Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 14: Tính số đo góc - Hình học 7

 Chuyên đề 14. TÍNH SỐ ĐO GÓC
A. Kiến thức cần nhớ
Để giải tốt bài toán tính số đo góc thì chúng ta phải nắm vững kiến thức cơ bản sau:
* Trong tam giác:
+ Tổng ba góc trong bằng 180°.
+ Biết hai góc chúng ta xác định được góc còn lại.
* Trong tam giác cân: Biết một góc chúng ta xác định được hai góc còn lại.
* Trong tam giác vuông:
+ Biết một góc nhọn, chúng ta xác định được góc nhọn còn lại.
+ Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó có số đo bằng 30° .
* Trong tam giác vuông cân: Mỗi góc nhọn có số đo bằng 45°.
* Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo bằng 60°.
* Đường phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau.
* Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.
* Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
* Tính chất về góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía, của một đường thẳng cắt hai đường thẳng song 
song.
Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc, ta thường xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các góc 
ở các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương ứng bằng nhau,. .. rồi suy ra kết quả.
B. Ví dụ minh họa
 1
Ví dụ 1. Cho DABC , Cµ= 30° . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, biết rằng AH = BC . Gọi D là trung 
 2
điểm của AB. Tính số đo góc ACD?
 Giải
 1
* Tìm cách giải. Xuất phát từ DAHC vuông có Cµ= 30° và AH = BC .Với hai yếu tố này giúp chúng ta 
 2
nghĩ tới tam giác vuông có một góc bằng 30° . Với lập luận đó, chúng ta nghĩ tới việc chứng minh tam 
giác ABC cân. Chúng ta có thể giải theo hướng suy nghĩ đó.
* Trình bày lời giải. 
Xét DAHC có 
Mà 
Þ DACB cân tại C Þ CD là đường phân giác của góc C Þ A·CD = 15°. Vậy H·AK = 45°
- Cách 2. Gọi I là giao điểm của AK và BC.
DBIK có A·KB = $I + C·BD (góc ngoài tam giác)
Mà nên (1)
Ta có (2)
Mặt khác: A·KB = K·AB (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 ¶ ¶ · $
Lại có A2 = A3 Þ IAH = I
suy ra DAHI cân tại H
Þ H·AK = 45°
* Nhận xét:
 • Bài toán này có nhiều cách giải. Ngoài hai cách tính trên đây, chúng ta có thể hạ 
KJ ^ AH(J Î AH) rồi chứng minh DAJK vuông cân tại J.
 • Nếu B·AC > 90° ta có kết quả H·AK = 135° (bạn đọc tự chứng minh theo ý tưởng trên)
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia AC lấy hai điểm E và F sao cho A·BE = 15° và CE 
= CF. Tính số đo của góc CBF.
 Giải
Trên nửa mặt phẳng bờ BE chứa điểm F, dựng tam giác đều BED. Ta có 
E·BC = A·BC- A·BE = 45°- 15° = 30° Þ C·BD = 30°
Khi đó BC là tia phân giác góc EBD nên 
DBCD = DBCE (c.c.c) Þ CD = CE = CF,
Suy ra tam giác DEF vuông
tại D. Ta có: 
D· EF = 180°- A·EB- B·ED
= 180°- 75°- 60° = 45°
Vậy DEF vuông cân tại D.
Lại có.
D· FE = 45°;A·CB = 45° Þ D· FE = A·CB , do đó BC // DF.
Ta lại có tam giác DBF cân tại D (vì DB = DF = DE) và B·DF = B·DE + E·DF + 60°+ 90° = 150° nên 
D· FB = D· BF = 15° , suy ra C·BF = D· FB = 15° . Vây C·BF = 15° Suy ra DABC = DNAD(c.g.c)
Þ AC = ND và A·ND = 20°
Xét DDNC ta có ND = NC (cùng bằng AC)
Þ DCND cân tại N mà
C·ND = 60°- A·ND = 60°- 20° = 40°
 180°- 40°
Þ N·CD = = 70° Þ A·CD = 70°- 60° = 10°
 2
- Cách vẽ 4. Dựng tam giác đều ABK (K; C cùng phía so với AB).
Ta có DACK cân tại A mà
C·AK = 60°- 20° = 40°
 180°- 40°
Þ A·KC = = 70°
 2
Mặt khác: ADC và DBCK có AD = BC,
D· AC = C·BK(= 20°), AC = AK (= AB).
Suy raDADC = DBCK(c.g.c)
Þ A·CD = B·KC = 70°- 60° = 10°
Ví dụ 6. ChoDABC , M là trung điểm của BC, B·AM = 30°, M· AC = 15°. Tính số đo góc B·CA ?
