Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 15: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - Hình học 7

 Chương III
 QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
Chuyờn đề 15. QUAN HỆ GIỮA GểC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
 Định lớ 1. Trong một tam giỏc:
– Gúc đối diện với cạnh lớn hơn là gúc lớn hơn.
– Đảo lại, cạnh đối diện với gúc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Trong hỡnh 15.1:
 ABC
AC AB Bà Cà .
Suy ra, trong một tam giỏc:
– Gúc đối diện với cạnh nhỏ nhất là gúc nhọn;
– Cạnh đối diện với gúc tự (hoặc gúc vuụng) là 
 cạnh lớn nhất.
 Định lớ 2. Hai tam giỏc cú hai cặp cạnh bằng nhau
– Nếu cạnh thứ ba khụng bằng nhau thỡ gúc đối diện với cạnh lớn hơn là gúc lớn hơn.
– Đảo lại, nếu hai gúc xen giữa khụng bằng nhau thỡ cạnh đối diện với gúc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Chứng minh rằng nếu một tam giỏc vuụng cú một gúc nhọn lớn hơn 30o thỡ cạnh đối diện với 
gúc ấy lớn hơn một nửa cạnh huyền.
 Giải (h.15.2)
* Tỡm cỏch giải.
 1
Giả sử tam giỏc ABC vuụng tại A, ãABC 30o ,ta phải chứng minh AC BC.Muốn vậy, phải chứng 
 2
minh 2AC BC.
Ta tạo ra đoạn thẳng 2AC bằng cỏch lấy điểm D trờn tia đối 
của tia AC sao cho AD AC. Khi đú, xột BDC chỉ cần 
chứng minh DC BC .
* Trỡnh bày lời giải.
Trờn tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD AC.
 ABD ABC (c.g.c) BD BC và 
ãABD ãABC 30o. Suy ra Dã BC 60o.
 BCD cõn cú gúc ở đỉnh lớn hơn 60o nờn cỏc gúc ở đỏy 
nhỏ hơn 60o. 1
Vớ dụ 4: Tam giỏc ABC cú Bà 90o và AB AC. Hóy sắp xếp ba cạnh của tam giỏc theo thứ tự tăng 
 2
dần.
 Giải (h.15.5)
* Tỡm cỏch giải.
Vỡ gúc B là gúc tự nờn cạnh AC là cạnh lớn nhất. Khai 
 1
thỏc điều kiện AB AC ta làm xuất hiện yếu tố 
 2
1
 AC bằng cỏch vẽ trung điểm M của AC. Khi đú AB 
2
và BC là hai cạnh của hai tam giỏc cú hai cặp cạnh bằng 
nhau, do đú ta cú thể dựng định lớ 2.
* Trỡnh bày lời giải.
Xột ABC cú Bà 90o nờn cạnh AC là cạnh lớn nhất, do đú BC AC 1 
 1 à ả o
Gọi M là trung điểm của AC. Xột ABM cú AB AM AC nờn ABM cõn B1 M1 90 ,do 
 2 
 ả o ả ả
đú M 2 90 . Vậy M1 M 2 .
 ả ả
 AMB và CMB cú: MA MC, MB chung và M1 M 2 nờn AB BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB BC CA.
C. Bài tập vận dụng
 Quan hệ giữa cạnh và gúc đối diện trong một tam giỏc
15.1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi M là một điểm trờn đường thẳng BC. Hóy so sỏnh AM với AB.
15.2. Cho tam giỏc ABC, tia phõn giỏc của gúc A cắt BC tại D. Cho biết gúc ADB là gúc nhọn, hóy so 
sỏnh AB và AC.
15.3. Tam giỏc ABC cú AB AC.Trờn cạnh AB lấy điểm M M B .Trờn nửa mặt phẳng bờ AB 
khụng chứa C vẽ tia Mx//AC và trờn tia này lấy điểm N sao cho MN MB. Chứng minh rằng BC NC.
15.4. Cho tam giỏc ABC, àA 60o ;Bà 75o.Trong tam giỏc lấy điểm O sao cho Oã AC Oã CA 15o. 
Chứng minh rằng OA  OB.
15.5. Cho tam giỏc ABC. Vẽ AH  BC H BC và BK  AC K AC . Biết rằng 
AH BC;BK AC. Tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc ABC.
15.6. Trong tam giỏc ABC cú AB AC. Tia phõn giỏc của gúc A cắt BC tại D. Gọi M là một điểm trờn 
đoạn thẳng AD. Hóy so sỏnh MB với MC.
