Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 13: Chứng minh ba điểm thẳng hàng - Hình học 7

 Chuyên đề 13. CHỨNG MINH
 BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
A. Kiến thức cần nhớ
Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng gọi là ba điểm thẳng hàng. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, 
chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp sau đây:
1. Phương pháp 1.
Nếu A·BD+ D· BC = 180° thì ba
Điểm A; B; C thẳng hàng. 
2. Phương pháp 2.
Nếu AB // a và AC // a thì ba 
điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này 
là: tiên đề Ơ-Clit)
3. Phương pháp 3. 
Nếu AB ^ a; AC ^ a thì ba 
điểm A; B; C thẳng hàng. 
(Cơ sở của phương pháp này
là: Có một và chỉ một đường
thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)
Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng.
4. Phương pháp 4. 
Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc 
xOy thì ba điếm O; A; B thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là:
Mỗi góc khác góc bẹt có một và chỉ một tia phân 
giác). 
* Hoặc: Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa 
tia Ox, x·OA = x·OB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K¢º K và A, 
K, C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm).
B. Một số ví dụ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh AM ^ BC . 
b) Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C 
có cùng bán kính sao cho chúng cắt 
nhau tại hai điểm P và Q. Chứng minh 
ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
 Giải
* Tìm cách giải. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng, chúng ta có thể:
- Chứng minh AM, PM, QM cùng vuông góc BC
- Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
* Trình bày lời giải
a) DABM và DACM có: AB =AC (giả thiết), AM chung, MB = MC (M là trung điểm BC)
Vậy DABM = DACM (c.c.c), do đó A·MB = A·MC (hai góc tương ứng).
Mà A·MB + A·MC = 180° (hai góc kề bù) nên A·MB = A·MC = 90°
Do đó: AM ^ BC (điều phải chứng minh).
b) Cách 1. Chứng minh tương tự ta được: DBPM = DCPM (c.c.c).
Suy ra: P·MB = P·MC (hai góc tương ứng), mà P·MB + P·MC = 180° nên P·MB = P·MC = 90°
Do đó: PM ^ BC.
Lập luận tương tự QM ^ BC.
Từ điểm M trên BC có AM ^ BC, PM ^ BC, QM ^ BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (điều phải 
chứng minh).
- Cách 2. DBPA và DCPA có AB = AC, AP là cạnh chung, BP = CP (cùng bán kính) 
Þ DBPA = DCPA (c.c.c) Þ B·AP = C·AP . Vậy AP là tia phân giác của B·AC . (1)
DABQ và DACQ có AB = AC, AQ là cạnh chung, BQ = CQ (cùng bán kính) Þ DABQ = DACQ 
(c.c.c) Þ B·AQ = C·AQ .
Vậy AQ là tia phân giác của B·AC . (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; P; Q thẳng hàng.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho 
BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng.
 Giải
- Cách 1. Kẻ ME ^ BC;NF ^ BC(E;F Î BC) (tính chất của tam giác cân).
Mà CO là tia phân giác của A·CB ,
nên A·CO = B·CO = 18°. Do đó B·OC = 150°
DBOM đều nên B·OM = 60°.
Vậy: M· OC = 360° —(150°+ 60°)= 150°
DBOC và DMOC có: OB = OM (vì DBOM đều); 
B·OC = M· OC = 150°;
OC chung, do đó: DBOC = DMOC (c.g.c)
Suy ra: O·CB = O·CM mà O·CB = O·CA (gt) nên O·CA = O·CM
Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và O·CA = O·CM
nên tia CA và tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm).
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại A và Bµ= 60°. Vẽ tia Cx ^ BC và lấy CE = CA (CE và CA cùng 
phía với BC). Trên tia đối tia BC và lấy F sao cho BF = BA. Chứng minh rằng:
a) DACE đều;
b) E, A, F thẳng hàng.
 Giải
* Tìm cách giải. Nhận thấy tam giác 
ABC vuông tại A và Bµ= 60° nên
A·CB = 30° Þ A·CE = 60°
DCAE đều.
Do đó muốn chứng tỏ B, A, F
thẳng hàng thì chúng ta chỉ cần
chứng tỏ B·AF = 30°.
