Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 12: Đại lượng tỉ lệ nghịch - Toán 7

 Chương II. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Chuyên đề 12. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
A. Kiến thức cần nhớ
 a
1. Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y hay xy a (với a là 
 x
hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.
2. Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:
* Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia luôn là một 
hằng số: x1 y1 x2 y2 x3 y3 ... a.
* Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của 
 x y x y
đại lượng kia: 1 2 ; 1 3 ,...
 x2 y1 x3 y1
3. Chú ý:
* Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng 
đó tỷ lệ nghịch với nhau.
* Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo tỉ lệ a.
 1
* Nếu y tỉ lệ nghịch với x thì y tỉ lệ thuận với .
 x
* Nếu z tỉ lệ nghịch với y theo tỉ lệ a1 và y tỉ lệ nghịch với x theo tỉ lệ a2 thì z tỉ lệ thuận với x 
 a
theo tỉ lệ 1 .
 a2
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Các giá trị tương ứng của x và y được cho trong hai bảng:
Bả x 3 -4,5 5 0,75 22,5 -7,5
ng I y -15 10 -9 -60 -2,5 -8
 2
Bả x 3 -0,5 -6 0,95 0,35 
 5
ng 
 y 15 -2,5 -30 4,75 -7,5 1975
II
a) Xác định xem hai đại lượng y và x trong bảng nào tỉ lệ thuận? tỉ lệ nghịch? Tìm các hệ số tỉ lệ 
(biết các giá trị tương ứng còn lại cùng có quan hệ tỉ lệ như các giá trị đã cho trong bảng).
b) Điền tiếp các giá trị vào ô trống. x y y y 8y 5y 8y 5y 8.3,5 5.2,5 15,5
 1 2 1 2 1 2 1 2 0,5.
 x2 y1 x2 x1 8x2 5x1 8x2 5x1 31 31
Do dó x1 y2 : 0,5 2,5 : 0,5 5
Và x2 y1 : 0,5 3,5 : 0,5 7.
Hệ số tỉ lệ của hai đại lượng là: a x1.y1 5.3,5 17,5.
 Chú ý: Ta có thể dùng định nghĩa của đại lượng tỉ lệ nghịch để giải:
Từ xy a
 a a 8a 5a 8 5 8y1 5y2 
Ta có x1 ; x2 8x2 5x1 a a 
 y1 y2 y2 y1 y2 y1 y1.y2 
 28 12,5 
Thay y1 3,5; y2 2,5 và 8x2 5x1 31 vào ta có: 31 a 
 3,5.2,5 
 15,5 31.8,75
Hay 31 a. a 17,5
 8,75 15,5
 17,5 17,5
 x 5; x 7.
 1 3,5 2 2,5
Ví dụ 3: Năm máy cày cùng loại, mỗi máy làm 8 giờ một ngày thì trong 12 ngày cày xong một 
cánh đồng.
a) Nếu có 10 máy cày cùng loại trên, mỗi máy làm 8 giờ một ngày thì trong mấy ngày cày xong 
cánh đồng trên.
b) Cần bao nhiêu máy cày, mỗi máy làm 6 giờ mỗi ngày để 5 ngày cày xong cánh đồng ấy ?
 Tìm cách giải: 
a) Cùng một công việc và số giờ làm việc mỗi ngày của mỗi máy, số máy cày và số ngày là hai đại 
lượng tỉ lệ nghịch; hoặc cùng một công việc tổng số giờ làm 1 ngày và số ngày hoàn thành công 
việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
b) Cùng một khối lượng công việc (cày xong cánh đồng) số máy cày và số giờ làm là hai đại 
lượng tỉ lệ nghịch. Ta cần tìm số giờ làm của số máy cày trong mỗi trường hợp.
 Giải
a) Gọi số ngày cần tìm là z ngày z 0 . Cùng một công việc và số giờ làm việc một ngày của 
mỗi máy, số máy cày và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
 5 z
Ta có: z 5.12 :10 6 (ngày).
 10 12
* Có thể lý luận cách khác :
Một ngày 5 máy cày với tổng số giờ là 5.8 = 40 (giờ)
Một ngày 10 máy cày với tổng số giờ là 10.8 = 80 (giờ) Cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó theo 
tính chất của tương quan tỉ lệ nghịch, ta có:
40 t t t t t t 0,5 t 0,75 1,25 1
 2 1 2 1 2 .
60 t1 60 40 60 40 20 20 16
 t 1
 1 t 3,75 (giờ).
60 16 1
Thời gian dự định là: 3,75 – 0,5 = 3,25 (giờ) = 3 giờ 15 phút.
Quãng đường AB dài là: 3,75.40 = 150(km).
Ví dụ 6: Bốn người mua cùng một số mét vuông vải để may quần áo lần luợt theo bốn loại khổ 
rộng 1,5m; 1,2m; 1,0m; 0,8m. Tổng số vải bốn người đã mua là 22,5m. Tính số mét vải và diện 
tích vải mỗi người đã mua.
 Tìm cách giải: Cùng một diện tích, số mét vải tỉ lệ nghịch với khổ rộng của nó. Từ định nghĩa 
và sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có cách giải:
 Giải
Cùng một diện tích, số m vải tỉ lệ nghịch với khổ rộng của nó. Gọi số mét vải mỗi người mua lần 
lượt là x, y, z,t x, y, z,t 0 ta có:
1,5x 1,2 z 0,8t hay 15x 12y 10z 8t
 15x 12y 10z 8t x y z t x y z t 22,5
 0,5
 120 120 120 120 8 10 12 5 8 10 12 15 45
Vậy: x 8.0,5 4 m ; y 10.0,5 5 m ;
 z 12.0,5 6 m ;t 15.0,5 7,5 m .
