Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 17: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - Hình học 7

 Chuyên đề 17. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Bất đẳng thức tam giác
 Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu 
 và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
 Trong hình 17.1 ta có: b c a b c.
 Đảo lại, nếu b c a b c thì a, b, c
 có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
2. Bất đẳng thức tam giác mở rộng
 Với ba điểm M, A, B bất kì ta luôn có: MA MB AB.
 Dấu “=” xảy ra M thuộc đoạn thẳng AB.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm O nằm giữa hai đầu mỗi đoạn thẳng. Biết 
AB 3cm,CD 5cm.Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng AC và BD ít nhất cũng có một đoạn thẳng 
có độ dài nhỏ hơn 4cm.
 Giải (h.17.2)
* Tìm cách giải.
Muốn chứng minh trong hai đoạn thẳng AC
và BD ít nhất cũng có một đoạn thẳng có độ
dài nhỏ hơn 4cm, ta chứng minh tổng:
AC BD 8cm.
Ta thấy AC là một cạnh của tam giác AOC,
BD là một cạnh của tam giác BOD. Vậy
cần vận dụng quan hệ giữa ba cạnh của tam
giác để đánh giá AC và BD. Hình 17.2
* Trình bày lời giải.
Xét AOC có AC OA OC. Xét BOD có BD OB OD.
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: AC BD OA OB OC OD dẫn tới 
AC BD AB CD. Do đó AC BD 3 5 8 (cm).
Suy ra trong hai đoạn thẳng AC và BD ít nhất cũng có một đoạn thẳng nhỏ hơn 4cm.
* Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã dung một tính chất của hai bất đẳng thức cùng chiều: Nếu a b và 
c d thì a c b d.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, mỗi cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác 
ấy.
 Giải (h.17.3) C. Bài tập vận dụng
• Tính độ dài
17.1. Một tam giác cân có chu vi là 40cm và một cạnh có độ dài 10cm. Tính độ dài của hai cạnh còn lại.
17.2. Tính chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó bằng:
a) 11cm và 20cm; b) 11cm và 23 cm.
17.3. Ba cạnh của một tam giác có số đo là ba số chẵn liên tiếp (tính bằng xen-ti-mét). Tam giác đó có 
chu vi nhỏ nhất là bao nhiêu?
17.4. Một đoạn dây thép có độ dài 25cm.
Hỏi có thể uốn nó thành một hình tam giác có một cạnh là:
 a) 13cm; b) 12cm?
• So sánh một độ dài với chu vi của tam giác
17.5. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Hãy so sánh độ dài BC với chu vi tam giác AMN.
17.6. Chứng minh rằng cạnh lớn nhất của một tam giác thì:
a) Nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác;
 1
b) Lớn hơn hoặc bằng chu vi của tam giác.
 3
17.7. Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA và AB. Chứng minh rằng tổng 
AD BE CF lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi tam giác.
17.8. Cho hình 17.5. Chứng minh rằng:
AB BC CD DE EA AD DB BE EC CA.
17.9. Cho hình 17.6.
 a) Tìm điểm O sao cho tổng các khoảng cách từ O đến A, B, C, D có độ dài nhỏ nhất.
 AB BC CD DA
 b) Chứng minh rằng AC BD .
 2
17.10. Cho tam giác ABC có chu vi là 2p. Lấy điểm M bất kì nằm trong tam giác.
Chứng minh rằng p MA MB MC 2 p. Chu vi tam giác cân là: 11 23 23 57 cm .
• Nếu cạnh đáy dài 23cm thì cạnh bên dài 11cm.
 Ba độ dài 23, 11, 11 không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Vậy trường hợp này bị loại.
17.3. Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là n, n + 2 và n + 4 (n là số tự nhiên chẵn).
Theo quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ta có: n n 2 n 4 n 2.
Số chẵn nhỏ nhất lớn hơn 2 là 4.
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4, 6, 8 (cm).
Chu vi nhỏ nhất của tam giác là 4 6 8 18 cm .
17.4.
a) Nếu một cạnh dài 13cm thì tổng hai cạnh còn lại là: 25 13 12 cm .
