Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 9: Các bài toán sử dụng định lí Ta-lét và tính chất đường phân giác

 CHUYEÂN ÑEÀ 9 – CAÙC BAØI TOAÙN SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LÍ TALEÙT VAØ TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN 
 GIAÙC
A. Kieán thöùc:
1. Ñònh lí Ta-leùt: A
 ABC  AM AN
* Ñònh lí Taleùt  = M N
 MN // BC AB AC
 AM AN MN
* Heä quaû: MN // BC = 
 AB AC BC B C
2. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc: 
 BD AB
 ABC ,AD laø phaân giaùc goùc A = 
 CD AC
 BD' AB
AD’laø phaân giaùc goùc ngoaøi taïi A: = 
 CD' AC
 A
B. Baøi taäp vaän duïng
1. Baøi 1:
Cho ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phaân giaùc AD B D C
 A
a) Tính ñoä daøi BD, CD
 AI
b) Tia phaân giaùc BI cuûa goùc B caét AD ôû I; tính tæ soá: 
 ID D' B C
Giaûi
 A
 BD AB c
a) AD laø phaân giaùc cuûa B· AC neân 
 CD AC b
 c
 BD c BD c ac b
 BD = 
 CD + BD b + c a b + c b + c I
 ac ab
Do ñoù CD = a - = 
 b + c b + c B D C
 AI AB ac b + c a
b) BI laø phaân giaùc cuûa A· BC neân c : 
 ID BD b + c a
2. Baøi 2: A
Cho ABC, coù Bµ < 600 phaân giaùc AD
a) Chöùng minh AD < AB
b) Goïi AM laø phaân giaùc cuûa ADC. Chöùng minh raèng BC > 4 DM
Giaûi
 C M D B 4. Baøi 4: 
 A
Cho ABC ( AB < AC) caùc phaân giaùc BD, CE
a) Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AB ôû K, chöùng minh E K D
naèm giöõa B vaø K E
b) Chöùng minh: CD > DE > BE
Giaûi M B C
a) BD laø phaân giaùc neân 
 AD AB AC AE AD AE
 = < = (1)
 DC BC BC EB DC EB
 AD AK
Maët khaùc KD // BC neân (2)
 DC KB
 AK AE AK + KB AE + EB AB AB
Töø (1) vaø (2) suy ra KB > EB 
 KB EB KB EB KB EB
 E naèm giöõa K vaø B
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù C· BD = K· DB (so le trong) K· BD = K· DB
 maø E naèm giöõa K vaø B neân K· DB > E· DB K· BD > E· DB E· BD > E· DB EB < DE
Ta laïi coù C· BD + E· CB = E· DB + D· EC D· EC > E· CB D· EC > D· CE (Vì D· CE = E· CB )
Suy ra: CD > ED CD > ED > BE
5. Baøi 5: Cho ABC . Ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. Chöùng minh
 DB EC FA
a. . . 1.
 DC EA FB H
 1 1 1 1 1 1 A
b. . 
 AD BE CF BC CA AB F
 E
Giaûi
 DB AB
a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa B· AC neân ta coù: = (1)
 C
 DC AC B D
 EC BC FA CA
Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: = (2) ; = (3)
 EA BA FB CB
 DB EC FA AB BC CA
Từ (1); (2); (3) suy ra: . . = . . = 1
 DC EA FB AC BA CB
b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. 
Qua C kÎ ®­êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H.