Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 10: Câu đố và trò chơi - Toán 7

 Chuyên đề 10.
 CÂU ĐỐ VÀ TRÒ CHƠI
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn một lượt (trong một trận đội thắng được 3 
điểm, đội hòa được 1 điểm, và đội thua được 0 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được 
tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải có tổng số điểm là 
bao nhiêu và giải thích tại sao?
 (Tuyển sinh lớp 10, trường PTNK, ĐHQC TP. Hồ Chí Minh, năm học 2006-2007)
 Giải
Do có 4 đội tham dự nên mỗi đội đấu 3 trận. Theo đề bài đội 6 điểm thắng 2 trận và thua 1 trận, đội 5 
điểm thắng 1 trận và hòa 2 trận, đội 1 điểm hòa 1 trận và thua 2 trận. Do đó đội còn lại phải có 1 trận hòa.
Vì tổng số trận thắng bằng tổng số trận thua nên đội còn lại phải thua 1 trận và thắng 1 trận. Tổng số điểm 
của đội còn lại là: 1 + 0 +3 = 4 (điểm)
Có thể diễn giải như sau: Giả sử 4 đội bóng đá là A, B, C, D
+ A thắng C và D, thua B nên được 6 điểm.
+ B thắng A, hòa C và D nên được 5 điểm.
+ C thắng D, hòa B thua A nên được 4 điểm.
+ D hòa B, thua A và C nên được 1 điểm.
Ví dụ 2: Một tháng đặc biệt có tới năm ngày thứ 3, trong đó ngày đầu tiên và ngày cuối cùng của tháng 
không phải là thứ 3. Hỏi ngày cuối cùng của tháng đó là ngày nào?
 Giải
✓ Tìm cách giải. Nhận thấy một tháng nhiều nhất có 31 ngày, nên nhiều nhất chỉ có 5 ngày thứ ba, 
khoảng cách giữa hai thứ ba liên tiếp là 7 ngày. Do đó chúng ta có thể tìm được ngày thứ ba đầu tiên 
trong tháng đó.
✓ Trình bày lời giải.
Ngày 2 của tháng là thứ 3, suy ra năm ngày thứ ba là 2, 9, 16, 23, 30. Mà ngày cuối cùng của tháng không 
phải ngày thứ ba nên suy ra ngày cuối cùng của tháng là 31 ngày và là thứ tư.
Ví dụ 3: Có 2020 đồng xu được đánh số thứ tự từ 1 đến 2020, tất cả đều ngửa.
Lần 1: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 1.
Lần 2: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 2.
Lần 3: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 3.
Lần 2020: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thứ tự là bội của 2020.
Hỏi có bao nhiêu đồng xu ngửa sau lần lật thứ 2020?
 Giải • Giải nhì: Minh Hạnh, dự đón 140 viên.
 • Giải ba: Trọng Nhân, dự đón 142 viên.
 • Giải tư: Đức Minh, dự đoán 121 viên.
Hỏi chính xác trong lọ có bao nhiêu viên cẩm thạch.
 Giải
Nếu gọi số viên cẩm thạch trong lọ là x thì 125 x 140. 
Vì người dự đoán số 125 đạt giải nhất và người dự đón 140 đạt giải nhì nên suy ra 
x 125 140 x 125 x 132.
Vì người dự đoán số 142 đạt giải ba và người dự đoán số 121 đạt giải tư nên
 142 x x 121 132 x 132 x 132. 
Vậy trong lọ có chính xác 132 viên cẩm thạch. 
B. Bài tập vận dụng
10.1 Bốn đội bóng A, B, C, D được xếp cùng một hàng. Mỗi đội chơi 1 trận, lần lượt với các đội còn lại. 
Mỗi trận thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm, thua 0 điểm. Sau tất cả các trận đấu, kết quả như sau:
(1). Tổng số điểm 3 trận của mỗi đội là các số lẻ liên tiếp.
(2). Đội D cao điểm nhất.
(3). Đội A hòa đúng 2 trận, trong đó hòa một trận với C. Tính điểm của mỗi đội.
10.2 Cho hình vuông 5 x 5 gồm 25 ô vuông nhỏ. Hỏi phải tô ít nhất bao nhiêu ô sao cho trong mỗi hình 
vuông 3x3 bất kì có đúng 4 ô được tô.
10.3 Sửu chỉ nói thật vào thứ 2, thứ 4, thứ 6 và chủ nhật. Dần chỉ nói thật vào ngày thứ 2, thứ 3, thứ 4 và 
thứ 5. Hãy tìm ngày mà cả hai đều nói: “Hôm qua, Tôi đã nói dối”.
10.4 Trên một bàn cờ 15 x 15 ô vuông gồm các ô trắng đen xen kẽ như cờ vua, có 15 quân xe đứng ở vị 
trí không đối đầu nhau (không ăn được nhau). Giả sử sau đó, mỗi quân xe này bị xê dịch theo một bước đi 
của quân mã. Chứng minh rằng khi đó phải có một cặp quân xe rơi vào thế đối đầu nhau.
