Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 17: Đa thức, đa thức một biến, cộng trừ đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến - Toán 7

 Chuyên đề 17
 ĐA THỨC – ĐA THỨC MỘT BIẾN
 - CỘNG TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN
 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
* Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.
* Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
2. Để cộng (hay trừ) các đa thức ta dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép tính.
3. Phép cộng các đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp.
4. Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.
* Đa thức một biến x được ký hiệu f x ; g x  hoặc A x ; B x .
* Mỗi số được coi là một đa thức một biến.
* Giá trị của đa thức một biến f x tại x a được ký hiệu f a 
* Đa thức một biến (sau khi rút gọn) thường được sắp theo lũy thừa giảm dần hay tăng dần của biến.
* Bậc của đa thức một biến (khác với đa thức không) là số mũ cao nhất của biến.
5. Đa thức một biến bậc n có dạng thu gọn:
 n n 1 n 2 2 1
f x an .x an 1.x an 2 .x ... a2 .x a1.x a0 (với an 0 )
Trong đó a1; a2 ; a3 ; ...; an 1; an là các hệ số; a0 là số hạng độc lập hay hệ số tự do.
* f x ax b a 0 là nhị thức bậc nhất.
* f x ax2 bx c a 0 là tam thức bậc hai.
6. Để cộng hay trừ hai đa thức một biến, ta có hai cách:
a) Dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép tính.
b) Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến, rồi đặt phép tính 
theo cột dọc tương tự như các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).
7. Nếu tại x a , đa thức P x có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x a ) là một nghiệm của đa thức đó.
* a là nghiệm của P x P a 0 .
* Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,  hoặc không có nghiệm.
* Số nghiệm số của một đa thức không vượt quá bậc của nó.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thu gọn các đa thức sau và cho biết bậc của mỗi đa thúc:
a) A 15x2 y3 3xy3 16x2 y3 16xy3 15x2 y3 18xy3 3,75x3 y4 16x2 4xy 5y2 2x2 8y2 13x2 9xy 5y2
 16x2 13x2 2x2 4xy 9xy 5y2 8y2 5y2 
 27x2 13xy 18y2
Ví dụ 3: Cho đa thức 
A x bx b 2 x5 a 12 x6 0,5ax3 5x2 bx3 4cx4 10 11x5 6x6 ax c x 1 
a) Viết đa thức dưới dạng thu gọn với các hệ số bằng số, biết rằng A x có bậc là 5; hệ số cao nhất là 19 
và hệ số tự do là -15;
b) Tính 3A 1 2A 1 .
✓ Tìm lời giải: a) Bậc của đa thức một biến (khác với đa thức không) là số mũ cao nhất của biến. A x 
 có bậc là 5 nên hệ số của x6 trong đa thức rút gọn phải là 0. Hệ số cao nhất chính là hệ số của x5 và 
 hệ số tự do chính là c 10 của đa thức rút gọn. Từ đó tìm ra a, b, c.
b) A m là giá trị của A x khi thay x m .
 Giải
a) A x 6x6 a 12 x6 11x5 b 2 x5 4cx4 0,5ax3 bx3 5x2 a c x bx c 10
 a 18 x6 b 9 x5 4cx4 0,5a b x3 5x2 a c b x c 10 
 a 18 0 a 18
Ta có b 9 19 b 10
 c 10 15 c 5
A x 19x5 20x4 x3 5x2 33x 15
b) A 1 19 20 1 5 33 15 11
A 1 19 1 5 20 1 4 1 3 5 1 2 33 1 15
 19 20 1 5 33 15 91
Nên 3A 1 2A 1 3.11 2. 91 33 182 215 .
Ví dụ 4: Cho f x 2x 10 x3 1 20x6 5 x7 x5 1,5x4 10 6x
và g x 2 x3 x5 5x7 7x2 11x3 2,5x4 9 4,2x2 1,5x4 13x8 .
a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của các đa thức;
b) Tính g x f x theo cách bỏ dấu ngoặc;
c) Tính g x f x theo cách đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột. B 1 a.13 b.12 c.1 2 8 a b c 6 3c b 6 (1)
B 1 a 1 3 b 1 2 c 1 2 2 a b c 0
 3c b 0 (2)
Từ (1) và (2) 2b 6 b 3
Thay b 3 vào (1) ta có: 3c 3 6 c 1. Do a 2c nên a 2 .