Diện tích vải mỗi người mua là: 4.1,5 6m2 .
Ví dụ 7*: Tại một bến xe có 610 xe ô tô chở khách gồm 4 loại: Xe chở 50 khách; xe chở 45 khách; 
 2 3
xe chở 30 khách và xe chở 25 khách. Biết rằng số xe chở khách 50 khách bằng xe chở 45 
 3 4
 4 5
khách, bằng số xe chở 30 khách và bằng xe chở 25 khách. Hỏi bến xe có bao nhiêu xe mỗi 
 5 6
loại
 2 3 4 5
 Tìm cách giải: Đây là bài toán chia số 610 thành bốn phần tỉ lệ nghịch với ; ; ; tức là tỉ lệ 
 3 4 5 6
 3 4 5 6
thuận với ; ; ; .
 2 3 4 5
 Giải
Gọi số xe các loại chở 50 khách; chở 45 khách; chở 30 khách và chở 25 khách lần lượt là 
x; y; z;t x; y; z;t N ta có: 60 30
 x 48.30 : 60 24 (ngày).
48 x
Năng suất lao động mới là: 100% + 20% = 120%.
Cùng một công việc, cùng số công nhân thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với năng suất lao động. Gọi 
 100% y
số ngày 60 công nhân làm theo năng suất mới là y thì ta có y 100.24 :120 20 
 120% 24
(ngày).
C. Bài tập vận dụng
12.1. Cho biết hai đại lượng x và y tỷ lệ nghịch với nhau. Tìm công thức liên hệ giữa y và x. Điền 
số thích hợp vào ô trống trong bảng sau;
 x -40 -8 -0,5 16 6,4
 y 4 -160 20 -3,2
12.2. Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch z và t; z1 và z2 là hai giá trị của z, t1 và t2 là hai giá trị tương 
ứng của t.
Biết z2 8; 2z1 3t2 10 và t1 4 . Tính z1 ,t2 .
12.3. Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với 50; 125 và 25.
12.4. Một số dương M được chia làm bốn phần đều là các số dương tỷ lệ nghịch với 2;3;4;5. Biết 
hiệu giữa tổng các bình phương của phần thứ nhất và phần thứ hai với tổng các bình phương của 
phần thứ ba và thứ tư là 3724. Tìm số M.
12.5.
a) Tìm ba số a,b,c tỷ lệ nghịch với 2;3;5 . Biết a3 2b3 3c3 5816 ;
 1 1 1
b) Cho ba số a,b,c tỷ lệ nghịch với ; ; .
 2017 2018 2019
 2020 a b b c 
Tính giá trị biểu thức A .
 c a 2
12.6. 
Một tam giác ABC có chu vi 105cm. Các đường cao trong tam giác 
ABC ứng với cạnh là BC a là ha 28cm ứng với cạnh AB c 
 a c 5
là h 32cm . Biết với AC b .
 c b 2
Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác nói trên.
12.7. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành một lúc từ A đến B. Vận tốc của ô tô là 60km/h. 
Vận tốc của xe máy là 45km/h. Ô tô đến B trước xe máy là 30 phút. Tính quãng đường AB. a b c
a) Tìm ba số a,b,c biết rằng và abc 20;
 12 9 5
 6 9 2
b) Tìm ba số có tổng 420, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ hai bằng số thứ ba.
 7 11 3
 (Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 7, quận 9, TP Hồ Chí Minh,
 năm học 2014 - 2015)
12.18. Tìm x, y,z biết rằng x và y tỉ lệ nghịch với 3 và 2; y và z tỉ lệ nghịch với 4 và 5 và 
3x2 y2 z2 1971.
 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 7, quận 9, TP Hồ Chí Minh,
 năm học 2015 – 2016)
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
 80
12.1. Công thức x.y 80 hay y 
 x
 x -40 20 -8 -0,5 4 16 -25 6,4
 y -2 4 -10 -160 20 5 -3,2 12,5
 z1 2z1 3t2 2z1 3t2 z1 10 10.8
12.2. z1 20 .
 z2 2z2 3t1 2z2 3t1 8 16 12 4
 z1 t2 z1t1 20.4
Và từ t2 10.
 z2 t1 z2 8
12.3. Gọi hai số phải tìm là x; y x 0; y 0 . Tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với 50; 125 
 1 1 1
và 25 nghĩa là tỉ lệ thuận với ; ; .
 50 125 25
 1 1 1 x y x y xy
 x y : x y : xy : : 5 : 2 :10. Hay 
 50 125 25 5 2 10
 x y x y x y x y 2x
Từ 
 5 2 5 2 7
 x y x y x y x y 2y
Và 
 5 2 5 2 3
 2xy 2x 2y 2xy 2xy
Ta có .
 20 7 3 7y 3x
 20 20
Suy ra 7y 20 y và 3x 20 x .
 7 3
12.4. Gọi bốn phần của M là x; y;z;t x; y;z;t 0 
 1 1 1 1
Ta có: x : y : z : t : : : 30 : 20 :15 :12
 2 3 4 5