10.5 Ai đã lấy thanh kẹo?
Ở trường nội trú, trong giờ ăn trưa, từ phòng cô Hằng ra, năm cậu bé ghé đến một quầy ăn trưa bên cạnh 
đó. Một trong năm cậu đã lấy một thanh kẹo mà không trả tiền. Khi bị thấy hiệu trưởng chất vấn, năm cậu 
bé trả lời như sau:
1) An : “Không phải Cường lấy, cũng không phải em”
2) Bình : “Theo em, An hoặc Chi đã lấy”
3) Chi : “Cả An và Bình đều nói dối”
4) Dũng : “Chi nói không đúng, một trong hai người kia nói dối, người còn lại nói sự thật”
5) Cường: “Tất cả những gì Dũng nói đều sai cả”
Khi thấy hiệu trưởng hỏi ý kiến cô Hằng, cô trả lời: “Trong năm cậu ấy, có 3 cậu luôn luôn trung thực, 
hai cậu còn lại thì luôn dối trá”.
Giả sử có Hằng nói đúng, bạn hãy xác định xem ai là người đã lấy thanh kẹo? nào cuối cùng sẽ nhận được 105 đống mà mỗi đống chỉ có một hòn, sau một dãy các thao tác luân phiên 
nhau?
 (Cuộc thi Toán học Quốc tế của các tỉnh thành, THCS, mùa xuân 2001) 10.5 Vì có 3 cậu luôn luôn trung thực nên câu trả lời của 3 cậu đó sẽ không mâu thuẫn với nhau, nói cách 
khác, với người nói thật thà câu trả lời sẽ không mâu thuẫn với ít nhất hai câu trả lời của người khác. Từ 
nhận xét trên, chúng ta suy luận ngay được An, Bình và Cường là những người luôn nói thật còn Chi và 
Dũng là những người luôn nói dối.
Dựa vào các câu trả lời của An và Bình, suy ra Chi là người lấy kẹo.
10.6 
a) Đội xếp nhất 15 điểm nên thi đấu ít nhất với 5 đội khác nhau N 5 1 
Nếu N = 6 thì đội xếp thứ nhất thắng 5 đội còn lại, đội xếp nhì 12 điểm nên thắng 4 đội trừ đội xếp nhất. 
Đội xếp ba thua đội xếp nhất và nhìn nên số điểm tối đa là 3.3 = 9.
Theo đầu bài đội ba 12 điểm: vô lí
Do vậy N 7. 
b) Các đội còn lại có số điểm không lớn hơn 12. Vì không có hòa nên số điểm các đội còn lại là bội của 3. 
Số điểm của các đội còn lại có thể là: 0, 3, 6, 9, 12.
Do đó N 5 3 vì N 7 (câu a)
Nên N = 7 hoặc N = 8
 • Xét N = 8.
 .7
Có 8 đội nên số trận đấu có 28 trận. Tổng số điểm 8 đội đạt là 28.3 là số chẵn.
 2
Còn 0+3+6+9+12+12+12+15 là số lẻ: vô lí. Vậy nên N 8 
 • Xét N = 7.
 7.6
Có 7 đội nên số trận đấu có 21 trận.
 2
Tổng số điểm 7 đội đạt 21.3 = 63 điểm. Tổng số điêm các đội còn lại đạt được là: 63 (12 12 15) 24 
điểm.
24 0 3 9 12 
Số 24 biểu diễn thành tổng 4 số là bội của 3 và khác nhau chỉ duy nhất theo cách biểu diễn trên.
Tổng số điểm mỗi đội còn lại đạt được lần lượt là 0, 3, 9, 12.
 4x3
10.7 Sau khi giải kết thúc, số ván cờ đã thi đấu giữa 4 kỳ thủ xếp cuối cùng là: 6. 
 1x2
Sau mỗi ván tổng số điểm của hai kỳ thủ nhận được là 1. Vì thế tổng số điểm của 4 kỳ thủ xếp cuối cùng 
không ít hơn 6 điểm. Nếu s 6,5 thì tổng số điểm của kỳ thủ xếp thứ hai là s 6,5 
Do 8 kỳ thủ được các số điểm khác nhau nên dễ thấy kỳ thủ xếp thứ nhất có điểm số không ít hơn 
s 0,5 7. 
Do kỳ thủ xếp thứ nhất đấu 8 trận nên điều này chỉ xảy ra khi s 0,5 7 s 6,5 và kỳ thủ xếp thứ 
nhất thắng cả 7 ván. Suy ra kỳ thủ xếp thứ hai thắng không quá 6 ván và số điểm 6 s : vô lí. 10.11 Do cả ba đống 51, 49 và 5 hòn đều có số lẻ các hòn đá nên thao tác đầu tiên phải là: dồn hai đống 
thành một.
Nếu ban đầu dồn hai đống 5 và 49 hòn thành một, ta sẽ có hai đóng 51 và 54 hòn đều có số hòn là bội của 
3. Từ lúc này trở đi, khi luân phiên thực hiện các thao tác, dễ thấy mỗi đống luôn là bội của 3.
Tương tự: Nếu ban đầu dồn hai đống 49 và 51 hòn thành một rồi tiếp tục luân phiên thực hiện các thao tác 
thì mỗi đống luôn là bội của 5;
Nếu ban đầu dòn hai đống 5 và 51 hòn thành một rồi tiếp tục luân phiên thực hiện các thao tác thì mỗi 
đống luôn là bội của 7.
Vậy ta không thể thực hiện được yêu cầu của đề bài.