Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8 - Tìm MIN, MAX của biểu thức

 CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
I.LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
 Cho biểu thức A x; y;z Khi đó hảng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của A x; y;z nếu 
thỏa mãn hai điều kiện sau:
 Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z M
 Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z M
 Cho biểu thức A x; y;z Khi đó hảng số N là giá trị lớn nhất (GTNN) của A x; y;z nếu 
thỏa mãn hai điều kiện sau:
 Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z N
 Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z N
II.LUYỆN TẬP
 Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 2 ĐƠN GIẢN
Phương pháp giải:Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2
Bài 1: Tìm GTNN của: A(x) x2 4x 24
HD:
 A(x) x2 4x 24 (x 2)2 20 20x min A(x) 20 x 2
Bài 2: Tìm GTNN của: B(x) 2x2 8x 1
HD:
 B(x) 2x2 8x 1 2(x2 4x 4) 7 2(x 2)2 7 7 minB 7 x 2
Bài 3: Tìm GTNN của: C(x) 3x2 x 1
HD:
 1 13 13 1
 C(x) 3x2 x 1 3(x )2 x 
 6 12 12 6
Bài 4: Tìm GTNN của: A(x) 5x2 4x 1
HD:
 4 1 2 9 9 2
 A(x) 5x2 4x 1 5(x2 x ) 5(x )2 x 
 5 5 5 5 5 5
Bài 5: Tìm GTNN của: B(x) 3x2 x 1
HD:
 1 13 13 1
 B(x) 3x2 x 1 3(x )2 x 
 6 12 12 6 x2 3x 0
 min A(x) 0 x 3
 x 3 0
Bài 4: Tìm GTNN của: B(x) x4 10x3 26x2 10x 30
HD:
 2
 4 3 2 2 2 2 x 5x 0
 B(x) x 10x 26x 10x 30 (x 5x) (x 5) 5 5 x 5
 x 5 0
Bài 5: Tìm GTNN của: C(x) x4 2x3 3x2 4x 2017
HD:
 C(x) x2 (x2 2) 2x(x2 2) (x2 2) 2015 (x2 2)(x 1)2 2015 2015 x 1
Bài6: Tìm GTNN của: D(x) x4 x2 2x 7
HD:
 D(x) x4 2x2 1 x2 2x 1 5 (x2 1)2 (x 1)2 5 5 x 1
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: A a4 2a3 4a 5
HD:
 A a2 a2 2 2a a2 2 a2 2 3 = a2 2 a2 2a 1 3 3 dấu bằng khi a=1
Dạng 2.2: (x+a)4 +( x+b)4 +..
Bài 1: Tìm GTNN của: D x 8 4 x 6 4
HD:
 Đặt: x 7 y D y 1 4 y 1 4 2y4 12y2 2 2
Bài 2: Tìm min của: A x 2 4 x 2 4
HD:
 2 2
 A x2 2x 4 x2 2x 4 x4 4x2 16 2 2x3 8x 4x2 x4 4x2 16
 2
 2 4x2 2x3 8x 2x4 24x2 32 2 x2 6 40 40
Bài 3: Tìm max của: F 2 3 x 1 4 3 x 5 4
HD:
 4 4
 Đặt x 2 t F 2 3 t 3 3 t 3 
 2 2
 F 3 t 2 6t 9 3 t 2 6t 9 2 6t 4 324t 2 484 6 t 4 54t 2 484
 2
 F 6 t 2 27 3890 3890
Bài 4: Tìm min của: G x 3 4 x 7 4
HD:
 4 4 2 2
 Đặt x 2 t G t 5 t 5 t 2 10t 25 t 2 10t 25 HD:
 D 2x 1 x 3 x 2 2x 1 2x2 5x 3 2x2 5x 2 , Đặt 2x2 5x t , Khi đó:
 2
 2 1 25 25
 D t 3 t 2 t t 6 t , Dấu “ = “ khi:
 2 4 4
 1 1 5 29
 t 2x2 5x x 
 2 2 4
Bài 8: Tìm min của: C x 1 x 2 x 3 x 4 2011
HD:
 C x 1 x 4 x 2 x 3 2011 x2 5x 4 x2 5x 6 2011 , Đặt x2 5x 5 t
 5 5
 Khi đó: C t 1 t 1 2011 x2 5x 5 0 x 
 2
Bài 9: Tìm max của: E 5 1 x x 2 x 3 x 6 
HD:
 E 5 x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 5 , đặt x2 5x t . 
 Khi đó: E t 6 t 6 5 t 2 36 5 t 2 41 41
 2 2 x 0
 Dấu “ = “ Khi t 0 x 5x 0 
 x 5
Bài 10: Tìm GTNN của: M x 1 x 2 x 3 x 6 
HD:
 M x 1 x 6 x 2 x 3 x2 5x 6 x2 5x 6 , Đặt x2 5x t . 
