1. Dạng bài đưa biểu thức về dạng f x m hoặc f x n 
18.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) f x 1,5x 4,5 2 12 ;
b) g x 2x 3 3x 6 16 ;
c) h x 64 2x 23 ;
 2015
d) p x x2 x4 x6 ... x98 x100 2 22015 . 
18.2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A y 15 30 2y 2 ;
 2015
b) B y ;
 4 5y 2 2018
 2 4 6 ... 198 200
c) C y ;
 10y 5 2 1 3 5 ... 17 19 2 100
 2
d) D y 5 2y 4 6 . 
18.3.
 5x2 4x2 10
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S ;
 x4 2
 2x4 4x2 8
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T ;
 x4 4
c) Cho a là hằng số và a 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 8y8 2a y 3 2 2a2
M . 
 4y8 a2
2. Dạng bài mà biến số có giá trị nguyên (hoặc tự nhiên)
18.4. Tìm số nguyên x để:
 16
a) Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất với A ;
 6 x
 1945
b) Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất với B . 
 x 1930 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
18.1.
a) min f x 12 x 3 .
b) Điều kiện để căn thức có nghĩa: x 2 
Ta có: g x 2x 3 3x 6 16 20 do x 2 và 3 3x 6 0 .
Dấu “=” xảy ra x 2. Vậy min g x 20 x 2 .
c) Điều kiện để căn thức có nghĩa: 64 2x 0 x 32
với x 32 thì 64 2x 0 . Ta có h x 64 2x 23 23 .
Dấu “=” xảy ra x 32 . Vậy min h x 23 x 32 .
d) Ta có x thì x2 0; x4 0; x6 0;...; x98 0; x100 0; 
 2015
nên p x x2 x4 x6 ... x98 x100 2 22015 22015 22015 22016 .
Dấu “=” xảy ra x 0 . 
Vậy min p x 22016 x 0
18.2.
a) max A y 15 tại y 15 .
b) y ta có 4 5y 2 0 4 5y 2 2018 2018 .
 2015 2015
Từ đó suy ra B y .
 4 5y 2 2018 2018
Dấu “=” xảy ra y 0,8
 2015
Vậy max B y y 0,8 .
 2018
c) Ta có 2 4 6 ... 198 200 2 200 .100 : 2 10100 
 2 2
 1 3 5 ... 17 19 100 1 19 .10 : 2 100 10100 
max C y 1 y 0,5 ;
d) Điều kiện để 2y 4 có nghĩa là 2y 4 0 y 2 .
 2
Ta có với y 2 thì 2y 4 6 0 
 2
Do đó 5 2y 4 6 5 . Dấu “=” xảy ra y 5 .
Vậy max D 5 tại y 5 . 
18.3. 2 11n 47 22n 94 11 2n 9 5 11 5
P 
 2 2n 9 2 2n 9 2 2n 9 2 2 2n 9 
Đáp số: max P 8 n 5.
18.7.
a) f x, y x 2 2 2y 1 2 25 25.
 x 2 0 x 2
Dấu “=” xảy ra .
 2y 1 0 y 0,5
 x 2
Vậy min f x, y 25 
 y 0,5
b) g x, y x y 1 2 y 3 2 4 4 .
 y 3 0 y 3
Dấu “=” xảy ra .
 x y 1 0 x 2
 x 2
Vậy min f x, y 4 
 y 3
 2
c) h x, y 
 6 2x y 2 x 1 2
 2 2 x 1
Ta có: x; y thì 6 2x y x 1 6 . Dấu “=” xảy ra 
 y 2
 1 1
Do đó: 0 
 6 2x y 2 x 1 2 6
 2 1
 0 
 6 2x y 2 x 1 2 3
 1 x 1
Vậy min h x, y .
 3 y 2
d) x; y; z thì k x, y, z x y 2z 2 x y 3 4 y 1 6 5 5 .
 x y 2z 0 x 4
Dấu “=” xảy ra x y 3 0 y 1 .
 y 1 0 z 2,5
 x 4
Vậy min k x, y, z 5 y 1 . 
 z 2,5
18.8. 
a) A x, y 2017 11y 7 2 x 100 2 2017 .