Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 15: Biểu thức đại số, giá trị của một biểu thức đại số - Toán 7

 Chuyên đề 15.
 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
 GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Biểu thức mà trong đó ngoài các số, các ký hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa còn 
có các chữ (đại diện cho các số) được gọi là biểu thức đại số.
2. Trong biểu thức đại số, các chữ có thể đại diện cho những số tùy ý nào đó. Những chữ như vậy gọi là 
biến số (gọi tắt là biến). Khi thực hiện các phép toán trên các biến, ta có thể áp dụng những tính chất, quy 
tắc phép toán như trên các số.
3. Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho 
trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Hãy viết các biểu thức đại số biểu thị:
a) Tổng của hai lần x và năm lần y bình phương;
b) Bình phương của hiệu x và y ;
c) Tổng các lập phương của x và y ;
d) Tích của hiệu a và b với tổng các bình phương của a và b .
✓ Tìm cách giải: Dựa vào quy ước: Trong một biểu thức, phép tính nào làm trước thì đọc sau, phép tính 
 nào làm sau thì đọc trước.
 Giải
a) 2x 5y2 ;
b) x y 2 ;
c) x3 y3 ;
d) a b a2 b2 .
Ví dụ 2: Cho biểu thức 5x2 4x 3. Tính giá trị của biểu thức tại:
a) x 2;
b) x 0,5 ;
c) x 0 ;
 2
d) x .
 5
✓ Tìm cách giải: Thay biến x trong biểu thức đại số trên bằng các số đã cho ta được các biểu thức số. 
 Kết quả nhận được khi thực hiện các phép tính trong biểu thức số đó chính là giá trị của biểu thức đại 
 số tại các giá trị cho trước của biến
 Giải 3,2 2
Thay C 3,2m ta có: Q 0,2 m2 .
 16 
Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức A x2 2xy 3y3 tại:
a) x 2y 4
b) x y 10 và 3x 2y
c) x 0,5 và y 4
d) 5 x 2 y 3 0 .
✓ Tìm cách giải: Biểu thức A có hai biến x và y .
a) Đã cho biết giá trị của biến x ; suy ra y rồi thay giá trị của hai biến vào biểu thức A.
b) Từ quan hệ giữa hai biến x y 5 . (1) và 3x 2y . (2) ta biểu diễn x theo y từ (1) rồi thay vào (2) 
để tìm giá trị của y . Từ đó tìm tiếp giá trị của x .
 x 0,5
c) Lưu ý x 0,5 nên phải xét cả hai cặp giá trị x 0,5; y 4 và x 0,5; y 4 .
 x 0,5
 M 0
d) Lưu ý M N 0 .
 N 0
 Giải
a) Với x 2y 4 ta có x 4 và y 2
Ta có A 4 2 2 4 2 3 2 3 16 16 24 24
b) Từ x y 10 x 10 y và 3x 2y 3 10 y 2y
 30 3y 2y 30 5y y 6
Từ đó có x 4 . Thay vào biểu thức A 42 2.4.6 3.63 616 .
 x 0,5
c) x 0,5 
 x 0,5
Với x 0,5 và y 4 thì A 0,5 2 2. 0,5 .4 3.43 188,25
Với x 0,5 và y 4 thì A 0,5 2 2. 0,5 .4 3.43 196,25 .
d) x 2 0 x 2 và y 3 0 y 3
Do đó A 22 2.2. 3 3. 3 3 65 .
 3a 4b a 5
Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức sau: A biết .
 4a 3b b 9 ✓ Tìm cách giải: Do b 4a; a 504,5; a 403,6; b 5a nên các mẫu số trong B trước và sau khi 
 biến đổi đều khác 0. Mặt khác, a b 2018 nên ta có thể thay 2018 a b trong biểu thức hoặc 
 biểu diễn a theo b; b theo a từ a b 2018 . Từ đó có một số cách giải sau:
 Giải
➢ Cách 1: Thay 2018 a b vào B, ta có:
 4a b 4a a b 4a b 5a b
B 1 1 2 .
 5a a b 5a b 4a b 5a b
 5a a b 4a 2018 5a a b 4a 2018
➢ Cách 2: Biến đổi B 
 5a 2018 4a a b 5a 2018 4a a b 
 5a 2018 4a 2018
Thay x y 8 ta có B 1 1 2
 5a 2018 4a 2018
➢ Cách 3: Từ a b 2018 a 2018 b và thay vào B, ta có:
 4 2018 b b 4 2018 b 2018 8072 5b 10090 4b
B 1 1 2
 5 2018 b 2018 5 2018 b b 8072 5b 10090 4b
➢ Cách 4: Từ a b 2018 b a 2018 và thay vào B, ta có:
 4a a 2018 4a 2018 5a 2018 4a 2018
B 1 1 2
 5a 2018 5a a 2018 5a 2018 4a 2018
Ví dụ 7: Tìm giá trị các biến để:
 2016
a) Biểu thức có giá trị bằng 1;
 3x 2019
b) t 4 4 x3 1 y2 9 z 6 có giá trị bằng 0;
c) z2 8z 10 có giá trị lớn hơn 10.
✓ Tìm cách giải:
 2016 2016
a) có giá trị bằng 1 có nghĩa là 1 (hoặc là 2016 3x 2019).
