Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 1: Hai góc đối đỉnh - Hình học 7

 Chương I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Chuyên đề 1. HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của 
một cạnh của góc kia (h.1.1). 
2. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau: .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho góc bẹt AOB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB vẽ hai tia OM và ON sao cho 
·AOM B·ON . Chứng minh rằng hai góc AON và BOM là hai góc đối đỉnh. 
 Giải (h.1.2)
* Tìm cách giải
Để chứng tỏ hai góc AON và BOM là hai góc đối đỉnh, ta cần chứng tỏ 
mỗi cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia. Vì đã có hai tia OA, 
OB đối nhau nên chỉ còn phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối nhau bằng 
cách chứng tỏ MON là góc bẹt.
* Trình bày lời giải
Góc AOB là góc bẹt nên hai tia OA, OB đối nhau. Hai góc AOM và BOM kề bù nên 
 .
Mặt khác (đề bài cho) nên .
Suy ra . Vậy hai tia OM, ON đối nhau.
Hai góc AON và BOM có mỗi cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia nên chúng là hai góc đối 
đỉnh.
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng EF và GH cắt nhau tại O tạo thành bốn góc không kể góc bẹt. Biết tổng 
 . Tính số đo của bốn góc tạo thành.
 Giải (h.1.3)
* Tìm cách giải
Để tính được số đo của bốn góc tạo thành, trước tiên cần tính được số đo 
của một trong bốn góc đó. 
* Trình bày lời giải
Ta có (đề bài cho), mà 
(hai góc kề bù) nên .
Ta có (hai góc kề bù) . Hai góc AOC và BOC kề bù nên .
Do đó (hai góc đối đỉnh).
1.2. Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại O tạo thành bốn góc khác góc 
bẹt. Biết . Tính số đo của mỗi góc tạo thành.
 Hướng dẫn giải (h.1.7)
Hai góc NOP và MOP kề bù nên mà 
nên ; .
Suy ra (hai góc đối đỉnh); (hai 
góc đối đỉnh). 
1.3. Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O. Vẽ tia OM là tia phân giác của góc AOC. Biết 
 . Tìm giá trị của a để .
 Hướng dẫn giải (h.1.8)
Ta có (hai góc đối đỉnh).
Tia OM là tia phân giác của góc AOC nên .
Hai góc và kề bù nên suy ra 
 .
Ta có .
Vậy a 50 .
Lưu ý: Kí hiệu đọc là “khi và chỉ khi”.
Khi viết ta hiểu từ A suy được ra B và ngược lại, từ B suy được ra A.
1.4. Cho hai đường thẳng EF, GH cắt nhau tại O. Vẽ tia phân giác OK của góc EOG. Biết 
 . Tìm giá trị của m để .
 Hướng dẫn giải (h.1.9)
Hai góc EOK và FOK kề bù nên 
 .
Tia OK là tia phân giác của góc EOG nên .
Vì đối đỉnh với nên . Xét hai góc đối đỉnh AOC và BOD. Gọi tia OM là tia phân giác của góc AOC; tia ON là tia phân giác của 
góc BOD. Ta phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối nhau.
Ta có (hai góc đối đỉnh) mà nên (một nửa của hai góc bằng 
nhau).
Vì nên 
 (vì ).
Do đó .
Suy ra hai tia OM, ON đối nhau.
1.8. Cho hai đường thẳng AB và MN cắt nhau tại O sao cho ·AOM 90 . 
Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia OM, vẽ tia OC sao cho tia OM là tia 
phân giác của góc AOC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia ON vẽ tia 
OD sao cho tia ON là tia phân giác của góc BOD. Chứng tỏ rằng hai tia 
OC, OD là hai tia đối nhau.
 Hướng dẫn giải (h.1.14)
Theo đề bài ta có mà (hai góc 
đối đỉnh) nên .
Ta có (hai góc kề bù), suy ra .
Hai góc MOD và MOC là hai góc kề, có tổng bằng 180 nên hai tia OC, OD đối nhau.
 Chứng tỏ một tia là tia phân giác
1.9. Cho hai góc AOB và AOC là hai góc kề bằng nhau, mỗi góc đều là góc tù. 
Vẽ tia OB là tia đối của tia OB, tia OC là tia đối của tia OC. Chứng tỏ rằng 
tia OA là tia phân giác của góc .
 Hướng dẫn giải (h.1.15)
Ta có (đề bài cho) mà (hai góc đối đỉnh) nên 
 .
Do đó . (1)
Mặt khác, tia OA nằm giữa hai tia OB và OC . (2)
Nếu từ (1) và (2) ta được tia OA là tia phân giác của góc B OC . Mỗi góc trong 24 góc này đều có một góc đối đỉnh với nó nên số cặp góc đối đỉnh được tạo thành là 
24 : 2 12 (cặp).
* Nhận xét: Nếu có n đường thẳng cắt nhau tại một điểm thì số cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt) được 
tạo thành là n n 1 .
Thật vậy, số tia do n đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo ra là 2n (tia).
 2n 2n 1 
Số góc do 2n tia tạo ra là: n 2n 1 .
 2
Không kể n góc bẹt thì số góc còn lại là: n 2n 1 n 2n2 n n 2n2 2n 2n n 1 .
 2n n 1 
Số cặp góc đối đỉnh là: n n 1 .
 2
1.12. Cho n đường thẳng cắt nhau tại một điểm, chúng tạo thành:
a) 20 cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt);
b) 90 cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt).
Tính giá trị của n trong mỗi trường hợp.
 Hướng dẫn giải
a) Ta có: n n 1 20 b) Ta có: n n 1 90 
n n 1 5.4 n 5 . n n 1 10.9 n 10
Vậy n 5. Vậy n 10 .