 Giải
* Tìm cách giải. Do B·AC = 45° nên chúng ta nghĩ tới việc dựng tam giác vuông cân. Do vậy chúng ta có 
thể giải như sau:
* Trình bày lời giải
Kẻ CK ^ AB. Ta có DAKC vuông cân tại K
(vì B·AC = 45° )
Þ KA = KC . Vẽ DASC vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC).
 1
Do DBKC vuông tại K Þ KM = BC = MC
 2
Þ DKMC cân tại M M· KC = M· CK Þ A·KM = S·CM
Dễ dàng chứng minh được DKAC = DSAC Þ AK = CK = CS = SA.
DKAM và DCSM có KM = CM, A·KM = S·CM, KA = CS
Þ DKAM = DCSM(c.g.c)Þ C·SM = 30° Þ A·SM = 60° và
S·AM = 60° Þ DASM đều Þ AS = SM = AK Þ DAKM cân tại A
Þ M· KC = M· CK = 90°- 75° = 15° Þ B·CA = 45°- 15° = 30° 14.4. Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ= 100° . Qua B dựng tia Bx sao cho C·Bx = 30°. Tia phân giác 
của góc ACB cắt tia Bx tại D.
a) So sánh CD với CA. b) Tính số đo của góc BDA.
14.5. Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ= 40°. Trên tia phân giác AD của góc A lấy điểm E sao cho
A·BE = 30° ; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho C·BF = 30°
a) Chứng minh rằng: AE = AF. b) Tính số đo của B·EF .
14.6. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) với B·AC = 20°. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho C·BD = 50° , 
trên cạnh AB lấy điểm E sao cho B·CE = 60°. Tính số đo góc C·ED .
14.7. Cho tam giác ABC cân có B·AC = 100°. Điểm M nằm trong tam giác sao cho M· AC = M· CA = 20°. 
Tính số đo góc AMB.
14.8. Cho tam giác ABC với B·AC = 55°, A·BC = 115° . Trên tia phân giác của góc ACB lấy điểm M sao 
cho M· AC = 25° . Tính số đo góc BMC.
14.9. Cho tam giác ABC cân tại A có B·AC = 80° . Điểm M nằm trong tam giác sao cho 
M· AC = M· CA = 10° . Tính số đo góc AMB.
14.10. Cho tam giác ABC cân tại A có B·AC = 80° . Gọi M là điểm nằm ngoài tam giác sao cho 
M· BC = 10°, M· CB = 30° . Tính số đo các góc A·MB;A·MC .
14.11. Cho tam giác đều ABC, điểm D nằm giữa A và B. Đường thẳng vẽ từ D vuông góc với AC cắt 
đường thẳng vẽ từ B vuông góc với BC tại điểm M. Gọi N là trung điểm của AD. Tính số đo góc MCN?
 HƯỚNG DẪN GIẢI
14.1. Tìm cách giải. Đây là bài toán khó bởi chúng ta khó nhận ra mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận 
để tìm cách giải quyết bài toán. Ta có: A·BC + D· BC = 60° là một góc của tam giác đều. Từ đó chúng ta 
có thể vẽ để tạo ra tam giác đều theo các hướng sau:
- Cách 1. Dựng tam giác đều BCM (A; M cùng phía so với BC).
DABM và DACM có AB = AC, MB = MC, MA là cạnh chung.
Suy ra DABM = DACM (c.c.c) 
Þ A·MB = A·MC = 30°
Xét DABM và DDBC có BM = BC,
A·MB = D· CB = 30°;A·BM = D· BC = 10°
Þ DABM = DDBC(g.c.g)Þ AB = DB
Þ DABD cân tại B
 180°- 40°
Þ A·DB = = 70°
 2 Þ B·AF = 90°- (15°+ 60°)= 15°
Þ DADC = DAFB(c.g.c)Þ A·FB = 150°
Và A·BF = 15° Þ D· FB = 360°- (60°+ 150°)= 150°
Þ DAFB = DDFB(c.g.c)Þ AB = DB Þ DABD cân tại B 
mà A·BD = 30°
 180°- 30°
Þ A·DB = = 75°
 2
- Cách 2. Dựng tam giác đều ACE (E; B khác phía so với AC)
DADE và DCDE có AD = CD, AB = CE,
DE là cạnh chung, suy ra 
DADE = DCDE(c.c.c)Þ A·DE = C·DE = 75°
DADE và DADB có AB = AE,
B·AD = E·AD(= 75°), AD là cạnh chung,
suy ra DADE = DADB (c.g.c)
Þ A·DE = A·DB = 75°
Vậy A·DB = 75°
- Cách 3. Dựng tam giác đều CDK (K; B cùng phía so với AC) suy ra
D· CB = K·CB = 30°
DDCB và DKCB có CD = CK,
D· CB = K·BC = 30° , BC là cạnh chung,
suy ra DDCB = DKCB (c.g.c)
Þ DB = KB (*)
DADK và DADC có DK = DC,
A·DK = A·DC = 150° , AD là cạnh chung,
suy ra DADC = DADK (c.g.c)Þ AC = AK; AC = AB Þ AK = AB (1)
Mặt khác: C·AD = K·AD = 15° Þ K·AB = 90° — 30° = 60°(2)
Từ (1), (2) Þ DABK là tam giác đều Þ BK = BA(**)
Từ (*) (**)Þ DB = BA Þ DABD cân tại B
Þ B·AD = B·DA = 90° —15° = 75°.
