Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 11: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông - Hình học 7

 Chuyên đề 11. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG
 NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. Kiến thức cần nhớ
Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông, còn có trường hợp bằng nhau theo cạnh 
huyền – cạnh góc vuông.
 • Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc 
vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
 (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác cân tại A. Đường thẳng 
vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông 
góc với AC tại C ở D. Chứng minh rằng AD là 
tia phân giác của góc BAC.
 Giải
* Tìm cách giải. Để chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC, chúng ta cần chứng minh 
B·AD = C·AD . Do đó hiển nhiên cần chứng minhDBAD = DCAD .
* Trình bày lời giải.
Xét và có: ; AD là cạnh chung; AB = AC ( cân tại A).
Do đó (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
 (cặp góc tương ứng).
Vậy AD là tia phân giác góc BAC. Þ DPMB = DPMC (c.g.c)Þ PB = PC (hai cạnh tương ứng)
b) và có , AP là cạnh chung
 (cạnh huyền - góc nhọn)
 (hai cạnh tương ứng)
 và có P·HB = P·KC = 90°,PB = PC, PH = PK
 (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
 (hai cạnh tương ứng)
b) Kẻ (hai góc đồng vị) (1)
Mà (chứng minh trên) (hai cạnh tương ứng)
 cân tại A (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) hay 
 cân tại 
Mà BH = CK (chứng minh trên) 
DBEM và DCKM có MB = MC,E·BM = K·CM, BE = CK
 (c.g.c)
 (hai góc tương ứng)
Mà (hai góc kề bù)
 E, M, K thẳng hàng.
Mà H, M, K thẳng hàng.
c) và có AH = AK,O·AH = O·AK, AO là cạnh chung
 , suy ra , mà hai góc này kề bù nên
 tại O.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta có:
 (vì AH = AK và PH = PK ) 11.7. Cho tam giác DEF vuông tại D và DF > DE . Kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M 
là trung điểm của EF. Chứng minh rằng .
11.8. Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH ^ CM tại H, 
kẻ HE ^ AB tại E. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABH cân.
b) HM là tia phân giác góc BHE. AM chung; H·AM = K·AM
Þ DAHM = DAKM (cạnh huyền góc nhọn)
Þ MH = MK .
b) DBHM và DCKM có B·HM = C·KM(= 90°);
BM = MC;MH = MK
Þ DBHM = DCKM (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Þ Bµ= CµÞ DABC cân tại A.
11.4.
a) DAHB = DAHD (c.g.c), suy ra AB = AD.
DABC vuông tại A, có nên .
Tam giác ABD cân, có nên DABD là tam giác đều.
b) 
 (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra CH = AE.
DADC cân tại vì nên DA = DC.
Suy ra hay DE = DH . Do đó DDEH cân tại D, hai tam giác cân DAC và DEH 
có góc ở đỉnh 
 .
11.5. 
a) DABE và DDBE có:
 (Vì ) AB = AD (giả thiết), BE: cạnh chung
Vậy (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Þ AE = DE .
b) Từ câu a) suy ra , do đó BK là phân giác của góc ABC.
Vẽ . Ta có: 
 và có 
 (cạnh huyền – góc nhọn).
 và có , MK chung; MH = MI
 (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Vậy KM là tia phân giác 
11.7. Áp dụng ví dụ 10 chuyên đề 8, ta có: ME = MD
 cân tại M 
Mặt khác, ta có: (cùng phụ với góc HDF)
Ta có: 
11.8.
a) Từ A kẻ tại K và tại Q.
Hai tam giác vuông MAK và NCH có
 (cùng phụ với góc AMC)
 (1)
 và có AK = CH, , AB = CA