Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 6

 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG TOÁN 6 
CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN 
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên: 
 Phép tính 
 Cộng Nhân 
Tính chất 
 Giao hoán a + b = b + a a. b = b. a 
 Kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) (a. b). c = a. (b. c) 
 Cộng với số 0 a + 0 = 0 + a = a 
 Nhân với số 1 a. 1 = 1. a = a 
 Phân phối của phép nhân đối 
 a. (b + c) = ab + ac 
 với phép cộng 
B.MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP 
Dạng 1.Tính toán trên N 
1.1.Tính thông thường 
*Phƣơng pháp:thực hiện đúng thứ tự phép tính 
VD1: Thực hiện phép tính: 
a) 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16 (Đề thi HSG huyện Lương tài năm 2019) 
HD: 
1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16 
 = 16(123+ 321 - 44):16 
 = 400 
b) 1+ 6+ 11+ 16+. ..+ 46+ 51 (Đề thi HSG huyện Thuỷ Nguyên – năm 2018) 
HD:Nhóm 2 số hạng đầu cuối cách đều 
VD2: Tính 
 a) 35.34 + 35.86 + 65.75 + 65.45 
 b)1.2.39 - 1.2.38 - 1.2.38.8 
 c) 21.49- 11.49+ 90.49+ 49.125.16 
HD: 
a) Nhóm 2 tích đầu, 2 tích cuối rồi đặt thừa số chung 
 b) 1.2.3...9 1.2.3...8 1.2.3...7.82 1.2.3...7.8. 9 1 8 1.2.3...7.8..0 0 
c) =(21-11+90).49 + 49.2000=100.49+49.2000=49.(100+2000)= 49.2100= 
1.2.Tính nhanh 
*Phƣơng pháp :Sử dụng hợp lí các tính chất của phép toán 
 Tính nhanh tổng sau: A= 1.2+2.3+3.4++98.99 
VD1 : 
HD: 
 Ta có: 3A 1.2 3 0 2.3 4 1 3.4 5 2 ... 98.99 100 97 
 3A 1.2.3 0.1.2 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ... 98.99.100 97.98.99 
 98.99.100
 3AA 98.99.100 
 3 
VD2: Tính nhanh các tổng sau 
a, D= 1.4+2.5+3.6++100.103 b, E= 1.3 2.4 3.5 ... 97.99 98.100 
HD: 
 a, Ta có: 
 D 1. 1 3 2. 2 3 3 3 3 ... 100. 100 3 
 D 1.1 1.3 2.2 2.3 3.3 3.3 ... 100.100 100.3 
 D 1.1 2.2 3.3 ... 100.100 3 1 2 3 ... 100 
 Đặt, A 1.1 2.2 3.3 ... 100.100 và B 1 2 3 4 ... 100 
 b, Ta có: 
 E 11 2 22 2 33 2 ... 9797 2 9898 2 
 1 
 a, F 1.1 2 55 2 99 2 ... 9797 2 
 F 1.1 1.2 5.5 5.2 9.9 9.2 ... 97.97 97.2 
 F 1.1 5.5 9.9 ... 97.97 2 1 5 9 ... 97 
 Đặt AB 1.1 5.5 9.9 ... 97.97, 1 5 9 ... 97 , Tính rồi thay vào F 
 b, 4G 1.2.3 4 0 2.3.4 5 1 3.4.5 6 2 ... 98.99.100 101 97 
 4G 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 ... 98.99.100.101 97.98.99.100 
 98.99.100.101
 4GG 98.99.100.101 
 4
Bài 5: Tính nhanh các tổng saƯ(Đề thi HSG huyện Hưng Hà, Thái Bình 2013) 
a, H= 1.99 2.98 3.97 ... 50.50 b, K= 1.99 3.97 5.95 ... 49.51 