Vậy đa thức là B x 2x3 3x2 x 2 .
Ví dụ 6: Cho đa thức C x 2015x2 mx n (m và n là các hằng số)
 C 2 C 1 
Biết C 1 2018 và C 2 8069 . Tính .
 671
✓ Tìm cách giải: Từ C 1 2018 và C 2 8069 ta tìm được các hệ số m và n của đa thức.
Từ đó tính C 1 ; C 2 và giá trị biểu thức cần tìm.
 Giải
Ta có C 1 2015 1 2 m 1 n 2018 n 3 m
và C 2 2015.22 m.2 n 8069 2m n 9 thay n 3 m vào ta có
2m 3 m 9 3m 6 m 2; n 5 .
Vậy C x 2015x2 2x 5 .
C 1 2015.12 2.1 5 2022 .
C 2 2015. 2 2 2. 2 5 8061.
C 2 C 1 8061 2022
 9 .
 671 671
Ví dụ 7: Hai đa thức đồng nhất (ký hiệu  ) là hai đa thức có giá trị bằng nhau với mọi giá trị của biến. 
hãy xác định a, b, c để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất:
f x ax2 10 x x2 76x 36x2 2x 2019
g x 15x2 3 b x 8x 9x2 c 2018 .
✓ Tìm lời giải: Để hai đa thức đồng nhất (tức là hai đa thức có giá trị bằng nhau với mọi giá trị của biến) 
 thì các hệ số tương ứng với mỗi lũy thừa cùng bậc của biến phải bằng nhau. Do đó trước hết rút gọn 
 từng đa thức và tìm a, b, c để hệ số tương ứng của mỗi lũy thừa cùng bậc của biến của hai đa thức 
 bằng nhau.
 Giải Vậy giá trị của đa thức f x tại x 1 bằng tổng các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn của biến trừ đi 
tổng các hệ số của các lũy thừa bậc lẻ của biến.
C. Bài tập áp dụng
 1 1
17.1. Cho hai đa thức: E 2,5x2 y5 6xy y5 và F 7,5x2 2xy 1,5y5 .
 6 3
a) Tính E F sau đó tìm giá trị của tổng tại x 2; y 1;
b) Tính E F sau đó tìm giá trị của hiệu tại x y 1; y 2 1,
17.2*.
a) Thu gọn đa thức sau:
D x2 2x2 y 2x2 4x2 y 3x2 6x2 y ... 10x2 20x2 y 
b) Cho g x 1 2x 2017 với mọi x
Tính tổng g x g x 1 g x 2 ... g x 99 .
17.3. Tìm các đa thức M và N biết:
a) M 15x2 22y2 16x2 25xy 32y2 ;
b) 47,5x2 y 6,8xy2 1,2xy N 1,2xy 22,5x2 y 1,8xy2 .
17.4. Cho các đa thức: T 2x2 y2 2xy 2x 5y 3;
 U 2x2 2y2 4xy 2x 4y 3
Tìm đa thức R; S và V sao cho:
a) S U T ;
b) T V U ;
c) R T U 5x2 4xy y2 .
17.5. Cho đa thức P x 12,5 3,5x5 28x3 15x6 8x3 16x 5x4 4,5x5 4x2 19x8
a) Thu gọn và sắp xếp đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do, hệ số của x5 , hệ số của x7 trong P x với 
P x 12,5 3,5x5 28x3 15x6 8x3 16x 5x4 4,5x5 4x2 19x8 .
17.6. Cho các đa thức: c) Tính f n g n với n là hằng số.
17.11. Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) x 1 x 2 x 3 ... x 99 x 100 ;
b) 3x2 8x .
