Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 16: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - Hình học 7

 Chuyên đề 16. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ 
HÌNH CHIẾU
A. Kiến thức cần nhớ
• Khái niệm: Trong hình 16.1
- Điểm H gọi là hình chiếu của A trên đường thẳng d.
- Đoạn thẳng AH gọi là đường vuông góc, đoạn thẳng 
 AB gọi là đường xiên.
- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB 
 trên đường thẳng d. 
• Định lí 1. Trong các đường xiên và đường vuông góc 
 kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường 
 thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
 Trong hình 16.1 ta có AH AB.
 Bổ sung: Trong hình 16.2: A d;M d; AH  d.
 Ta có AM AH (dấu “=” xảy ra M  H ).
• Định lí 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm 
 ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn;
- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;
- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng 
 nhau. Ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai 
 đường xiên bằng nhau.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai đoạn thẳng AB và CD song song và bằng nhau. Một đường thẳng xy không song song, 
không vuông góc với hai đoạn thẳng đó. Hãy so sánh các hình chiếu của AB và CD trên đường thẳng xy.
 Giải (h.16.3)
* Tìm cách giải.
Muốn có hình chiếu của AB và CD trên xy, ta vẽ 
AA , BB ,CC , DD cùng vuông góc với xy. Ta phải 
chứng minh A B C D . Muốn vậy ta tạo ra hai 
tam giác bằng nhau bằng cách vẽ đường phụ.
* Trình bày lời giải.
Vẽ AA  xy, BB  xy, CC  xy, DD  xy. Khi đó A B và C D lần lượt là hình chiếu của AB và CD 
trên xy. AC, còn AK và AN là các hình chiếu
của chúng trên AC.
Vì AK AN nên BK BN (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) (1)
Mặt khác, MN  BC và MB MC nên NB NC. (2)
Từ (1) và (2), suy ra: BK NC.
C. Bài tập vận dụng
• Đường vuông góc và đường xiên
16.1. Cho tam giác ABC. Vẽ AD  BC, BE  AC,CF  AB D BC, E AC, F AB .Chứng minh rằng 
tổng AD BE CF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.
16.2. Cho tam giác ABC, góc A tù. Qua A vẽ đường thẳng d cắt cạnh BC tại O. Chứng minh rằng tổng 
các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng d luôn nhỏ hơn hoặc bằng BC.
16.3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng trung bình cộng 
các hình chiếu của AB và BC trên đường thẳng BM thì lớn hơn AB.
16.4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng xy không cắt cạnh BC. Gọi D và E thứ 
tự là hình chiếu của B và C trên xy.
Xác định vị trí của xy để BD CE BC.
16.5. Cho tam giác ABC và một điểm M ở trong tam giác. Biết đường trung trực của CM đi qua A. Hãy 
so sánh AB và AC.
16.6. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các tia đối của BA và CA lần lượt lấy các điểm M và N sao cho 
BM CN. Chứng minh rằng:
 MN BC
a) BN ;
 2
 MN BC
b) BM .
 2
16.7. Cho đoạn thẳng BC 5cm và trung điểm M của nó. Vẽ điểm A sao cho B· AC 90o. Qua M vẽ một 
đường thẳng vuông góc với AM cắt các tia AB, AC lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của điểm A để EF 
có độ dài ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.
• Đường xiên và hình chiếu
16.8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH  BC H BC .
Cho biết B· AH C· AH. Hãy so sánh HB với HC.
16.9. Cho tam giác ABC, Bµ Cµ 90o. Chứng minh rằng với mọi vị trí của điểm M nằm giữa B và C ta 
luôn có AM AB.
16.10. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 5, AC 12. Vẽ AH  BC. Gọi M là một điểm trên đoạn 
thẳng AH. Chứng minh rằng: 13 MB MC 17. ABD và CAE có: Dµ Eµ 90o , AB AC, ·ABD C· AE 
(cùng phụ với góc BAD).
Do đó ABD CAE (cạnh huyền, góc nhọn). Suy ra 
BD AE và AD CE.
Ta có BD CE AE AD DE.
Vẽ BH  CE thì DE BH (tính chất đoạn chắn song song).
Vì BH BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) 
nên DE BC (dấu “=” xảy ra C  H hay xy //BC ).
Vậy khi xy //BC thì BD CE BC.
16.5. (h.16.10)
Gọi N là giao điểm của AB và tia CM.
Vì M nằm trong tam giác ABC nên tia CM cắt cạnh AB tại 
điểm N nằm giữa A và B, do đó AB AN. (1)
Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, từ 
HN HM suy ra AN AM. (2)
Từ (1) và (2), ta có AB AM.
Mặt khác AM AC (vì HM HC ) nên AB AC.
16.6. (h.16.11)
a) Ta có AB AC, BM CN AM AN.
 ABC và AMN cân tại A
 180o µA
 ·ABC ·AMN 
 2
 BC // MN (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Vẽ AH  BC thì AH  MN (tại K).
 1 1
Ta có BH BC; KN MN.
 2 2
Gọi O là giao điểm của BN với AK. Theo quan hệ giữa 
đường vuông góc và đường xiên ta có: 
 1 1
BO BH BC;ON KN MN.
 2 2
 BC MN MN BC
Do BN BO ON nên BN .
 2 2 2
b) Vẽ BI  MN BI // HK. Do đó IK BH (tính chất đoạn 
chắn song song). AM AB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
• Nếu M nằm giữa H và C (h.16.15)
 Ta có HM HC
 AM AC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
 mà AC AB nên AM AB.
16.10. (h.16.16)
Theo định lí Py-ta-go ta có:
BC 2 AB2 AC 2 52 122 169
 BC 13.
Ta có BM BH (dấu “=” xảy ra M  H );
CM CH (dấu “=” xảy ra M  H ).
Do đó BM CM BH CH 13 (dấu “=” xảy ra
 M  H ) . (1)
Ta có HM HA nên BM BA (dấu “=” xảy ra M  A ).
Tương tự CM CA (dấu “=” xảy ra M  A ).
Do đó BM CM BA CA 5 12 17 (dấu “=” xảy ra 
 M  A ). (2)
Từ (1) và (2), suy ra 13 MB MC 17.
16.11. (h.16.17)
• Giả sử AB AC , theo quan hệ giữa đường xiên và hình 
 chiếu ta có HB HC, do đó MB MC.
 Từ điều kiện AB AC và BD CE suy ra AD AE.
 Theo định lí Py-ta-go, ta có:
 MD2 AM 2 AD2 ;ME 2 AM 2 AE 2 
 do đó MD2 ME 2.
 Ta có MB2 MD2 BD2 ;MC 2 ME 2 CE 2.
 Vì MD2 ME 2 và BD2 CE 2 nên MB2 MC 2
 suy ra MB MC.
 Theo quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu ta suy ra 
 HB HC, do đó AB AC (trái giả thiết).
 Chứng minh tương tự, nếu AB AC thì cũng suy ra mâu 
 thuẫn.
 Vậy AB AC hay tam giác ABC là tam giác cân.