Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 10: Định lý Pytago - Hình học 7

 Chương II
 TAM GIÁC
 Chuyên đề 10. ĐỊNH LÝ PY-TA-GO
A. Kiến thức cần nhớ
Trong toán học, định lý Py-ta-go là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh tam giác của 
một tam giác vuông.
- Pythagoras (tiếng Hy Lạp: Πυθαγόρας; sinh khoảng năm 580 đến 572 TCN - mất khoảng năm 
500 đến 490 TCN) là một nhà triết học người Hy Lạp và là người sáng lập ra phong trào tín ngưỡng 
có tên học thuyết Pythagoras. Ông thường được biết đến như một nhà khoa học và toán học vĩ đại. 
Trong tiếng Việt, tên của ông thường được phiên âm từ tiếng Pháp (Pythagore) thành Py-ta-go.
- Pythagoras đã thành công trong việc chứng minh tổng 3 góc của một tam giác bằng 180° và nổi 
tiếng nhất nhờ định lý toán học mang tên ông. Ông cũng được biết đến là "cha đẻ của số học". Ông 
đã có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tín ngưỡng vào cuối thế kỷ 7 TCN. Về cuộc đời 
và sự nghiệp của ông, có quá nhiều các huyền thoại khiến việc tìm lại sự thật lịch sử không dễ dàng. 
Pythagoras và các học trò của ông tin rằng mọi sự vật đều liên hệ đến toán học, và mọi sự việc đều 
có thể tiên đoán trước qua các chu kỳ.
1) Định lí Py-ta-go
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình 
phương của hai cạnh góc vuông.
 ABC vuông tại A BC 2 AB2 AC 2 .
2) Định lí Py-ta-go đảo
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương 
của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
 ABC : BC 2 AB2 AC 2 B· AC 90 .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình vẽ sau. Tìm x: AB2 AC 2 BC 2 AB2 AC 2 400
 4.AC 16.AC 2
Từ đề bài, đặt: 3AB 4AC AB AB2 
 3 9
 16.AC 2 25.AC 2
AB2 AC 2 BC 2 AC 2 400 400 AC 2 144
 9 9
Từ đó suy ra AC 12cm , AB 16cm .
Ví dụ 3: Gấp mảnh giấy hình chữ nhật như hình dưới đây sao cho điểm 
D trùng với điểm E, là một điểm nằm trên cạnh BC. Biết rằng 
AD 10cm , AB 8cm . Tính độ dài của CE.
 Giải
* Tìm cách giải. Khi gấp hình, chúng ta lưu ý các yếu tố bằng nhau. Suy 
ra được AE AD
Để tính CE, chúng ta chỉ cần tính BE. Từ đó chúng ta có lời giải sau:
* Trình bày lời giải.
Ta có ·AEF ·ADF 90 ; AD AE 10cm .
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ABE, ta có:
BE 2 AE 2 AB2 BE 2 102 82 36 BE 6cm .
Suy ra CE 10 6 4cm .
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A, µA 30 ; BC a . Lấy điểm D trên cạnh AC sao cho 
C· BD 60 . Tính độ dài AD theo a.
 Giải
- Cách 1. Tam giác ABC cân tại A; µA 30 nên ·ABC ·ACB 75 .
Trên nửa mặt phẳng bờ BC, chứa điểm A, vẽ BIC vuông cân tại I thì 
I nằm trong ABC .
Ta có: C· BI 45 ; I·BA 30 I·BD 15 ·ABD 15 .
 IAB và IAC có AB AC ; IB IC ; AI là cạnh chung. 
Do đó IAB IAC c.c.c I·AB I·AC 15 .
 IAB và DBA có I·BA D· BA 15 ; AB là cạnh chung; 
·ABI B· AD 30 . Do đó IAB DBA g.c.g IB AD .
 IBC vuông cân tại I, theo định lý Py-ta-go, ta có:
 a
BI 2 IC 2 BC 2 a2 2.BI 2 a2 BI 
 2
 a
Suy ra AD .
 2 d) Tìm điều kiện xy để A là trung điểm MN.
 Giải
* Tìm cách giải.
 Để chứng minh một biểu thức hình học không phụ thuộc vào vị trí của yếu tố hình học nào đó, ta 
biến đổi chứng tỏ biểu thức đó bằng kết quả chỉ chứa yếu tố cố định.
 Để tìm điều kiện hình học thỏa mãn yêu cầu nào đó, ta coi yêu cầu đó là giả thiết từ đó suy ra điều 
kiện cần tìm.
* Trình bày lời giải.
 µ ¶ µ ¶ µ µ
a) Ta có: B1 A2 90 ; A1 A2 90 nên B1 A1 .
 ¶ µ µ µ
- BAM và ACN có M N 90 ; B1 A1 ; 
AB AC nên BAM ACN (cạnh huyền – góc nhọn)
b) BAM ACN nên BM AN ; AM CN
Suy ra: BM CN AN AM MN .
c) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông BAM:
BM 2 AM 2 AB2 hay BM 2 CN 2 AB2
Suy ra BM 2 CN 2 không phụ thuộc vào vị trí xy .
d) BAM ACN nên AM CN
AM AN AN CN hay ACN vuông cân tại N
 µ
 A1 45 xy//BC .
* Nhận xét.
