Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 13: Hàm số, đồ thị của hàm số - Toán 7

 Chương II. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Chuyên đề 13. HÀM SỐ - ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định 
được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.
2. Khi y là hàm số của x ta có thể viết y f x , y g x ...
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của biến số.
Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng công thức, bằng sơ đồ mũi tên, bằng đồ thị.
Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.
3. Mặt phẳng tọa độ Oxy được xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau: trục hoành Ox và trục 
tung Oy; giao điểm hai trục O là gốc tọa độ.
Trên mặt phẳng tọa độ, mỗi điểm M xác định một cặp số x0 ; y0 ; ngược lại mỗi cặp số x0 ; y0 
xác định một điểm M. Cặp số x0 ; y0 gọi là tọa độ của điểm M; x0 là hoành độ, y0 là tung độ của 
điểm M. Ta viết M x0 ; y0 .
4. Đồ thị của hàm số y f x là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng x; y 
trên mặt phẳng tọa độ.
5. Đồ thị của hàm số y ax a 0 là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
 a
6. Đồ thị hàm số y a; x 0 là hai nhánh (hai đường cong), một nhánh nằm ở góc phần tư thứ I 
 x
và một nhánh nằm ở góc phần tư thứ III khi a 0 và một nhánh nằm ở góc phần tư thứ II và một 
nhánh nằm ở góc phần tư thứ IV khi a 0.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho các cặp số x; y sau:
 5 2 1 
 2; 3 ; 1,5; 4 ; 1,2;5 ; ;8 ; 18; ; 3; 2 .
 7 5 3 
a) Lập bảng giá trị các cặp số.
b) Vẽ sơ đồ mũi tên.
c) Giải thích tại sao bảng vừa lập xác định y là một hàm số của x?
d) Hàm số đó có thể được cho bởi công thức nào?
 Tìm cách giải: Ta cần kiểm tra xem mỗi giá trị của đại lượng x có được tương ứng với một và chỉ 
một giá trị của đại lương y. Từ quan hệ của x và y viết công thức của hàm số.
 Giải
a) Bảng giá trị các cặp số: c) Với x thì f x 5. x 2 6 5x2 6 f x .
 x 5 nÕu x 0 
Ví dụ 3: Một hàm số được xác định như sau: y 
 x 5 nÕu x 0
a) Đặt y f x . Tính f 5 ; f 8 ; f 0 ;
b) Hãy viết gọn công thức trên.
 Tìm cách giải:
a) Thay x 5; x 8 và x 0 vào f x để ý rằng 5 0; 8 0 .
 x nÕu x 0 
b) Lưu ý định nghĩa về giá trị tuyệt đối x .
 x nÕu x 0
 Giải
a) f 5 5 5 0 (vì 5 0 )
 f 8 8 5 3 (vì 8 0)
 f 0 0 5 5 .
 x nÕu x 0 
b) Công thức trên được viết gọn là y f x x 5 vì theo định nghĩa x .
 x nÕu x 0
Ví dụ 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
 2 x
a) y 5x 3; b) y ;
 4x 9 x 1
 5 2x
c) y ; d) y ;
 4x2 9 x 9
 2 x 3x
e) y ; f) y .
 3x 12 x 5 x2 2
 Tìm cách giải: Để tìm tập xác định của các hàm số được cho bằng công thức, ta chỉ cần tìm tất cả 
các giá trị của biến làm cho công thức có nghĩa.
 Giải
a) Tập xác định của hàm số y 5x 3 là R;
 2 x 9
b) không có nghĩa khi 4x 9 0 và x 1 0 tức là x và x 1. Vậy tập xác 
 4x 9 x 1 4
 2 x 9 9 
định của hàm số y là tập hợp số thực khác và khác 1: x R x ; x 1
 4x 9 x 1 4 4 
 5 3 5
c) không có nghĩa khi 4x2 9 0 x . Vậy tập xác định của hàm số y là 
 4x2 9 2 4x2 9
 3 3 3
tập hợp số thực khác và khác : x R x 
 2 2 2  HD DK OK OH 2 (đvđd).
Ta có: SABCD SAOCB SAHD SDKC SOHDK 
 1 1
S AO.OC AH.HD DK.KC OH.OK
 ABCD 2 2
 6.5 0,5.4.2 0,5.3.2 2.2 19 (đvdt).
 Chú ý: Ta có thể tìm SABCD bằng cách khác: Nối O với D ta có: SABCD SAOCB SAOD SDOC .
Bạn đọc tự giải.
Ví dụ 7: Cho hàm số y 2x
a) Viết 5 cặp số x; y với x 2; 1;0;1;2 .
b) Biểu diễn các cặp số đó trên mặt phẳng tọa độ.
c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm 2;4 và gốc tọa độ O. Kiểm tra bằng thước xem các điểm còn lại 
có nằm trên đường thẳng đó không.
 Tìm cách giải: Để xác định cặp số ta thay giá trị của x vào công thức, sau đó tính giá trị của y. 
Khi biểu diễn 2;4 trên mặt phẳng tọa độ thì từ điểm -2 trên trục hoành ta vẽ một đường thẳng 
vuông góc với trục hoành; từ điểm 4 trên trục tung ta vẽ một đường thẳng vuông góc với trục tung; 
giao điểm của hai đường vuông góc trên là điểm cần biểu diễn.
