Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 11: Đại lượng tỉ lệ thuận - Toán 7

 Chương II. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 
Chuyên đề 11. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa: Nếu đại lương y liên hệ với đại lượng x theo công thức y kx (với k là hằng số khác 
0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.
2. Chú ý:
* Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ thuận với y và ta nói hai đại lượng đó tỷ 
lệ thuận với nhau.
 1
* Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k (khác 0) thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số .
 k
* Nếu z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1 , y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k2 thì z tỷ lệ thuận với 
x theo hệ số tỉ lệ k1.k2 .
3. Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:
* Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi:
y y y
 1 2 3 ... k.
x1 x2 x3
* Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
x y x y
 1 1 ; 1 1 ;...
x2 y2 x3 y3
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Dưới dây là bảng giá trị tương ứng của thời gian t (giờ) và quãng đường s (km) trong một 
chuyển động:
 Thời gian t (giờ) 0,8 1,2 1,5 2,5 4
 Quãng đường s (km) 20 30 37,5 62,5 100
a) Hai đại lượng quãng đường s (km) và thời gian t (giờ) có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không?
b) Tính quãng đường đi ứng với thời gian 6 giờ 30 phút?
c) Nếu quãng đường là 90 km thì thời gian đi là bao nhiêu ?
 Tìm cách giải: Dựa vào tính chất để kết luận: ta nhận thấy:
 20 30 37,5 62,5 100
 25
0,8 1,2 1,5 2,5 4
Nghĩa là tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi. Từ đó tìm ra công thức và tính s 
với t = 6 giờ 30 phút = 6,5 giờ và tính t với s = 90 km.
 Giải b) Từ đó điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
 1
 x -5 -2,5 0
 2
 1
 y 0 3 6 18
 2
 Tìm cách giải:
a) Biết hiệu hai giá trị của x giả sử x1 x2 2 và hiệu hai giá trị tương ứng của y là y1 y2 12 ta 
nghĩ đến sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm hệ số tỉ lệ k y kx .
b) Từ công thức y kx x y : k rồi tính ra số cần điền vào ô trống.
 Giải
a) Gọi hai giá trị của x là x1 và x2 với x1 x2 2 và hai giá trị tương ứng của y là y1 và y2 . Theo 
tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 y y y y 12
k 1 2 1 2 6.
 x1 x2 x1 x2 2
Vậy công thức liên hệ là y 6x .
b) Từ công thức y 6x x y : 6.
Kết quả các số điền vào bảng như sau:
 1 1 1
 x -5 -2,5 0 1 3
 2 12 2
 1
 y -30 -15 -3 0 3 6 18
 2
Ví dụ 4: 15 lít dầu hỏa có khối lượng 12kg. Hỏi 1 thùng 55 lít dầu hỏa có khối lượng bao nhiêu kg? 
(không kể khối lượng vỏ thùng)
* Tìm cách giải: Đại lượng dung tích dầu hỏa (x) tỉ lệ thuận với khối lượng dầu hỏa (y). Đại lượng x 
có hai giá trị x1 15 (lít); x2 55 (lít). Đại lượng y có hai giá trị tương ứng là y1 12 (kg) và y2 là 
 y y
giá trị cần tìm. Dựa vào tính chất 1 2 để tính khối lượng dầu cần tìm.
 x1 x2
 Giải
Gọi khối lượng dầu cần tìm là y2 kg; y2 0 . Do khối lượng dầu hỏa tỉ lệ thuận với dung tích của 
nó nên ta có:
12 y 12
 2 y 55. 44 kg .
15 55 2 15
Vậy thùng 55 lít dầu hỏa có khối lượng 44 kg. nhau; s1 là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe máy; s2 là quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ 
gặp ô tô ta có s1 s2 1.
Trong cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó:
 s s s s 1 1 8 2
t 1 2 1 2 2 (giờ) = 2 giờ 40 phút.
 v v v v 1 1 3 3 3
 1 2 1 2 
 4 8 8
Vậy hai xe gặp nhau lúc 7 giờ 40 phút.
 Chú ý: Ta có cách giải khác: Nếu gọi độ dài quãng đường AB là a (km) thì vận tốc của vận tốc xe 
 a a
ô tô là v (km/giờ); vận tốc xe máy là v (km/giờ). Gọi t là thời gian hai xe phải đi để gặp 
 1 4 2 8
nhau; s1 là quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp xe máy; s2 là quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ 
gặp ô tô, ta có: s1 s2 a .
 s s s s 1 a 8 2
Ta có: t 1 2 1 2 2 (giờ) = 2 giờ 40 phút.
 v v v v a a 3.a 3 3
 1 2 1 2 
 4 8 8
Ví dụ 7: Cho ABC có số đo các góc µA, Bµ,Cµ lần lượt tỉ lệ với 2,3,5 . Tính số đo các góc của 
 ABC .
 Tìm cách giải: Ta có: µA Bµ Cµ 180 và do số đo các góc µA, Bµ,Cµ lần lượt tỉ lệ với 2,3,5 nghĩa 
 µA Bµ Cµ
là . Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có cách giải sau:
 2 3 5
 Giải
 µA Bµ Cµ µA Bµ Cµ 180
Ta có: 18
 2 3 5 2 3 5 10
Suy ra µA 2.18 36; Bµ 3.18 54; µC 5.18 90
 Chú ý: Bài toán trên thuộc dạng chia một số thành những phần tỉ lệ thuận với các số cho trước.
Phương pháp chung để giải các bài toán dạng đó là: Giả sử phải chia một số t thành n phần t1 ,t2 ,...,tn 
tỉ lệ thuận với các số a1 ,a2 ,...,an (khác 0) với n ¥ ;n 1 ta làm như sau:
t t t t t ... t t
 1 2 ... n 1 2 n k
a1 a2 an a1 a2 ... an 1 a2 ... an
Từ đó có t1 ka1;t2 ka2 ;....;tn kan .