 2 2 x 0
 Khi đó: M t 6 t 6 t 36 36 , Dấu “ = ” khi t 0 x 5x 0 
 x 5
Bài 11: Tìm min của: D x 1 x2 4 x 5 2014
HD:
 D x 1 x 2 x 2 x 5 2014 x2 3x 10 x2 3x 2 2014 , Đặt x2 3x 4 t
 Khi đó: D t 6 t 6 2014 t2 1978 , Dấu “= “ xảy ra khi:
 2 2 x 1
 t 0 x 3x 4 0 
 x 4
Bài 12: Tìm GTNN của: G(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) 2006
HD:
 2 2 2 2 x 0
 G(x) (x 5x 6)(x 5x 6) 2006 (x 5x) 2042 2042 
 x 5
Bài 12: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: x 1 x 2 2 x 3 m
HD:
 2
 VT x 1 x 3 x 2 x2 4x 3 x2 4x 4 , Đặt x2 4x t , Khi đó:
 2
 2 2 7 49 49 7 1 1
 VT t 3 t 4 t 7t 12 t 2.t. 12 t 
 2 4 4 2 4 4 HD:
 2 2
 C 4x2 2.2x.3y 9y2 x2 4x 4 2x 3y x 2 0
Bài 7: Tìm min của: E x2 5y2 4xy 2y 3
HD:
 2 2
 E x2 4xy 4y2 y2 2y 1 4 x 2y y 1 4 4
Bài 8: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: x2 4y2 z2 2x 8y 6z 15 0
HD :
 x2 2x 1 4y2 8y 4 z2 6z 9 1 1
Bài 9: Tìm min của: A 2x2 y2 2xy 2x 3
HD :
 2 2
 A x2 2xy y2 x2 2x 1 2 x y x 1 2 2
Bài 10: Tìm max của: B 2 5x2 y2 4xy 2x
HD:
 2 2
 B 5x2 y2 4xy 2x 2 y2 2.y.2x 4x2 x2 2x 1 3 y 2x x 1 3 3
 2 2
 B 2x y x 1 3 3
Bài 11: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 4y 5
HD:
 2 2
 Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y y 2 1
 2 2 2 2
 Do: x y 0, y 2 0 , Nên A x y y 2 1 1
Bài 12: Tìm min của: B 2x2 y2 2xy 8x 2028
HD:
 B x2 2xy y2 x2 8x 16 2012
Bài 13: Tìm GTNN của biểu thức : A x2 2y2 2xy 4y 5
HD:
 Ta có A(x) x2 2y2 2xy 4y 5 x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y 2 y 2 2 1
 x y 0
 A 1x, y R " " x y 2
 y 2 0
 Vậy min A 1 x y 2
Bài 14: Tìm GTNN của biểu thức : B 2x2 2y2 5y2 5
HD:
 B 2x2 2y2 5y2 5 x2 4xy 4y2 x2 2xy y2 y2 5 x 2y 2 x y 2 5 5
 x 2y 0
 x y 0
 x y 0
Bài 15: Tìm GTNN của biểu thức : A(x) 2x2 y2 2xy 2x 3 2
 2 5 41 41
 B x 4y 2 x 
 4 8 8
Bài 23: Tìm max của : N x2 4y2 6x 8y 3
HD:
 N x2 4y2 6x 8y 3 x2 6x 9 4y2 8y 4 16
 2 2 2 2
 N x 3 4 y 1 16 N x 3 4 y 1 16 16
Bài 24: Tìm max của: P 3x2 5y2 2x 7y 23
HD:
 P 3x2 5y2 2x 7y 23 3x2 2x 5y2 7y 23
 2 2 2 2
 1 7 1213 1 7 1213 1213
 P 3 x 5 y => P 3 x 5 y 
 3 10 60 3 10 60 60
Bài 25: Tìm max của: R 7x2 4y2 8xy 18x 9
HD:
 2 2
 R 7x 2 4y 2 8xy 18x 9 4y 2 8xy 4x 2 3x 2 18x 9 2 x y 3 x 3 36
 2 2
 R 2 x y 3 x 3 36 36
 2 2
Dạng 3.2: đưa về HĐT a b c ; a b  c 
Bài 1: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 2x 10y 17
HD:
 2 2
 A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y 1 
 2
 x y 1 y2 8y 16 
Bài 2: Tìm min của: B x2 xy y2 2x 2y
HD:
 2 2
 2 2 2 y 2 y 4y 4 2 y
 B x x y 2 y 2y x 2.x. y 2y y 1
 2 4 4
 2
 4B x y 2 4y2 8y y2 4y 4
Bài 3: Tìm min của: C x2 xy y2 3x 3y
HD:
 2 2
 2 2 2 y 3 y 6y 9 2 y 6y 9
 C x x y 3 y 3y x 2.x. y 3y 
 2 4 4
 2 2 2 
 4C x y 3 4y 12y y 6y 9 
Bài 4: Tìm min của: D x2 2xy 6y2 12x 2y 45
HD:
 2
 D x2 2x y 6 6y2 2y 45 x2 2x. y 6 y 6 6y2 2y 45 y2 12y 36 
 2
 x y 6 5y2 10y 9