Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 1: Tập hợp số hữu tỉ - Toán 7

 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
 Chương I
 SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
 Chuyên đề 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Số hữu tỉ
 a
 • Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với a,b Î Z,b ¹ 0 .
 b
 • Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số.
 • Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số.
 • Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.
3. So sánh hai số hữu tỉ
 • Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
 • Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;
 • Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;
 • Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
 a
 • Số hữu tỉ là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu, bằng 0 nếu 
 b
 a = 0.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có thể):
 ;;;
 Giải
✓ Tìm cách giải. Khi điền vào ô trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp:
 •.
 •
 •
✓ Trình bày lời giải.
 •
 •
 •
 • Ví dụ 4. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là số nguyên.
 7 n- 2
a) ; b) 
 n- 5 5
 Giải
 a
✓ Tìm cách giải. Số hữu tỉ (với ) có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a chia hết cho 
 b
 b hay b Î Ư(a). Từ đó chúng ta có lời giải sau.
✓ Trình bày lời giải.
 7
a) Î Z Û n- 5Î Ư(7); mà Ư(7)= {1;7;- 1;- 7} suy ra bảng giá trị sau:
 n- 5
 n- 5 1 7 -1 -7
 n 6 12 4 -2
 7
Vậy với thì có giá trị là số nguyên.
 n- 5
b) (với ) .
 n- 2
Vậy với n = 5k + 2 ( ) thì có giá trị là số nguyên.
 5
 n- 21
Ví dụ 5. Tìm các số nguyên n để số hữu tỉ có giá trị là số nguyên.
 n + 10
 Giải
✓ Tìm cách giải. Đưa về ví dụ 4, bằng cách tách ra một số hạng nguyên.
✓ Trình bày lời giải.
 Ư(31) mà Ư(31)= {1;31;- 1;- 31} .
Suy ra ta có bảng giá trị sau:
 n + 10 1 31 -1 -31
 n -9 21 -11 -41
 n- 21
Với thì số hữu tỉ có giá trị là một số nguyên.
 n + 10
 3n + 2
Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ x = là phân số tối giản, với mọi n Î N .
 4n + 3
 Giải
 a
✓ Tìm cách giải. Để chứng minh là phân số tối giản (a;b Î Z) chúng ta chứng tỏ ƯCLN (a; b) = 1
 b
✓ Trình bày lời giải. 2 8 - 21
 ; ;
- 3 - 11 - 10
 6 7 2
1.3. Cho ba số hữu tỉ ; ;
 5 - 4 - 3
a) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.
b) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương bằng nhau.
 m + 10
1.4. Cho số hữu tỉ x = . Với giá trị nào của m thì:
 21
a) x là số dương. b) x là số âm.
c) x không là số dương cũng không là số âm.
 14m + 10
1.5. Cho số hữu tỉ x = . Với giá trị nào của m thì:
 - 2019
a) x là số dương. b) x là số âm. 
1.6. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là một số nguyên.
 5 n + 6
a) ; b) 
 n + 1 3
 - 2019
1.7. Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = là một số nguyên.
 a + 6
 3x - 8
1.8. Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ t = có giá trị là một số nguyên.
 x - 5
 2n + 9
1.9. Chứng tỏ số hữu tỉ x = là phân số tối giản, với mọi n Î N .
 7n + 31
1.10.
 a c a c
a) Cho hai số hữu tỉ và (b > 0;d > 0). Chứng minh rằng < khi và chỉ khi ad < bc .
 b d b d
 12 22 - 6 8
b) Áp dụng kết quả trên, so sánh các số hữu tỉ sau: và ; và .
 13 25 11 - 15
1.11.
 a c a c a a + c c
a) Cho hai số hữu tỉ và (b > 0;d > 0). Chứng minh rằng nếu < thì < <
 b d b d b b + d d
 2 3
b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số hữu tỉ và .
 3 4
1.12. Cho a, b, m là các số nguyên và b > 0; m > 0.
 a a + 1 a a + m
a) So sánh và . b) So sánh và .
 b b + 1 b b + m
 2 3 - 9 - 7
c) So sánh và ; và .
 7 8 11 9
1.13. Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn 1< a < b + c < a + 1 và b < c . Chứng minh rằng b < a . a) Ta có Ư(5) mà Ư(5)= {1;5;- 1;- 5}
Suy ra bảng giá trị sau:
 n + 1 1 5 -1 -5
 n 0 4 -2 -6
 5
Vậy với thì Î Z
 n + 1
b) Ta có: 
Vậy với thì 
1.7. Ư(-2019)
Mà Ư(-2019)
Suy ra bảng giá trị sau:
 a + 6 1 3 673 2019 -1 -3 -673 -2019
 a -5 -3 667 2013 -7 -9 -679 -2025
 - 2019
Vậy với thì là một số nguyên.
 a + 6
1.8. 
 Ư(7) mà Ư(7) 
Suy ra bảng giá trị sau:
 x - 5 1 7 -1 -7
 x 6 12 4 -2
Vậy với thì 
1.9. Đặt ƯCLN
 2n + 9
Suy ra: ƯCLN(2n + 9;7n + 31)= 1. Vậy x = là phân số tối giản với mọi n Î N .
 7n + 31
1.10. a a + 1
Nếu a < b thì <
 b b + 1
b) Trường hợp 1. Xét a > b Þ ab + am > ab + bm
Trường hợp 2. Xét a < b Þ ab + am < ab + bm
 2 2 + 1 3
c) Áp dụng câu a), ta có 2 < 7 nên < =
 7 7+ 1 8
 7 9 - 7 - 9
Áp dụng câu b), hay < suy ra < 
 9 11 9 11
1.13. Ta có b < c và 
Vì 1< a nên .
1.14.
 x
a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là với .
 20
Theo đầu bài, ta có: 
 - 7 - 6 - 5
Vậy các số hữu tỉ cần tìm là: ; ;
 20 20 20
 2
b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là: với .
 y
Theo đầu bài, ta có: 
 2
Vậy số hữu tỉ cần tìm là: -
 4