Chuyên đề Bồi dưỡng HSG - Chủ đề: Tìm tổng các số có tính quy luật

 TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG 
 TỔ TOÁN – TIN 
 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
 CHỦ ĐỀ 
“TÌM TỔNG CÁC SỐ CÓ TÍNH QUY LUẬT” 
 Năm học: 2019 – 2020 
 1 NHỮNG TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT 
- THCS: Trung học cơ sở 
- GV: Giáo viên 
- HS: Học sinh 
- BDHSG: Bồi dưỡng học sinh giỏi 
- SGK: Sách giáo khoa 
- SBT: Sách bài tập 
 3 - Tìm hiểu đề toán. 
 - Xây dựng chương trình giải. 
 - Thực hiện chương trình giải. 
 - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. 
 - Khai thác, phát triển từ những bài toán cụ thể đến tổng quát dạng toán. 
 - Vận dụng để giải quyết vấn đề. 
 2) Thực trạng: 
 - Bài toán tìm tổng các số có tính quy luật học sinh THCS còn gặp nhiều 
khó khăn nên dẫn đến nản khi gặp dạng toán này. Do vậy để trang bị thêm cho 
HS phương pháp tư duy, kĩ năng cần thiết phục vụ việc giải bài toán trên tôi 
xin đưa ra một số phương pháp sau để các thầy cô đồng nghiệp và các em HS 
cùng tham khảo, vận dụng. 
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CÁC SỐ CÓ QUY LUẬT 
 Khi giải bài toán tính tổng nhiều số HS cần quan sát kỹ tính quy luật của 
các số hạng, nhận dạng  xác định phương pháp tư duy phù hợp. Sau đây là 
một số phương pháp: 
 1. Phương pháp phân tích số hạng: 
 1. Dạng 1: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử là k và mẫu là tích của 
hai số tự nhiên hơn kém nhau k đơn vị. 
 1 1 1 1
 1.1. Ví dụ 1: Tính tổng S  
 1 1.2 2.3 3.4 2019.2020
 Nhận xét: Học sinh phải tìm được quy luật các số hạng đều có: 
 - Tử số của các số hạng đó là 1 
 - Mẫu là tích của hai số tự nhiên hơn kém nhau 1 đơn vị. 
 1 1 1
 - Mỗi số hạng của tổng có dạng 
 n(n 1) n n 1
Ta có: 
 1 1 1
 ; 
 1.2 1 2
 1 11
 ; 
 2.3 23 
 1 11
 2019.2020 2019 2020
 Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được: 
 1 1 1 1 1 1 1 2019
 S  1 1 
 1 2 2 3 3 2019 2020 2020 2020
 2 2 2
 1.2. Ví dụ 2: Tính tổng S  
 1.3 3.5 2019.2021
 Nhận xét: Học sinh phải tìm được quy luật các số hạng đều có: 
 - Tử số của các số hạng đó là 2 
 - Mẫu là tích của hai số tự nhiên hơn kém nhau hai đơn vị. 
 2 1 1
 - Mỗi số hạng của tổng có dạng 
 n(n 2) n n 2
Ta có: 
 5 1 1 1 1
 ; 
 1.2.3 2 1.2 2.3
 1 1 1 1
 ;
 2.3.4 2 2.3 3.4 
 1 1 1 1
 nn1n2 2nn1 n1n2 
 Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 S  = 
 n 
 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n 1 n 1 n 2 2 1.2 n 1 n 2 
 * Tổng quát: 
 1 1 1
 S ... = với n N* 
 n 1.2.3 2.3.4 n n 1 n 2 
 2.2 Ví dụ 2. Tính tổng sau. 
 1 1 1
 S  với n 
 n 1.2.3.4 2.3.4.5 n n 1 n 2 n 3 
 Nhận xét: Học sinh phải tìm được quy luật các số hạng đều có: 
 - Tử các số hạng là 1 
 - Mẫu các số hạng đều là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp. 
 - Số hạng tổng quát có dạng 1 
 n n 1 n 2 n 3 
 Ta có : 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ; ;  ; 
 1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4.5 3 2.3.4 3.4.5 
 1 1 1 1
 n n 1 n 2 n 3 3 n n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 
 1 1 1 1 1 1 1
 S  
 n 
 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5n n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 