Vậy A·DB = 75°.
- Cách 4. Dựng tia Bx sao cho A· Bx = 15° (Bx Ta có BA = CA, BE = CE, AE là một cạnh 
chung Þ DABE = DACE (c.c.c) 
suy ra A·EB = A·EC = 30°
DABC cân tại A có Aµ= 100° nên suy ra
A·CB = A·BC = 40° Þ E·CA = A·CD = D· CB = 20°
Suy ra DDBC = DAEC(g - c- g)Þ CD = CA
b) Ta có B·DA = 180°- (A·BD+ B·AD) (1).
Mà A·BD = A·BC- D· BC = 10°(2).
 æ180°- A·CDö æ180°- 20°ö
· · · · ç ÷ ç ÷
BAD = BAC- DAC = BAC- ç ÷= 100°- ç ÷= 20° (3).
 èç 2 ø÷ èç 2 ø
Từ (l), (2) và (3) suy ra:
B·DA = 180°- (A·BD+ B·AD)= 180° —(10°+ 20°)= 150°.
* Mở rộng bài toán: Có thể thay kết luận bằng yêu cầu: Tính số đo các góc ADC; BAD.
14.5.
a) Ta có F·BA = 40° = B·AC Þ DBFA cân tại F Þ FA = FB (1)
AH là phân giác của B·AC nên B·AE = 20°.
Dựng tam giác đều ABD sao cho D
nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC
không chứa điểm B thì DA = DB,
F·AD = 20° (2)
Từ (1 ) và (2) suy ra DADF = DBDF
(c.c.c) Þ A·DF = B·DF = 30°.
Từ đó dễ dàng suy ra DFAD = DEAB (g — c- g)Þ AE = AF.
b) Ta có D· FA = 180° — A·DF - D· AF = 180°- 30° — 20° = 130°
Ta có D· FA = D· FB = 130°;E·FA = 80° nên suy ra E·FB = 20°, E·BF = 10°
Trong DBFE thì B·EF = 180° —(E·BF + E·FB)= 150°.
14.6.
- Cách 1. Vẽ tam giác đều ACF sao cho F nằm trên nửa mặt bờ AB không chứa điểm C
Gọi giao điểm của CF và AB là K 1
D· EV ·AVE 50.
 2
Ta có CVE cân tại C có E· CV 20, suy ra
C· EV C· VE 80 . Từ đó C· ED C· EV D· EV 80 50 30
- Cách 4. Lấy F trên AB sao cho D· CF 60
 F· CB 20 BCF cân C· FB C· BF 80 ,
Nên CF = CB. Ta có BCD cân C· BD C· DB 50 
Suy ra CB = CD
Từ đó CF = CD mà D· CF 60 nên CDF đều, do đó
F· CE 40 F· EC nên FE = FC, suy ra FE = FD.
Vậy FED cân tại F. Vì E· FD 40, suy ra F· ED 70 .
Ta có C· ED F· ED F· EC 70 40 30 .
14.7. Giả sử CM cắt AB tại E, tia phân giác góc BEC cắt BM, BC lần lượt tại H và K. Ta có tam giác 
MAC cân tại M, nên ·AME 20 20 40
Lại có C· EA C· EK B· EK 60 , suy ra CEA CEK (g.c.g)
 MEA MEK (c.g.c)
Suy ra ·AME K· ME 40 . Vì E· BK 40 nên 
 EKB EKM (g.c.g), suy ra EHB EHM 
(c.g.c), do đó E· HM 90.
Xét tam giác HEM có E· HM 90, H· EM 60, 
nên E· MH 30 . Do đó 
·AMB B· ME E· MA 30 40 70 .
14.8. Ta có Cµ= 180°- (55°+ 115°) = 10°
Kẻ DE ^ AM(E Î AC).
Ta có D·AM = D·MA = 30° Þ DDAM cân tại D từ đó suy ra A·DM = 120° , và DE là đường phân giác 
của góc ADM nên E·DM = B·DM = 60° . Do đó DEDC = DBDC(g.c.g)Þ BC = EC .