Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 12: Vẽ hình phụ để giải toán - Hình học 7

 Chuyên đề 12. VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN
A. Kiến thức cần nhớ
Trong một số bài toán ở các chuyên đề trước, chúng ta đã phải vẽ thêm hình phụ thì mới giải được. Trong 
chuyên đề này, chúng ta hệ thống một vài kỹ thuật về hình phụ để giải toán.
1. Mục đích của việc vẽ thêm hình phụ
Khi vẽ thêm đường phụ, chúng ta thường nhằm các mục đích sau đây:
- Đem những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến chứng minh tập hợp (ở một 
hình mới) làm cho chúng có liên quan đến nhau.
- Tạo nên đoạn thẳng thứ ba (hoặc góc thứ ba) làm cho hai đoạn thẳng (hoặc hai góc) cần chứng mình trở 
lên có mối quan hệ với nhau.
 1
- Tạo nên đoạn thẳng (hay góc) bằng tổng, hiệu gấp đôi hay bằng đoạn thẳng (hay góc) cho trước để 
 2
đạt được chứng minh của bài tập hình học.
- Tạo nên những đại lượng mới (đoạn thẳng hay góc) bằng nhau, thêm vào những đại lượng bằng nhau 
mà đề bài đã cho để giúp cho việc chứng minh.
- Tạo nên một hình mới, để có thể áp dụng một định lý nào đó.
- Biến đổi kết luận, hình vẽ làm cho bài toán trở lên dễ chứng minh hơn.
2. Các loại đường phụ thường vẽ
- Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với một độ dài tùy ý hoặc cắt một đường thẳng khác.
- Nối hai điểm cho trước hoặc cố định
- Từ một điểm cho trước dựng đuờng thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
- Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác một góc bằng một góc 
cho trước.
* Chú ý: Khi vẽ đường phụ phải có mục đích không vẽ tùy tiện.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ= 100°. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.
Chứng minh BC = AD+ BD.
 Giải
* Tìm cách giải. Đây là bài toán khó tuy nhiên nếu bạn biết lưu tâm đến giả thiết của bài toán và phương 
pháp kẻ đường phụ thì bài toàn trở nên đơn giản. Phân tích kết luận, chúng ta có hai hướng vẽ đường phụ 
cho bài toán này.
- Vì A, D, B không thẳng hàng, mà kết luận AD+ BD = BC , do vậy chúng ta vẽ thêm hình phụ sao cho 
AD+ BD bằng một đoạn thẳng. Sau đó chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC. nên KD = DC do đó 
Vậy BC = BD+ AD.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D và E thuộc BC sao cho D· AE = 45° (D nằm giữa 
B và E). Chứng minh rằng BD2 + CE2 = DE2 .
 Giải
* Tìm cách giải.
Từ kết luận, để nhận thấy BD, CE, DE thỏa mãn định lý Py-ta-go. Do vậy ta sẽ tạo ra một tam giác vuông 
có ba cạnh bằng BD, CE, DE trong đó DE là độ dài cạnh huyền. Do BD, CE, DE cùng nằm trên một 
đường thẳng. Do vậy cần kẻ thêm đường phụ. Từ C kẻ CK ^ BC và lấy CK = BD (K và A cùng phía đối 
với BC). Chỉ cần chứng minh KE = DE.
* Trình bày lời giải. 
Từ C kẻ CK ^ BC và lấy CK = BD
(K và A cùng phía đối với BC). Ta
có 
CK = BD (theo cách dựng)
AC = AB (giả thiết)
Do đó DACK = DABD (c. g. c), 
 ¶ µ
suy ra AK = AD, A4 = A1
 ¶ µ ¶
Ta lại có A2 = 45° (giả thiết) nên A1 + A3 = 45°suy ra:
· ¶ ¶ ·
EAK = A4 + A3 = 45° = EAD
Xét DEAK và DEAD có AD = AK , AE là cạnh
chung, E·AK = E·AD(= 45°)Þ DEAK = DEAD 
(c.g.c), suy ra KE = DE . Từ đây, hiển nhiên ta có
điều phải chứng minh.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, Cµ= 15°.
Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC .
Chứng minh rằng OBC cân.