* Trình bày lời giải.
a) ABC vuông tại A và Bµ= 60° nên A·CB = 30°
Þ A·CE = 60° mà CA = CB nên DCAE đều.
b) Ta có: BA = BF (gt) Þ DBFA cân Þ A·BC = 2.B·AF .
Suy ra: B·AF = 30°.
Vậy: F·AB + B·AC + C·AE = 30°+ 90°+ 60° = 180°
Ta suy ra ba điểm F; A; E thẳng hàng.
C. Bài Tập vận dụng 13.9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H; A·CB = 30°. Dựng tam giác ACD 
đều (D và B nằm khác phía đối với AC). Kẻ HK vuông góc với AC tại K. Đường thẳng qua H và song 
song với AD cắt AB kéo dài tại M. Chứng minh rằng ba điểm M, K, D thẳng hàng.
 HƯỚNG DẪN GIẢI
13.1.
a) DAMC và DEMB có MA = ME,
A·MC = E·MB;MB = MC
Þ DAMC = DEMB (c.g.c)
Þ AC = EB;C·AM = M· EB
Þ AC / /BD .
b) DAIM và DEKM có AM = EM;
C·AM = M· EB;AI = EK Þ DAIM = DEKM (c.g.c)
Þ A·MI = E·MK mà A·MI + I·ME = 180° Þ E·MK + I·ME = 180°
Þ I, M, K thẳng hàng.
13.2.
a) DBCE và DCBD có B·EC = C·DB = 90°;E·BC = D· CB ; BC là cạnh chung
Þ DBCE = DCBD (cạnh huyền, góc nhọn)
b) DBCE = DCBD Þ BE = CD.
DBKE và DCDK có
B·EK = C·DK = 90°;BE = CD;B·KE = C·KD
Þ DBKE = DCKD (góc nhọn, cạnh góc vuông) 
c) DBKE = DCKD Þ KE = KD.
DAEK và DADK có A·EK = A·DK = 90° ;
AI chung; KE = KD Þ DAEK = DADK Þ E·AK = D·AK
Hay AK là tia phân giác B·AC (1).
d) DABI và DACI có AB = AC; AI là cạnh chung; BI = CI
Þ DABI = DACI (c.c.c)
Þ B·AI = C· AI hay AI là tia phân giác của B·AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A; K; I thẳng hàng.
13.3.
a) DABD và DAED có AB = AE; B·AD = E·AD ; AD là cạnh chung
Þ DABD = DAED (c.g.c) Þ BD = ED;A·BD = A·ED . Mặt khác M· ID+ N· ID = 180° Þ N· IE + N· ID = 180°
Vậy D, I, E thẳng hàng.
13.6. DBOD và DCOD có: OB = OC (gt); OD cạnh chung;
BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính). Vậy DBOD = DCOD 
(c.c.c), suy ra: B·OD = C·OD.
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia
OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
Do đó OD là tia phân giác của x·Oy .
Chứng minh tương tự ta được OA là
tia phân giác của x·Oy .
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên
hai tia OD và OA trùng nhau. 
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng.
13.7. Kẻ MK ^ AB; MH ^ AC,
Ta có M là trung điểm của CE nên DBME = DBMC (c.c.c)
Þ E·BM = C·BM = 45°
Mặt khác E·BC = 90° Þ K·BE + A·BC = 90°
Mà A·CB + A·BC = 90° ,suy ra: K·BE = A·CB Þ K·BM = H·CM .
Lại có BM = MC Þ DKBM = DHCM
(cạnh huyền, góc nhọn) Þ MK = MH
Þ DAKM = DAHM (cạnh huyền, cạnh
góc vuông) Þ K·AM = H·AM Þ AM 
là tia phân giác của góc A.
Mặt khác, DBAD vuông cân tại A
Þ B·AD = 45° Þ AD là tia phân giác
của góc A
Þ A; D; M thẳng hàng (vì A; D; M
cùng thuộc tia phân giác của góc A).
13.8. Theo đề bài DABC vuông tại A có BC = 2AB nên A·BC = 60°;A·CB = 30° .
 1
A·BD = A·BC = 20° Þ D· BC = 40°
 3
 1
A·BD = A·BC = 10° Þ B·CE = 20°
 3
DCIF và DCIG có IF = IG (gt)