Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 6: Bất đẳng thức

 CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC
I. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b ( a b;a b;a b ) là một bất đẳng thức
 A B A B 0
 A B A B 0
2. Các tính chất
 a b
a. Bắc cầu: a c
 b c
b. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a b a c b c
Hệ quả 1: a b a c b c
c. Cộng, trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều được bđt cùng chiều với bđt đã cho
a b
  a c b d ( lưu ý: không có tính chất trừ vế với vế )
c d 
d. Nhân cả hai vế của bddt với cùng một số
 a b a b
 a b
 a b;c 0 a.c b.c (c 0)
 Hệ quả: c c 
 a b;c 0 a.c b.c a b 
 a b
 (c 0)
 c c
 a b
e. Trừ từng vế của bđt ngược chiều: a c b d
 c d
f. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: 
a b 0;c d 0 ac bd
g. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: 
a b 0 an bn a b an bn (n lẻ) 
 a b an bn (n chẵn) 
h. Lấy căn
a b 0,n N * n a n b
Hệ quả: a, b > 0 có a b a2 b2 ;a,b 0 a b a2 b2
i. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bđt nếu hai vế cùng dấu
 1 1
Với a b 0 0 
 a b
 1 1
 a b,ab 0 
 a b
II. Các hằng đẳng thức Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được 
chứng minh.
 a
 Dấu “=” xảy ra khi: b c d 
 2
 a b c b a c
Bài 4: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 a b c . Chứng minh rằng: 
 b c a a c b
 Lời giải
Xét hiệu:
 a b c b a c
 b c a a c b
 1
 (a2c ab2 bc2 b2c ba2 ac2 )
 abc
 1
 (a2c b2c) (b2a a2b) (c2b ac2 ) 
 abc 
 1
 c(a b)(a b) ab(a b) c2 (a b) 
 abc 
 1
 a b ac bc ab c2 
 abc 
 1
 a b c a c b c a 
 abc 
 1
 (a b) a c c b 0 (do : 0 a b c)
 abc
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
 a b c 1 1 1 
Bài 5: Chứng minh rằng: 2 với a, b, c > 0
 bc ac ab a b c 
 Lời giải
Xét hiệu: 
 a b c 1 1 1 
 2 
 bc ac ab a b c 
 a b c bc ac ab 
 2 0
 bc ac ab abc abc abc 
 a2 b2 c2 2bc 2ca 2ab 0
 (a b c)2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được 
chứng minh.
 Dấu “=” xảy ra khi: a b c
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a b 2 thì a3 b3 a 4 b4 
 Lời giải
Xét hiệu: a 4 b4 a3 b3 a3 (a 1) b3 (b 1) a3 (a 1) (a 1) (a 1) b3 (b 1) (b 1) (b 1) b. Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1
 Lời giải
 a. Ta có:
 (a 1)(b 1)(c 1) 0
 abc ab bc ca a b c 0
 abc (a b c) (ab bc ca) 0
 1 (a b c) (ab bc ca) 0 (1)
 1 1 1 ab bc ca
và a b c a b c a b c ab bc ca (2)
 a b c abc
Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh.
b. Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1 abc 1 ( mâu thuẫn với giả thiết )
Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1.
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 ) (1) 
 Lời giải
(1) (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 ) 0 a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b a4b8 b12 0
 (a10b2 a8b4 ) (a2b10 a4b8 ) 0 a8b2 (a2 b2 ) a2b8 (a2 b2 ) 0 (a2 b2 )2 a2b2 (a4 a2b2 b4 ) 0
 a b c
Bài 4: Chứng minh rằng: 1 2 (a,b,c 0) 
 a b b c c a
 Lời giải
 1 1 a a
Ta có: a b a b c 
 a b a b c a b a b c
 b b c c a b c
Tương tự: ; . Vậy 1 (*)
 b c a b c a c a b c a b b c c a
 a a c b a b c c b
Lại có: a a b ; ; 
 a b a b c b c a b c c a a b c
 a b c
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: 2 (**)
 a b b c c a
Do đó bài toán được chứng minh.
Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ].
 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3 
 Lời giải
 a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3 a3b2 a2b3 b3c2 c2a3 c3a2 b2c3 0
 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3
 a b (a b) c (b a ) c (a b ) 0 (a b) a b c (b ab a ) c (a b) 0
(a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 0 (luôn đúng)
Bài 6: [ Vào 10 Thanh Hóa, năm 2007 – 2008 ]. x 2 y2 xy 6(x y) 0
 2
 y 3y2
 x 6 x y 0
 2 4
Bất đẳng thức đúng với mọi x, y ≥ 0 do đó bài toán được chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0 hay a = b = 4.
Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ]
 4x2 y2 x2 y2
Cho hai số thực x, y ≠ 0. Chứng minh rằng: 3 (1) 
 (x2 y2 )2 y2 x2
 Lời giải
Ta có:
 4x2 y2 x2 y2 4x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 2x2 y2
(1) 1 2 0 0
 (x2 y2 )2 y2 x2 (x2 y2 )2 x2 y2
 2 2 2 2 2 2
 (x y ) (x y ) 2 2 2 1 1 
 2 2 2 2 2 0 (x y ) . 2 2 2 2 2 0
 (x y ) x y x y (x y ) 
 (x2 y2 )2 x2 y2 x4 y4 x2 y2
 (x2 y2 )2. 0 (x2 y2 )2. 0
 x2 y2 (x2 y2 )2 x2 y2 (x2 y2 )2
Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được chứng 
minh.
Dấu “=” xảy ra khi x y
 2a a2 b2 a b
Bài 10: Cho các số thực a,b. Chứng minh rằng: ab (1)
 a b 2 2
 Lời giải
 a2 b2
 2 2 2 ab 2
 a b 2a (a b) a b (a b)
Ta có: ; ab 2 
 2 a b 2(a b) 2 a2 b2 a2 b2 
 ab 2 ab 
 2
 2 
 2 
 (a b) 1 1
(1) 0 (a b)2 2a 2b 2(a2 b2 ) 2 ab 0
 2 a2 b2 a b 
 ab 
 2 
 2a 2b 2(a2 b2 ) 2 ab 0 (*)
 (a b)2 (a b)2
Ta có: a b 2 ab ( a b)2 ; a b 2(a2 b2 ) 
 ( a b)2 2(a2 b2 ) (a b) a b c 1
Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: (1) 
 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 3
 Lời giải
 3a 3b 3c
(1) 1
 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b
 3a 3b 3c 
 1 1 1 4
 a 4b 4c b 4c 4a a 4a 4b 
 1 1 1 
 4(a b c) 4
 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 
 1 1 1 1
 (2)
 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a b c
 1 1 1 9
Áp dụng bất đẳng thức: 
 x y z x y z
 9 1
Ta được: VT (2) . (đpcm) 
 9(a b c) a b c
 a b c
Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a b c 3. Tìm GTLN của A 
 1 2a 1 2b 1 2c
 Lời giải
 2a 2b 2c 1 1 1
Cách 1: 2A 1 1 1 3 B
 1 2a 1 2b 1 2c 1 2a 1 2b 1 2c
 1 1 1 9
B 1
 1 2a 1 2b 1 2c 3 2(a b c)
2A 3 B 2 A 1 a b c
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 
 9 1 1 1 9 1 1 1 1 1 2 a a 2
 1 
 x y z x y z 1 a a 1 a a 1 2a 9 a 1 2a 9 9
 b b 2 c c 2
Tương tự: ; 
 1 2b 9 9 1 2c 9 9
 a b c 6
Cộng ba vế của bất đẳng thức ta được: A 1 a b c
 9 9
 ab bc ca a b c
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 
 a b 2c b c 2a c a 2b 4
 Lời giải
 4 1 1
Áp dụng bất đẳng thức: 
 x y x y
 1 1 1
VT ab. bc. ca.
 (a c) (b c) b a c a c b a b 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ab bc ca. 
 4 a c b c 4 b a c a 4 c b a b