 Giải
 * Tìm cách giải. Từ giả thiết BE = 2CD, gợi ý cho chúng ta vẽ 
trung điểm F của BE. Muốn chứng minh E·DB = 90° mà FB = 
FE, nên chúng ta chỉ cần chứng minh BF = FD = FE.
* Trình bày lời giải
- Cách 1. Gọi F là trung điểm của BE thì FB = CD 
 1
(cùng bằng BE ). Mà AB = AC (tam giác ABC cân 
 2
tại A) nên AF = AD. Suy ra tam giác AFD cân tại A.
 180°- B·AC
Từ đó A·FD = A·BC (cùng bằng ).
 2
Suy ra DF // BC (hai góc đồng vị bằng nhau), 
nên F·BD = F·DB (cùng bằng D· BC ). Điều này
dẫn đến tam giác FBD cân tại F, hay
 1
FD = FB = BE.
 2
 1
Tam giác BDE có F là trung điểm cạnh BE và DF = BE nên tam giác BDE vuông tại D hay 
 2
E·DB = 90° (điều phải chứng minh).
- Cách 2. Từ D kẻ DF / /BC (F Î AB). Suy ra F·DB = C·BD (so le trong)
Þ F·DB = F·BD Þ DFBD cân tại F Þ BF = FD
Mặt khác, DAFD và DABC cân tại A, suy ra AF = AD, AB = AC
Þ BF = CD.
Từ đó suy ra BF = FD = FE Þ tam giác BDE vuông tại D hay E·DB = 90° (điều phải chứng minh).
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC (AB < AC),
kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi 
M là trung điểm của BC. Biết rằng
AH và AM chia góc A thành 3 góc 
bằng nhau. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC vuông. 
b) Tam giác ABM là tam giác đều.
 Giải
* Tìm cách giải. Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc 
với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy ra AB ^ AC và suy ra Aµ= 90° .
* Trình bày lời giải.
a) Vẽ MI vuông góc với AC. - Bài toán này tương đối khó vì phải vẽ thêm nhiều đường phụ.
- Ngoài cách giải trên đây, có thể dựng thêm tam giác đều BCK hoặc tam giác đều AFH, cũng đi đến kết 
luận của bài toán.
C. Bài tập vận dụng
12.1. Cho DABC (AB = AC), trên cạnh AB lấy điểm D, trên phần kéo dài của cạnh AC lấy điểm E sao 
Cho BD = CE. Gọi F là giao điểm của DE và BC. Chứng minh DF = FE
12.2. Cho DABC có Bµ= 45°;Aµ= 15°.Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CD = 2.CB. Tính A·DB
 1
12.3. Ở trong góc nhọn x·Oy vẽ Oz sao cho x·Oz = y·Oz . Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông góc Ox 
 2
cắt Oz ở B. Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA. Chứng minh tam giác AOD cân.
12.4. Cho DABC có A·BC = 50°;B·AC = 70° . Tia phân giác góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N 
sao cho M· BN = 40° . Chứng minh rằng: BN = MC
12.5. Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của tia CB, lấy điểm D sao cho C·AD = 15° . Đường vuông góc 
với BC tại C cắt AD ở E. Tia phân giác của góc B cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK = ED.
12.6. Cho tam giác ABC với trung điểm M của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng 
AB kẻ đoạn thẳng AE vuông góc với AB sao cho AB = AE. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là 
đường thẳng AC kẻ đoạn thẳng AF = AC và AF vuông góc với AC. Chứng minh rằng EF = 2AM và 
EF ^ AM .
12.7. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi E là trung điểm của cạnh AC. Qua A kẻ đường thẳng 
vuông góc với BE cắt BC tại D. Chứng minh rằng AD = 2ED.
12.8. Về phía ngoài của tam giác ABC, dựng tam giác XBC cân tại X có góc BXC bằng 120° và các tam 
giác YCA, ZAB đều. Chứng minh XA vuông góc với YZ.
12.9. Cho tam giác ABC vuông tại A và A·BC = 54° .Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng AM và 
đường phân giác trong CD của tam giác cắt nhau tại E. Chứng minh rằng CE = AB.