17.12. Chứng minh các đa thức f x 2x2 5,2 và g x x 3 2 8 không có nghiệm.
17.13. Tìm nghiệm các đa thức sau:
a) h x x 2,5 x 2,5 ;
b) k x 2x 1 x 7 x 5 2x 9 4x 30 
c) p x x 2 5 x2 9 
d) q x x2 8 .
17.14. Chứng minh:
a) Nếu x 1 là một nghiệm của đa thức
 10 9 2
A x a10 x a9 x ... a2 x a1x a0 thì a10 a9 ... a2 a1 a0 0 ;
 10 9 3 2
b) Nếu đa thức B y b10 y b9 y ... b3 y b2 y b1 y b0
có b10 b8 b6 b4 b2 b0 b9 b7 b5 b3 b1 thì y 1 là một nghiệm của đa thức.
17.15. Tìm giá trị của m biết đa thức:
f y 14y4 5my3 6my2 8m y 1 có một nghiệm là y 2 .
17.16*. Cho đa thức f x ax4 bx3 cx2 dx 4a a 0 .
a) Tìm quan hệ giữa các hệ số a và c; b và d của đa thức f x để f x có hai nghiệm là x 2 và x 2. 
Thử lại với a 3; b 4 ;
b) Với a 1; b 1. Hãy cho biết x 1 và x 1 có phải là nghiệm của đa thức vừa tìm?
17.17. Hãy xác định a, b, c, d để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất:
f x 16x3 2bx2 8x 5bx 10 x2 2x 24 ;
g x a 6 x3 15x2 2 3b x 3cx x2 6. c d . a) Tính h x f x g x ;
b) Tìm nghiệm của đa thức h x ;
c) Tính giá trị của đa thức h x 
 2 2 3 3 2010 2010
 2 2011 3 3 3 3 
với x 9 81 81 81 ... 81 .
 4 5 6 2013 
17.25. Cho đa thức f x ax2 bx c
a) Tính f 1 ; f 2 ;
b) Cho biết 5a b 2c 0 . Chứng minh rằng f 1 f 2 0 ;
c) Cho a 1; b 2; c 3. Chứng minh rằng khi đó đa thức f x không có nghiệm.
17.26. Cho đa thức P x thỏa mãn P x 3P 2 5x2 với mọi giá trị của x . Tính P(3).
 (Đề thi Olympic Toán Tuổi Thơ 2012)
17.27. Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d với a là số nguyên dương, biết: f 5 f 4 2012 . 
Chứng minh f 7 f 2 là hợp số.
 (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, năm học 2012-2013).
17.28. Tìm nghiệm của đa thức f x 3 x 1 2x .
 (Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc, năm học 2012-2013) 200x 211800
17.3.
a) M 16x2 25xy 22y2 15x2 22y2 x2 25xy
b) N 47,5x2 y 6,8xy2 1,2xy 1,2xy 22,5x2 y 1,8xy2 
 25x2 y 5xy2
17.4.
a) S T U 4x2 3y2 6xy y .
b) V U T y2 2xy 4x 9y 6 .
c) R 5x2 4xy y2 U T 5x2 4xy y2 V
 5x2 6xy 4x 9y 6
17.5.
a) P x 19x8 15x6 x5 5x4 20x3 4x2 16x 12,5;
b) Hệ số cao nhất là 19; hệ số tự do là 12,5; hệ số của x5 là 1; hệ số của x7 là 0
17.6.
 5
a) Q x 6x8 2,4x7 x5 4x4 15,4x3 7,2x2 6x 5 b 
 3
 7
G x ax8 5,6x7 7,5x6 x5 6x4 x2 2x 3 a 4b 
 3
Q x G x 2 a 5b 8x 8,2x2 15,4x3 2x4 4x5 7,5x6 8x7 a 6 x8 .
b) Ta có: a 6 2018 a 2012 .
2 a 5b 2018 5b 2018 2012 2 b 805,6 .
 x 1
17.7. x 1 
 x 1
a) f 1 1 2 3 ... 2018 2019 1 2019 .2019 2039190 . 
f 1 1 2 3 4 ... 2017 2018 2019 1009 2019 1010
 2 202 .101
b) g 1 2 4 6 ... 200 202 10302
 2