15.7. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn BC lấy E và F sao cho Bã AE Eã AF Fã AC.Chứng minh rằng 
đoạn thẳng EF cú độ dài nhỏ nhất trong ba đoạn thẳng BE, EF và FC. Trường hợp M tia Bx là tia đối của tia BC và M B (h.15.7)
 Ta cú ãABC ãACB 90o (tớnh chất của tam giỏc cõn). Do đú ãABM 90o. 
 Xột ABM cú ãABM là gúc tự nờn AM là cạnh lớn nhất.
 Vậy AM AB.
 Chứng minh tương tự, nếu M tia Cy là tia đối của tia CB và M C thỡ AM AB.
15.2. (h.15.8)
Gúc ADB là gúc nhọn nờn gúc ADC là gúc tự.
 à ả ả ả
 ABD và ACD cú A1 A2 ; D1 D2 
nờn Bà Cà.
 ABC cú Bà Cà AC AB (định lớ 1).
15.3. (h.15.9)
Ta cú MN //AC Mã NC ãACN (so le trong).
Mặt khỏc, ãACN ãACB nờn Mã NC ãACB.
 ABC cú AB AC nờn ãACB ãABC.
Từ (1) và (2), suy ra Mã NC ãABC. (3)
Tam giỏc MNB cõn Mã NB Mã BN. 4 
Từ (3) và (4), suy ra Mã NC Mã NB ãABC Mã BN.
Do đú Bã NC Nã BC BC NC (định lớ 1).
15.4. (h.15.10) 15.7. (h.15.13)
 ABE ACF c.g.c 
 AE AF và BE CF. (1)
 AEF cõn ãAEF 90o ãAEB 90o.
Xột AEB cú ãAEB 90o nờn AB AE.
Trờn cạnh AB lấy điểm D sao cho AD AE.
 ADE AFE c.g.c ED EF.
 ADE cõn ãADE là gúc nhọn Bã DE là gúc tự.
Xột BDE cú Bã DE là gúc tự BE là cạnh lớn nhất.
Do đú BE DE BE EF. (2)
Từ (1) và (2) suy ra EF cú độ dài nhỏ nhất trong ba đoạn thẳng BE, EF và FC.
15.8. (h.15.14)
Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD MA.
 ả à
 AMN DMB c.g.c A2 D và AN BD.
Ta cú ãANC ãABC ãANC Cà.
Do đú AC AN (định lớ 1). Suy ra 
 à à ả à
AB BD D A1 A2 A1.
 à à ả
Dễ thấy A1 A3 do đú A2 là gúc lớn nhất trong ba 
 à ả à
gúc A1, A2 , A3.
15.9. (h.15.15)
 AB BC
Giả sử tam giỏc ABC cú ãABC 60o , ta phải chứng minh AC .
 2
Trờn tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD BA.Vẽ CH  AD. 
 ãABC
Tam giỏc ABD cõn tại B ãABC 2Dà Dà .
 2 Tam giỏc ABC cõn tại A ãABC ãACB.
 à à ả ả
Ta cú B1 C1 (giả thiết) B2 C2
 MC MB (định lớ 1).
Xột ABM và ACM cú: AB AC;
AM chung; MB MC
 Mã AB Mã AC (định lớ 2).
 à à ã à ã à
Mặt khỏc B1 C1 nờn MAB B1 MAC C1.
 ả ả
Do đú M1 M 2.
15.13. (h.15.19)
Trờn tia đối của tia OA lấy điểm N sao cho ON OA.
 à ả
 AMO NCO c.g.c AM NC và A1 N1.
Ta cú AB AM AC NC.
 ả ả à ả
Xột ACN cú AC NC N1 A2 A1 A2.
 à ả
 ABD và ACD cú: AB AC; AD chung và A1 A2 
nờn BD CD (định lớ 2).
15.14. (h.15.20)
Trờn nửa mặt phẳng bờ AC khụng chứa B, vẽ tia Ax sao 
cho Cã Ax Bã AM.
Trờn tia Ax lấy điểm N sao cho AN AM.
 AMB ANC c.g.c BM CN và ãAMB ãANC.
Mặt khỏc, ãAMB ãAMC nờn ãANC ãAMC. (1)
 AMN cõn tại A nờn ãANM ãAMN. (2)
Từ (1) và (2), suy ra Mã NC Nã MC
 MC NC.
 AMC và ANC cú: AM AN, AC chung và MC NC
nờn Mã AC Nã AC (định lớ 2) do đú Mã AC Mã AB.