12.10. Cho DABC vuông tại A, AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho 
AD = AB. Gọi I là trung điểm của BD. Chứng minh rằng B·IH = A·CB 180°- 2a
Þ A·EB =
 2
A·EB = 90°- a;A·BE = O·BH = 90°- a
Þ A·EB = A·BE
Þ A·ED = A·BO;OB = ED;AE = AB
Þ DAOB = DADE(c.g.c)Þ AO = AD
Þ DAOD cân.
12.4. DABC có Aµ= 50°;Bµ= 70° Þ Cµ= 60°.
CM là tia phân giác của Cµ nên M· CA = M· CB = 30° .
Ta có: N·BC = Bµ- M· BN = 50° — 40° = 10°.
Ta có: M· NB = M· CB + N·BC = 30°+ 10° = 40°
(góc ngoài củaDNBC )
Þ DMNB cân tại M
 1
Từ M vẽ MH ^ BC ta có MH = MC (1)
 2
 1
Từ M vẽ MK ^ BN Þ BK = KN = BN (2)
 2
Xét DMKB và DBHM có B·HM = B·KM(= 90°), BM là cạnh chung,
M· BK = B·MH = 40° Þ DMKB = DBHM (cạnh huyền, góc nhọn)
Þ MH = KB (3)
Từ (1), (2) và (3) Þ BN = MC (điều phải chứng minh).
12.5. Kẻ BH ^ AD; CI ^ AD .
DBDK có A·KB = K·BD+ K·DB = 30°+ 45°
Þ A·KB = 75°
DABK có B·AK = A·KB(= 75°),
BH ^ AK nên AH = KH
BH là tia phân giác của A·BK nên
 1
A·BH = A·BK = 15°
 2
DCDE có E·CD = 90°;C·DE = 45° nên DCDE vuông cân tại C.
Kẻ CI ^ ED suy ra EI = ID = CI suy ra ED = 2.CI.
DAHB và DCIA có A·HB = C· IA(= 90°);AB = AC;A·BH = C· AI(= 15°) A·EG = C·ED,EG = ED suy ra
DAEG = DCED (c.g.c)Þ C·DE = A·GE
và AG // DC, do đó D·AG = F·DC (đồng vị) suy ra D·AG = D· GA .
Vậy DDAG cân tại D, hay DA = DG = 2DE (điều phải chứng minh).
12.8.
Gọi E là giao điểm của XA với YZ.
Trên nửa mặt phẳng bờ XC không
chứa A lấy điểm K sao cho DXCK = DXBA.
Ta có XK = XA và K·XC = A·XB suy ra 
A·XK = B·XC = 120°
Do đó X·AK = 30°. Mặt khác, ta có CK = BA = AZ 
(vì DXCK = DXBA và DABZ đều) ; CA = AY (vì DYCA đều);
A·CK = A·CB + B·CX + X·CK = Cµ+ 30°+ X·BA
= Cµ+ 30°+ 30°+ Bµ= 60°+ (180°- Aµ)
= 240°- (360°- Y·AC- Z·AB- Y·AZ)= Y·AZ ;
suy ra DCAK = DAYZ (c.g.c)
do đó C·AK = A·YZ = E·YA
Ta có: E·AY + C·AK = 180°- (Y·AC + X·AK)= 180°- (60°+ 30°)= 90°
DEAY có E·AY + E·YA = 90°, suy ra A·EY = 90°. Vậy XA ^ YZ .
12.9.
* Trên tia đối của tia MA lấy A’ sao cho MA’ = MA.
Khi đó DMCA¢= DMBA (c.g.c), 
suy ra CA' = AB (1); 
M· CA¢= M· BA = 54°
Do đó A·CA¢= A·CB + B·CA¢= 36°+ 54° = 90°
 1
Từ DABC = DCA¢A (c.g.c)Þ AA¢= BC; MC = MA = BC, M· AC = M· CA = 36° .
 2
Mặt khác, CD là phân giác A·CB nên E·CA = 18° , A·¢EC là góc ngoài của tam giác AEC nên 
A·¢EC = E·AC + E·CA = 36°+ 18° = 54° = E·A¢C ,
suy ra tam giác ECA’ cân tại C, nên CE = CA’(2)
Từ (1) và (2) suy ra CE = AB.