 Ta thấy một cạnh lớn hơn tổng của hai cạnh còn lại, không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Vậy 
 không thể uốn đoạn dây thép trên thành một hình tam giác có một cạnh là 13cm.
b) Nếu một cạnh dài 12cm thì tổng hai cạnh còn lại là: 25 12 13 cm .
 Đoạn dây thép 13cm này có thể uốn thành hai đoạn chẳng hạn 8cm và 5cm. Rõ ràng 8 5 12 8 5 
 thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
 Vậy có thể uốn đoạn dây théo 25cm thành một tam giác có một cạnh 12cm.
17.5. (h.17.7)
Xét MBC ta có: BC MB MC. 1 
Xét MNC ta có: MC MN NC. 2 
Từ (1) và (2) suy ra BC MB MN NC.
Do đó BC MA MN NA (vì MA MB và NA NC ).
Suy ra BC chu vi AMN.
17.6. Gọi a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC.
Giả sử a là cạnh lớn nhất: a b;a c.
a) Theo quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ta có a b c.
 Cộng a vào hai vế của bất đẳng thức này ta được a a a b c, do đó 2a a b c, suy ra 
 a b c
 a .
 2
b) Vì a b;a c nên 2a b c.
 a b c
 Cộng a vào hai vế ta được 3a a b c.Suy ra a .
 3
17.7. (h.17.8)
• Xét ABD và ACD, ta có: AD BD AB; AD CD AC. Do đó tổng MA MB MC MD nhỏ nhất bằng AC BD khi và chỉ khi M là giao điểm O của AC và 
 BD.
b) Xét các tam giác AOB, BOC, COD, DOA ta có:
 OA OB AB;OB OC BC;
 OC OD CD;OD OA DA.
 Cộng từng vế bốn đẳng thức trên ta được:
 2 OA OB OC OD AB BC CD DA.
 Suy ra 2 AC BD AB BC CD DA.
 AB BC CD DA
 Do đó AC BD .
 2
17.10. (h.17.11)
• Chứng minh MA MB MC p
 Xét các tam giác MAB, MBC và MCA ta có:
 MA MB AB;MB MC BC;
 MC MA CA.
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:
 2 MA MB MC AB BC CA.
 AB BC CA 2 p
 Suy ra MA MB MC p. * 
 2 2
• Chứng minh MA MB MC 2 p
 Gọi D là giao điểm của tia CM với cạnh AB. Xét MDB có MB MD DB.
 Cộng thêm MC vào hai vế ta được MB MC MC MD DB.
 Suy ra MB MC CD DB. 1 
 Xét ADC có CD AD AC.
 Cộng thêm DB vào hai vế ta được CD DB DB AD AC.
 Suy ra CD DB AB AC. 2 
 Từ (1) và (2) suy ra MB MC AB AC.
 Chứng minh tương tự ta được: MC MA BC BA;
 MA MB CA CB.
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:
 2 MA MB MC 2 AB BC CA .
 Suy ra MA MB MC AB BC CA 2 p. ** 
 Từ (*) và (**) suy ra p MA MB MC 2 p. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không
chứa B ta vẽ tia Ax sao cho C· Ax B· AK.
Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD AK.
 AMK AND (c.g.c) KM DN.
Ta có K· AD K· AC C· AD K· AC B· AK 60o.
 AKD có AK AD và K· AD 60o nên là tam giác đều 
 KA KD.
Gọi O là giao điểm của AC với KD.
Xét ba điểm N, K, D ta có KN DN KD (dấu “=” xảy ra N  O ).
Do đó KN DN KA (vì KA KD ).
17.15. (h.17.16)
Đặt AC b . Theo bất đẳng thức tam
giác ta có 3 2 b 3 2 hay 1 b 5.
Vì b nguyên nên b 2;3;4.
Mặt khác, tam giác ABC không có hai
cạnh nào bằng nhau nên b 4cm.
Vì M xy nên ta chứng minh được
MB MC.
Ta có MA MB MA MC.
Xét ba điểm M, A, C ta có MA MC AC 4cm.
(Dấu “=” xảy ra M  O với O là giao điểm của xy với AC).
Suy ra MA MB 4cm. Do đó tổng MA MB có giá trị nhỏ nhất là 4cm khi và chỉ khi M là giao điểm 
của xy với AC.