 3x 2019 3x 2019
b) Một tích bằng 0 khi ít nhất 1 thừa số bằng 0.
c) z2 8z 10 có giá trị lớn hơn 10 nghĩa là z2 8z 0 .
 Giải
a) 3x 2016 2019 3x 4035 x 1345 .
b) Do t 4 4 0 với mọi giá trị của t nên t 4 4 x3 1 y2 9 z 6 0
 3
 x 1 0 x 1 x 1
 2 2 
 y 9 0 y 9 y 3
 z 6 0 z 6 z 6
 15.3. Tính giá trị của biểu thức P 6x2 4,5xy 3 tại:
a) x 2; y 5 ;
b) x 3; y 2 ;
c) x 5 y 2 0 .
15.4. Viết các biểu thức đại số biểu thị:
a) Tổng A chu vi hình vuông cạnh a với chu vi tam giác đều cạnh b. Tính giá trị của A với 
a 8cm; b 9cm ;
b) Hiệu B diện tích hình vuông cạnh c với diện tích hình chữ nhật cạnh c và d. Tính giá trị của B với 
 8 1
c dm; d dm ;
 9 3
c) Hiệu C giữa diện tích hình thang hai đáy e, g đường cao h với diện tích tam giác cạnh đáy e, đương cao 
tương ứng h. Tính giá trị của C với e 18,4m; g 16,5m; h 6,8m ;
 3
d) Tổng D diện tích hai hình tròn bán kính r và r . Tính giá trị của D với r m và 
 1 2 1 4
r2 0,5m; 3,14 .
15.5*. Với n là số tự nhiên:
a) Viết biểu thức biểu diễn: Tổng P của 100 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ n. Tính giá trị của P khi 
n 10 ;
b) Viết biểu thức biểu diễn: Tổng Q của 10 số tự nhiên lẻ liên tiếp. Tìm 10 số lẻ đó biết Q 200 ;
c) Biết tổng ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là 36. Tính giá trị của H là hiệu các bình phương của số lớn nhất 
và số nhỏ nhất trong ba số đó.
15.6. Tính giá trị các biểu thức sau:
 2 1 1
a) E 2x 3y 5z tại x ; y ; z 
 5 3 2
b) F 2x2 4 y 3z tại x 2; y 3; z 4
c) G 2 x 5 2xy2 3z3 tại x 3; y 2; z 1.
15.7. Giữa một cái sân hình vuông cạnh a (mét) người ta xây một vườn hoa hình vuông có cạnh b (mét) (
a b ),
a) Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích S còn lại của sân. 15.13. Cho a.b.c.d 0; a b c 0 và c 3d .
 a b c a b 
Tính giá trị của biểu thức: E 1 1 1 5 
 b c a d 
15.14. Tính giá trị của biểu thức G x y x 6 y 6 biết rằng:
 x y 6 0 và xy 8
15.15*. Tính giá trị biểu thức
E a b2 a2 2b3 a3 3b4 ... a2017 2018b2019 tại:
a) a 4; b 2 ;
b) a 1; b 0 .
 2 2 3
15.16. Cho a 3 và b 4 
 1 1
 3 1 1 
 2 2
Tính giá trị các biểu thức:
 2
 b 
a) M b ;
 2
 a 
 a
 a b
b) P a b .
 a b
 a 
 a b
 a 
 a Tại n 10 thì P 1000 4950 5950 .
b) Số tự nhiên lẻ có dạng 2n+1; hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên:
Q 2n 1 2n 3 ... 2n 17 2n 19 
Q 20n 100
Ta có: Q 20n 100 200 n 5 .
Vậy 10 số lẻ liên tiếp đó là 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29.
c) Gọi số tự nhiên chẵn nhỏ nhất trong ba số chẵn liên tiếp là 2n, hai số tự nhiên chẵn liên tiếp hơn kém 
nhau 2 đơn vị nên tổng ba số là:
2n 2n 2 2n 4 36
 n 5 số chẵn nhỏ nhất trong ba số là 2n 10 H 142 102 96 .
(Chú ý: Ở câu c) ta có thể gọi số tự nhiên chẵn nhỏ nhất trong ba số chẵn liên tiếp là a. Ta có 
a a 2 a 4 36 a 10 H 142 102 96).
15.6.
a) E 4,3;
b) Do z 4 nên z 4 .
Tại x 2; y 3; z 4 thì F 8 ;
Tại x 2; y 3; z 4 thì F 16 .
c) Do x 3 nên x 3 ;
Tại x 3; y 2; z 1 thì G 2. 3 5 2.3. 2 2 3 1 3 23;
Tại x 3; y 2; z 1 thì G 2. 3 5 2. 3 . 2 2 3 1 3 37 .
15.7.
a) S a2 b2 .
 a2 b2
b) N .
 c.d
 402 122
c) Với a 40m; b 12m; c 0,2m; d 0,1m thì N 72800 (viên gạch).
 0,2 0,1
15.8.
 y z t 
a) V a x 
 2 3 4 15.15*.
a) E 0 vì tại a 4; b 2 thì a2 2b3 42 2.23 0 .
b) E 1 1 2 . 1 3 ..... 1 2016 . 1 2017 1.
 2017 1 2016 2
vì có 1 1009 thừa số (-1) và 1 1008 thừa số (+1).
 2 2
15.16. Tính được a 5; b 2 .
 15 1169
Thay vào a) M ; b) P .
 23 155