 Nếu gọi I là trung điểm của BC ta còn có kết quả đẹp: IMN vuông cân.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có µA 50 ; Bµ 20. Trên đường phân giác BE của góc ·ABC lấy 
điểm F sao cho F· AB 20 . Gọi I là trung điểm của AF, K là giao điểm của tia EI với AB; M là giao 
 2 2 1 
điểm của CK với EB. Chứng minh rằng: AI EI AF. MF KE .
 2 
 Giải
* Tìm cách giải. Phân tích kết luận AI 2 EI 2 gợi cho chúng ta dùng định lý Py-ta-go.
Dựa vào hình vẽ, chúng ta phán đoán tam giác AIE vuông tại I. Sau đó chứng minh dự đoán này.
Phân tích từ giả thiết, với các yếu tố về góc, chúng ta tính được Cµ ; F· AE 30 ; ·ABE C· BE 10 . 
Từ đó tính được B· EC 60 . Từ phân tích đó, chúng ta có lời giải sau:
* Trình bày lời giải.
 ABF có ·AFE B· AF ·ABF 30 (tính chất góc ngoài của tam giác).
Suy ra E· AF E· FA EAF cân đỉnh E EA EF . 10.1. Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Biết AB 10cm ; AH 8cm ; 
HC 15cm . Tính chu vi tam giác ABC.
10.2. Tìm x trong hình vẽ sau:
10.3. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABM, ACN 
vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D.
a) Chứng minh: AMC ABN .
b) Chứng minh: BN  CM .
c) Cho MB 3cm ; BC 2cm ; CN 4cm . Tính MN.
d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.
10.4. Cho hình vẽ sau. Biết rằng µA 60 ; Bµ Dµ 90, BC 4cm ; CD 6cm . Tính độ dài đoạn 
thẳng AB?
10.5. Trong tam giác vuông dưới đây, biết BC 3cm ; CD=2cm; AC n và AD m . Tính giá trị 
của m2 n2 . Hướng dẫn giải
10.1. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
 ABH vuông, nên AH 2 BH 2 AB2
64 BH 2 100 BH 6 cm .
 ACH vuông, nên AC 2 AH 2 HC 2
AC 2 64 225 AC 17 cm .
Chu vi ABC là: AB AC BC 10 17 6 15 48 cm .
10.2. Tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
AB2 AC 2 BC 2 62 62 BC 2 BC 2 72.
Tam giác BCD vuông tại C. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
BC 2 CD2 BD2 72 32 BD2 BD2 81 BD 9.
Từ đó suy ra x 9 .
10.3.
a) Ta có M· AC B· AN (cùng bằng 90 B· AC ).
MA AB ( MAB vuông cân tại A)
AC AN (tam giác NAC vuông cân tại A)
 AMC ABN c.g.c .
b) Gọi giao điểm của BN với AC là F.
·ANF F· CD (vì AMC ABN ), ·AFN C· FD (đối 
đỉnh)
Từ đó suy ra F· DC F· AN . Do đó BN  CM .
c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông 
MDN, BDC, MDB, NDC, ta có:
MN 2 BC 2 MD2 ND2 BD2 CD2
BM 2 CN 2 MD2 BD2 ND2 CD2
 MN 2 BC 2 BM 2 CN 2
 MN 2 MB2 NC 2 BC 2 .
Thay MB 3cm , BC 2cm , CN 4cm , vào đẳng thức MN 2 MB2 NC 2 BC 2 , tính được 
MN 21cm .
d) Trên tia BN lấy điểm E, sao cho BE MD .
 AMD ABE c.g.c 
Suy ra AD AE ADE cân tại A (1) AMH ANH (cạnh huyền – góc nhọn)
 AM AN AMN cân.
 180 µA
b) ABC cân tại A ·ABC .
 2
 180 µA
 AMN cân tại A ·AMN .
 2
Suy ra ·ABC ·AMN , mà hai góc ở vị trí đồng vị nên MN //BC .
c) Áp dụng định lý Py-ta-go trong các tam giác vuông, ta có:
AH 2 BM 2 AN 2 HN 2 BH 2 HM 2 AN 2 BH 2 (vì HM HN ).
10.8. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
BM 2 AB2 AM 2
BM 2 BC 2 AC 2 AM 2
 AC 2
BM 2 BC 2 AC 2 
 4
 3
Hay BM 2 BC 2 .AC 2 .
 4
10.9. Áp dụng định lý Py-ta-go cho các tam giác vuông ABH; BCH ta có:
AB2 BH 2 AH 2 1 
BC 2 BH 2 CH 2 2 
AC 2 BH 2 AH 2 (vì AB AC ) (3).
Cộng từng vế (1), (2), (3), ta có:
AB2 AC 2 BC 2 3.BH 2 2.AH 2 CH 2 .
10.10. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
AF 2 AM 2 MF 2
BD2 BM 2 MD2
CE 2 CM 2 ME 2
Suy ra AF 2 BD2 CE 2 AM 2 BM 2 CM 2 MF 2 MD2 ME 2
 AM 2 ME 2 BM 2 MF 2 CM 2 MD2 AE 2 BF 2 CD2 .
10.11. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
AH 2 AE 2 HE 2 ; BC 2 BE 2 CE 2
 AH 2 BC 2 AE 2 BE 2 HE 2 CE 2 .
 AB2 CH 2 .
10.12. a) Từ M kẻ tia My vuông góc với BC và cắt tia Bx tại A . CAD và CEB có CA CE ; ·ACD E· CB 60 ·ACB ; 
CD CB
 CAD CEB c.g.c 
 BE AD 2 
Từ (1) và (2) suy ra: AB2 AC 2 AD2 .