 Giải
a) Năm cặp số cần xác định là 2;4 ; 1;2 ;
 0;0 ; 1; 2 ; 2; 4 .
b) Biểu diễn các cặp số đó trên mặt phẳng tọa độ 
như hình bên.
c) Các điểm còn lại đều thuộc đường thẳng d đi qua
hai điểm 2;4 và gốc tọa độ O.
Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y ax đi qua điểm A 4; 2 .
a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó;
b) Cho B 2;4 và C 2;1 . Không cần biểu diễn B, C trên mặt phẳng tọa độ hãy cho biết trong 
các bộ ba điểm sau, ba điểm nào thẳng hàng: A, B,C ; A,O, B ; A,O,C ; B;O;C ;
c) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y 2x .
 Tìm cách giải: Thay tọa độ điểm A vào y ax ta sẽ tìm được a. Đồ thị hàm số y ax là một 
đường thẳng qua gốc tọa độ nên chỉ cần xác định 2 điểm của đường thẳng. 1
Đồ thị d của hàm số y x khi x 0 là tia ON với N 2; 1 .
 2 2
 2x nÕu x 0 
 d1 và d2 kết hợp thành đồ thị hàm số y 1 .
 x nÕu x 0 
 2
Ví dụ 10: Vẽ đồ thị hàm số y 3x x.
 Tìm cách giải: Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số thực x: 
 x nÕu x 0
 x 
 x nÕu x 0
Xét hàm số trên với hai trường hợp x 0 và x 0 .
 Giải
 x nÕu x 0 4x nÕu x 0 
Do x nên hàm số trên trở thành y 
 x nÕu x 0 2x nÕu x 0 
Đồ thị d1 của hàm số y 4x khi x 0 là tia OQ gốc O đi qua điểm 
Q 1;4 .
Đồ thị d2 của hàm số y 2x khi x 0 là tia OP gốc O đi qua 
P 2;4 . 
 d1 và d2 kết hợp thành đồ thị hàm số y 3x x.
C. Bài tập vận dụng
13.1. Cho các cặp số x, y sau đây: a) Tính f 5 ; f 2018 ; f 0 ; f 3 ;
b) Hãy viết gọn công thức trên;
c) Tính nhanh tích P f 0,5 . f 1,5 . f 2,5 .... f 99,5 ;
d) Đại lượng x có là hàm số của đại lượng y không?
13.5. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
 2x 18
a) y 3x; b) y ;
 2x 10 x 8 
 2016 1975x
c) y ; d) y ;
 27x3 1 30x2 4
13.6. Cho hàm số y f x m2 5 x2 4 m2 2m 1 .
a) Tìm f 2 khi m 1;
b) Tìm m nếu f 2 376 .
13.7. 
a) Cho hàm số y f x 2018x2 2019.
Chứng minh với mọi x R thì f x f x .
b) Cho hàm số y f x 2x9 1945x .
Chứng minh với mọi x R thì f x f x .
13.8. Cho hình chữ nhật có chiều rộng 25cm và chiều dài 28cm. Người ta tăng mỗi chiều 
 15 x cm.
a) Tính chu vi y của hình chữ nhật mới theo x. Chứng minh đại lượng y là hàm số của đại lượng x;
b) Tập xác định của hàm số y.
13.9. Đồ thị hàm số y ax đi qua điểm C 1;2 .
a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó;
b) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y 0,5 x .
 2 nÕu x 0 
13.10. Vẽ đồ thị của 2 hàm số y 3x và đồ thị hàm số y trên cùng một hệ trục 
 2 nÕu x 0 
tọa độ. Xác định giao điểm hai đồ thị. Kiểm tra lại kết quả bằng tính toán.
13.11. Cho hàm số y 2bx x .
a) Vẽ đồ thị hàm số khi b 2;
b) Vẽ đồ thị hàm số khi b 0,5 (cùng trên hệ trục tọa độ của câu a).
 a
13.12. Biết đồ thị hàm số y a 0 đi qua điểm A 2;0,5 .
 x 1 
b) f 20 f 5 f 8 f 
 2 
 3 3 3 3 1 3
 . 20 .5 . 8 . 24 .
 4 4 4 4 2 8
 3
c) f x 6 nghĩa là x 6 x 8.
 4
 3
 f x 1,2 nghĩa là x 1,2 x 1,6.
 4
13.4. 
a) f 5 10 5 5;
 f 2018 2018.2 5 4031;
 f 0 0 5 5;
 f 3 2. 3 5 11.
b) Công thức được viết gọn là y f x 2x 5 vì theo định nghĩa 
 x nÕu x 0 2x 5 nÕu 2x 5 0 hay x 2,5 
 x nên y f x .
 x nÕu x 0 2x 5 nÕu 2x 5 0 hay x 2,5 
c) P 0 vì f 2,5 0 .
d) Đại lượng x không là hàm số của đại lượng y vì ứng với một giá trị của y ta có hai giá trị tương 
ứng của x (chẳng hạn y 9 thì x 7 và x 2 ) nên theo định nghĩa hàm số đại lượng x không là 
hàm số của đại lượng y.
13.5. 
a) x x R vµ x 0; b) x x R;x 5 vµ x 8;
 1
c) x x R; x ; d) x x R .
 3
13.6. a) Khi m 1 thì f x 4 x2 16 nên f 2 4 22 16 32.
 b) f 2 m2 5 2 2 4 m2 2m 1 376 m 50.
13.7. 
a) Ta có: f x 2018 x 2 2019 2018x2 2019 f x 
 f x f x .
b) f x 2 x 9 1945 x 2x9 1945x 2x9 1945x f x 
 f x f x .
13.8.