HD: 
 a, H 1.99 2. 99 1 3. 99 2 ... 50 99 49 
 H 1.99 2.99 1.2 3.99 2.3 ... 50.99 49.50 
 H 1.99 2.99 3.99 ... 50.99 1.2 2.3 3.4 ... 49.50 
 Đặt AB 99 1 2 3 ... 50 , 1.2 2.3 3.4 ... 49.50 
 Tính A và B rồi thay vào H 
 b, K 1.99 3 99 2 5. 99 4 ... 49 99 48 
 K 1.99 3.99 2.3 5.99 4.5 ... 49.99 48.49 
 K 1.99 3.99 5.99 ... 49.99 2.3 4.5 ... 48.49 
 Đặt AB 99 1 3 5 ... 49 , 2.3 4.5 6.7 ... 48.49 
 Tính A và B rồi thay vào K 
Bài 6: Tính nhanh các tổng sau : C= 1.3 3.5 5.7 ... 97.99 
HD: 
 C 1. 1 2 3. 3 2 5 5 2 ... 97. 97 2 
 C 1.1 1.2 3.3 3.2 5.5 5.2 ... 97.97 97.2 
 C 1.1 3.3 ... 97.97 2 1 3 5 ... 97 
 Đặt AB 1.1 23.3 5.5 ... 97.97, 1 3 5 7 ... 97 
 Tính A và B rồi thay vào C 
Bài 7: Tìm x biết: x x 1 x 2 ... x 2010 2029099 
HD : x x x... x 1 2 3 ... 2010 2029099 2011 x 2021055 2029099 
 2011xx 2029099 2021055 8044 4 
Bài 8: Tìm x biết: 2 4 6 ... 2x 210 
 xx 1. 
HD : 2 1 2 3 4 ...x 210 2. 210 x x 1 210 14.15
 2 
Bài 9: Tìm x biết: (x+1) + (2x+3) + (3x+5) +  + (100x+199) = 30200 
HD : x2 x 3 x ... 100 x 1 3 5 ... 199 30200 
 x.5050 10000 30200 5050 x 20200 x 4 
 3 
 98.99.100
 3BB 98.99.100 0.1.2 98.99.100 
 3
 98.99 98.99.100 98.99
 Thay vào A ta được : AB 
 2 3 2
 2
b, Ta có : B 12 2 2 3 2 4 2 ... 19 2 20 2 B (12 2 2 3 4 2 ... 19 2 20 2 ) 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 B 1 2 3 ... 19 20 2 2 4 6 ... 20 
 20.21.22 20.21 2 2 2 2 2
 B 2.2 1 2 3 ... 10 
 32
 10.11.12 10.11
 B 20.22.7 20.7 8 20.7.23 8 10.11.4 5.11 
 32
VD 2 : Tính : a, D= 12 3 2 5 2 ... 99 2 b, E= 112 13 2 15 2 ... 199 2 
HD: 
a, Ta có : D 12 2 2 3 2 4 2 ... 99 2 100 2 2 2 4 2 6 2 ... 100 2 
 100.101.102 100.101 2 2 2 2 2
 D 2 1 2 3 ... 50 
 32
 50.51.52 50.51
 Đặt AA 12 2 2 3 2 ... 50 2 , Thay vào D ta được : 
 32
 D 100.101.34 50.101 4 50.52.17 25.51 
b, Ta có : E 112 12 2 13 2 14 2 15 2 ... 199 2 200 2 12 2 14 2 ... 200 2 
 Đặt AB 112 12 2 13 2 ... 200 2 , 12 2 14 2 ... 200 2 
 Tính ta được : 
 A 11.11 12.12 13.13 ... 200.200 11. 12 1 12. 13 1 ... 200. 201 1 
 A 11.12 11 12.13 12 13.14 13 ... 200.201 200 
 A 11.12 12.13 13.14 ... 200.201 11 12 13 ... 200 
 200.201.202 10.11.12 211.190 
 A 
 3 2 2 
 2 2 2 2 2 100.101.102 5.6.7 106.95 
 Và B 2 6 7 8 ... 100 4 Vậy EAB 
 3 2 2 
1.2.2. Tổng các lũy thừa cùng cơ số 
VD 1: Tính : a, A= 1 3 32 3 3 ... 3 2000 b, B= 2 23 2 5 2 7 ... 2 2009 
HD: 
a, Ta có : 3A 3 32 3 3 3 4 ... 3 2000 3 2001 
 312001 
 3AAA 2 3333...3 2 2 2000 3 2000 3 2001 1 2AA 32001 1 
 2
b, Ta có : 22B 2 3 2 5 2 7 ... 2 2009 2 2011 