 1 1 1 
 = 
 3 1.2.3 n 1 n 2 n 3 
 2.3 Ví dụ 3. Tính tổng sau. 
 1 1 1
 S  với m,n ; m>1 
 n 1.2.3...m 2.3.4... m 1 n n 1 n 2 ... n m 1 
 Nhận xét: Dùng cách tách các số hạng như ở ví dụ 1 và ví dụ 2, ta có: 
 1 1 1
 S  
 n 1.2.3...m 2.3.4... m 1 n n 1 n 2 ... n m 1 
 1 1 1 1 1 1 1
 =  
 m 1 1.2.3.(m 1) 2.3...m 2.3...m 3.4... m 1 n n 1 n 2 ...n m2 n1n 2...n m1 
 1 1 1
 m 1 1.2.3... m 1 n 1 n 2 n 3 ... n m 1 
 7 1 1 2
 1 2; 
 12 12 
 1 2 3
 2 3;
 23 23 
 1 99 100
 99 100
 99 100 99 100
 S1 12 23+ 99 100 = 1 + 100 = 9 
*Tổng quát: Nếu số hạng tổng quát có dạng: 1 
 n n 1
 1 n n 1
Thì ta phân tích như sau: n 1 n 
 n n 1 n (n 1)
Từ đó ta có công thức tổng quát để tính tổng như sau: 
 1 1 1
 S  
 n 1 2 2 3 n n 1 
 =2 1 3 2  n1 n n11 
 4.2. Ví dụ 2: 
 1 1 1
 Tính tổng S  
 2 2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
 Nhận xét: Ta có thể phân tích 1 số hạng bằng phép trục căn thức ở mẫu: 
 1 21122112 1 1
 ;
 2 1 1 2222 .1 1 .2 1.2 1 2
 1 32233223 1 1
 ; 
 3 2 2 3322 .2 2 .3 2.3 2 3 
 1 100 99 99 100 100 99 99 100 1 1
 100 99 99 10010022 .99 99 .100 99.100 99 100
Hoặc : 
 1 11 1 2 2 1 1 1
 ;
2112 1 2 1 2 1212 1212
 1 11 2 3 3 2 1 1
 ;  ;
3223 2 3 2 3 2323 2323
 1 11 99 100 100 99 1 1
100 99 99 10099 100 99 100 99 100 99 100 99 100 99 100
 1 1 1
 S  
 2 2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
 9 Ta phải biến đổi sao cho tử số của tất cả các số hạng phải là khoảng cách hai 
thừa số dưới mẫu thì tất cả các hạng tử đều tách ra được: 
 2 2 2
 2S  
 1.3 3.5 2017.2019
 1 1 1 1 1 1 1 2018
  1 
 1 3 3 5 2017 2019 2019 2019
 2018 2018 1009
 2S S : 2 S 
 2019 2019 2019
 2. Dạng 2: Các số hạng của tổng lớn hơn hoặc bằng 1 
 2.1 Ví dụ 1: Rút gọn: S 1 3 32  3 100 
Nhận xét: Ta thấy mỗi số hạng sau gấp 3 lần số hạng liền trước nó. 
Cách làm tương tự như bài toán ở dạng 1 
 Ta có : 3S = 31 3 2  3 100 3 101 
 S 30 3 1  3 100 
 Trừ vế với vế 2 đẳng thức trên ta được: 
 31101 
 2S 3101 1 S 
 2
 2n
 2.2 Ví dụ 2: Rút gọn: Sn 1 a a ... a 
Nhận xét: Ta thấy mỗi số hạng sau gấp a lần số hạng liền trước nó. 
Cách làm tương tự như ví dụ 1 
 2 n n 1
Ta có : a. Sn a a ... a a 
Trừ vế với vế 2 đẳng thức trên ta được: 
 n1 
 n1 a1 
 a 1 . S a1 Sn 
 n a1 
 a n 1 1
*Tổng quát: S 1 a a 2 ... a n với n N ; 1< a , a N 
 n a 1
 *
 2.3 Ví dụ 3: Tính tổng Sn= 1. 2 + 2.3 + 3.4 ++ n.(n+1) với n N 
Nhận xét: Ta có thể tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng 
cặp 2 số ta nhân mỗi số hạng của tổng với 3. Thừa số 3 này được viết dưới 
dạng: 
 3 – 0 ở số hạng thứ nhất 
 4 – 1 ở số hạng thứ hai 
 5 – 2 ở số hạng thứ ba 
 (n+2) – (n –1) ở số hạng thứ cuối cùng 
Ta có: 
3Sn=1.2.(3 – 0)+2.3(4 – 1)+3.4(5 – 2)++n(n+1) n 2 n 1 
 = 1.2.3+2.3.4+3.4.5++ n(n+1)(n+2) – (0.1.2+1.2.3+2.3.4++(n–1)n(n+1) 
 = n (n+1) (n+2) 
 n n 1 n 2 
 Sn= 
 3
 *
*Tổng quát: Sn= 1. 2 + 2.3 + 3.4 ++ n.(n+1) = với n N 
 11