Ví dụ 8: Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D tham gia lao động trồng cây. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ lần lượt với 
5; 4; 3; 2. Biết rằng 5 lần số cây của lớp 7A trồng cộng với 4 lần số cây lớp 7B trồng nhiều hơn ba 
lần tổng số cây của 7C và 7D trồng là 520 cây. Tìm số cây mỗi lớp đã trồng. Giải
 a 5 20 a b
a) Theo bài ra, ta có: 1 
 b 6 24 20 24
b 8 24 b c
 2 
c 9 27 24 27
 c 3 27 c d
và 3 
 d 2 18 27 18
 a b c d c d 27
Từ (1); (2); (3) suy ra: 3.
 20 24 27 18 27 18 9
 a b c d a b c d A
Do đó 3 A 267.
 20 24 27 18 20 24 27 18 89
 x 135 z
b) 3x 4z 540 .
 4 3
 1 2 3 4 5 30 40 45 48 50
Ta có x : y : z : t : u : : : : : : : :
 2 3 4 5 6 60 60 60 60 60
 30 : 40 : 45 : 48 : 50
 x y z t z 3x 4z 3x 4z 540
Do đó 2
 30 40 45 48 50 90 180 90 180 270
 x 60; y 80; z 90;t 96;u 100.
Vậy B 60 80 90 96 100 426.
C. Bài tập vận dụng
11.1. Dưới dây là bảng giá trị tương ứng của thể tích V cm3 với khối lượng m (g) của sắt:
Thể tích V cm3 2 2,4 4 5 6
Khối lượng m (g) 15,7 18,84 31,4 39,25 47,1
a) Chứng tỏ hai đại lượng khối lượng m (g) và thể tích V cm3 là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Viết công 
thức?
b) Tính khối lượng của 3cm3 sắt.
c) Một khối lượng 125,6 g sắt có thể tích bao nhiêu?
11.2. Cùng năng suất lao động thì số lượng sản phẩm K (chiếc áo) và thời gian t (ngày) của một 
xưởng may là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Hãy điền vào ô trống các số thích hợp trong bảng sau:
 Thời gian t (ngày) 4 5 15
 Số lượng K (chiếc áo) 360 720 1440
11.3. Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong 2 bảng sau: 11.11. Cho y tỉ lệ thuận với x. Biết hiệu hai bình phương của hai giá trị y1 và y2 là 128 và hiệu hai 
bình phương của hai giá trị tương ứng x1 và x2 là 8.
a) Hãy viết công thức liên hệ giữa y và x;
 2 2
b) Tính y3 y4 biết x3 3 và x4 8 .
11.12*. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ M và N cách nhau 55 km và đến P cùng một lúc (ba địa 
điểm M, N, P nằm trên một đường thẳng). Vận tốc của ô tô đi từ M là 50km/h, vận tốc ô tô đi từ N là 
60km/h. Tính quãng đường mà hai ô tô đã đi.
11.13*. Cùng lúc 7 giờ sáng một ô tô chạy từ A và đến B lúc 8 giờ 30 phút, một xe đạp điện chạy từ 
B đến A lúc 10 giờ. Một xe đạp khởi hành từ A lúc 6 giờ và đến B lúc 12 giờ. Hỏi:
a) Xe ô tô và xe đạp điện gặp nhau lúc mấy giờ?
b) Xe ô tô gặp xe đạp lúc mấy giờ?
11.14. Lúc 6 giờ sáng trên quãng đường AB dài 93km, người đi xe máy thứ nhất đi từ A đến B có 
 3
vận tốc bằng vận tốc người đi xe máy thứ hai đi từ B đến A. Đến lúc gặp nhau thời gian người đi 
 4
 5
xe máy thứ nhất bằng thời gian người đi xe máy thứ hai.
 4
Tính quãng đường mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau.
11.15. Một ca nô khi nước yên lặng có vận tốc là 30km/h. Với cùng thời gian ca nô xuôi dòng 99km 
thì ca nô ngược dòng được bao nhiêu km biết một cụm bèo trôi trên dòng sô ng 9km trong 3 
giờ.
11.16. Một ô tô khách và một ô tô tải cùng khởi hành lúc 8 giờ sáng từ hai đầu quãng đường AB dài 
100km. Ô tô khách đi từ A đến B với vận tốc 750m/phút. Ô tô tải đi từ B đến A sau 2 giờ đi được 
70km. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Hỏi đến mấy giờ thì ô tô tải cách M một khoảng gấp ba khoảng cách từ ô tô khách đến M?
b) Nếu đi tiếp với vận tốc ấy thì sau mấy giờ nữa thì ô tô khách đến B?
11.17. Ba tổ sản xuất của một xí nghiệp cùng sản xuất một loại sản phẩm với năng suất lao động của 
mỗi công nhân đều như sau. Tổ một có 12 người trong 9 ngày sản xuất được 540 sản phẩm. Tổ hai có 
18 người trong 8 ngày; tổ ba có 10 người làm trong 4 ngày. Hỏi tổ hai và ba mỗi tổ sản xuất được bao 
nhiêu sản phẩm?
 1 2 3 4
11.18. Một số dương A được chia làm bốn phần đều dương tỉ lệ với ; ; ; và tổng các bình 
 2 3 4 5
phương của bốn phần ấy là 23716. Tìm số A.
11.19*. Bốn túi đường có tổng cộng 375 kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở túi thứ nhất; 2kg ở túi 
 1
thứ hai; 3kg ở túi thứ ba; 4kg ở túi thứ tư. Lần thứ hai người ta lấy tiếp đi số kg đường còn lại của 
 5