 222011 
 4BBB 32222...2 3 3 5 5 2009 2 2009 2 2011 2 3BB 22011 2 
 3
VD 2: Tính: a, C= 5 53 5 5 5 7 ... 5 101 b, D= 1 32 3 4 3 6 ... 3 100 
HD: 
a, Ta có : 52C 5 3 5 5 5 7 ... 5 101 5 103 
 55103 
 25CCC 24 553 3 55...5 5 5 101 5 101 5 103 5 24CC 5103 5 
 24
b, Ta có : 32D 3 2 3 4 3 6 ... 3 100 3 102 
 31102 
 9DDD 8 332 2 33...33 4 4 100 100 31 102 8DD 3102 1 
 8 
 5 
 22
VD3: Tìm x,y nguyên biết: xy 2 2 3 4 
 22
HD: Vì A x 2 0, B y 3 0 nên ta có các TH sau: 
 A 0 xx 2 0 2 A 0 x 20
 TH1: TH 2: 
 B 0 yy 3 0 3 B 1 y 31 
 A 1 x 21 A 1 x 21 
 TH3: TH 4: 
 B 0 y 30 B 1 y 31 
3.So sánh luỹ thừa 
Phƣơng pháp: đưa về cùng cơ số rồi so sánh số mũ hoặc đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số, so sánh với số 
trung gian hay dùng các phép biến đổi khác 
VD 1: So sánh: 
 20 10 2300 200 500 300
a, 99 và 9999 b, và 3 c, 3 và 7 
 10
HD: a, Ta có: 9920 99 2 99.101 10 9999 10 
 100 100
 b, Ta có: 2300 2 3 8 100 và 3200 3 2 9 100 , 
Mà: 8100 9 1000 2 300 3 200 
 100 100
 c,Ta có : 3500 3 5 143 100 và 7300 7 3 343 100 , 
Mà : 143100 343 100 3 500 7 300 
 5 357 15 14 14 2 7 57
 d, Ta có : 8 2 2 2.2 3.2 3. 2 3.4 , Vậy8 3.4 
VD2: So sánh: 199010 + 19909 và 199110 
HD : 
a, Ta có : 199010 1990 9 1990 9 1990 1 1991.1990 9 Và 199110 1991.1991 9 
 Mà : 1991.199099 1991.1991 
VD 3: So sánh : 
a, 523 và 6.522 b, 19920 và 200315 c, 399 và 1121 
HD: 
a, Ta có: 523 5.5 22 6.5 22 
 20 15
b, Ta có: 19920 200 20 8.5 2 60 .5 40 và 200315 2000 15 2 4 .5 3 2 60 .5 45 
 21
c, Ta có: 1121 27 21 3 3 3 63 3 99 
VD4: So sánh 7245 72 44 và 7244 72 43 
4.Tìm chữ số tận cùng 
Phƣơng pháp: Sử dụng các tính chất về chữ số tận cùng của luỹ thừa 
4.1.Tìm 1 chữ số tận cùng 
Tính chất 1 : 
a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay 
đổi. 
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. 
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. 
VD 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : a) 799 b) 141414 c) 4567 
HD: 
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 : 
99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 +  + 9 + 1) chia hết cho 4 => 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7 
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 7. 
b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6. 
c) Ta có 567 - 1 chia hết cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuộc N) 
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4. 
Tính chất sau được => từ tính chất 1. 
 7