Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 5: Đồng nhất thức

docx 27 trang thanh nguyễn 14/07/2024 720
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 5: Đồng nhất thức", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 5: Đồng nhất thức

Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 5: Đồng nhất thức
 CHUYÊN ĐỀ 5: ĐỒNG NHẤT THỨC
A. Các bài toán về biểu thức nguyên
1. (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca)
2. an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 ... bn 1)
3. a2n b2n (a b)(a2n 1 a2n 2b a2n 3b2 ... b2n 1)
4. an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 ... bn 1)
 n(n 1)
5. Nhị thức Newton: (a b)n an n.an 1.b an 2b2 ... bn
 2
Bài 1: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính A = a4 + b4 + c4
 Lời giải:
Ta có: a b c 0 (a b c)2 0 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0
 14 2(ab bc ca) ab bc ca 7 (1)
Lại có: a2 b2 c2 14 a4 b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2 142 169 (2)
Từ (1) suy ra:
a2b2 b2c2 c2a2 2ab2c 2a2bc 2abc2 49 a2b2 b2c2 c2a2 2abc(a b c) 49
 a2b2 b2c2 c2a2 49 (2) : a4 b4 c4 142 2.49 98
Bài 2: Cho x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0. Tính A (x 1)2019 y2020 (z 1)2021
 Lời giải 
Từ : x y z 0 x2 y2 z2 2(xy yz zx) 0 x2 y2 z2 0 x y z 0
 A 12019 02020 12021 0
Bài 3 : Cho x + y + z = 0 , chứng minh rằng
a. (x2 y2 z2 )2 2(x4 y4 z4 ) b. 5(x3 y3 z3 )(x2 y2 z2 ) 6(x5 y5 z5 )
c. 2(x5 y5 z5 ) 5xyz(x2 y2 z2 )
 Lời giải:
a. (x2 y2 z2 )2 x4 y4 z4 2(x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) (1)
x y z 0 x2 y2 z2 2(xy yz zx) (x2 y2 z2 )2 4(xy yz zx)2 (2)
Từ (1), (2) suy ra :
x4 y4 z4 2(x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) 4(x2 y2 y2 z2 z2 x2 2xy2 z 2x2 yz 2xyz2 )
 4[x2 y2 y2 z2 z2 x2 2(x y z)]=4(x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) x4 y4 z4 2(x2 y2 y2 z2 z2 x2 )
 
 =0
Thay vào (1), ta được : (x2 y2 z2 )2 2(x4 y4 z4 ) a. Cho (x y z)(xy yz zx) xyz (*)
Chứng minh rằng: x2019 y2019 z2019 (x y z)2019
b. Nếu x y z6 . Chứng minh rằng: A (x y)(y z)(z x) 2xyz6 
 Lời giải
a. Theo (*) (x y z)(xy yz zx) xyz 0
 xy2 x2 y xyz xyz y2 z z2 y x2 z xz2 xyz xyz 0
 xy(x y) yz(x y) z2 (x y) xz(x y) 0 (x y)(xy yz z2 xz) 0
 x y 0 x y
 (x y)(y z)(z x) 0 y z 0 y z
 z x 0 z x
Giả sử: x y x2013 y2013 x2013 y2013 z2013 z2013;(x y z)2013 z2013 dpcm
b. Theo câu a, ta có: 
 (x y z)(xy yz zx)
(x y)(y z)(z x) (x y z)(xy yz zx) xyz A xyz
 3
Vì x y z6 x y z là số chẵn 1 trong 3 số x, y, z là số chẵn 3xyz6 A6 
Bài 7 : Cho a2 b2 c2 a3 b5 c7 1 . Tính A a2 b9 c1945 
 Lời giải
Ta có : a2 b2 c2 1 0 a2 1 a 1 1 a 1; 1 b,c 1
 2 2 3 a 0
 1 a 1 a (1 a) 0 a a ,'' '' 
 a 1
 1 b 1 b3 1 (1 b3 ).b2 0 b2 b5
Dấu « = » xảy ra khi b = 0 hoặc b = 1.
Tương tự : c2 c7 . Dấu « = » xảy ra khi c = 0 và c = 1.
Mặt khác ta lại có : a2 b2 c2 a3 b5 c7 1 a2 a3;b2 b5;c2 c7 a,b,c
có 1 số bằng 1 và 2 số bằng 0 A 1
Bài 8 : Tìm các số a, b, c sao cho : x3 ax2 bx c (x a)(x b)(x c)x R
 Lời giải:
Ta có: (x a)(x b)(x c) (a b c)x2 (ab bc ac)x abc x3 x3 ax2 bx c
 a b c a b c 0
 b c 0,a
 ab bc ca b a(b c) bc b bc b 
 a b 1;c 1
 abc c c(1 ab) 0
 3 2 3 2
Bài 9: Cho a, b thỏa mãn: a 3a 5a 17 0;b 3b 5b 11 0. 
Tính A = a + b Bài 2: Cho a3 3ab2 19;b3 3a2b 98. Tính E a2 b2 
 Lời giải:
Ta có: (a3 3ab2 )2 192 a6 6a4b2 9a2b4 ;982 (b3 3a2b) b6 6b4a2 9a4b2
192 982 a6 b6 3a4b2 3a2b4 (a2 b2 )3 a2 b2 3 9965
Bài 3: Chứng minh rằng: A x12 x9 x4 x 1 0 x R
 Lời giải
 x9 (x3 1) 0
+) Với x 1 A 1 0 x R
 3
 x(x 1) 0
 x 0
+) Với x 0 9 A 0
 x 0
 1 x 0
+) Với 0 x 1 A 0
 4 9 4 5 
 x x x (1 x ) 0
Bài toán được chứng minh
Bài 4: Chứng minh rằng
a. Nếu a + b + c ≥ 0 thì a3 b3 c3 3abc 0 (a,b,c R)
b. a4 b4 c4 d 4 4abcd 0 a,b,c,d R
 Lời giải
a. Có: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
mà a b c 0 (gt); (a b)2 0 nên:
 2 2 2 2
 a 2ab b 0 a b 2ab.
 2 2 2 2
Tương tự: a c 2ac; b c 2bc
 a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca 0
b. a4 b4 c4 d 4 4abcd a4 b4 2a2b2 c4 d 4 2c2d 2 2a2b2 2c2d 2 4abcd
 (a2 b2 )2 (c2 d 2 )2 2(ab cd)2 a,b,c,d R
 CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
 3a 2b 3b a
Bài 1: a. Cho a – 2b = 5. Tính giá trị biểu thức A 
 2a 5 b 5
 5a b 3b 2a
b. Biết 2a – b = 7. Tính B 
 3a 7 2b 7 1 1 1 1
a. A x2 b. B x3 c. C x4 d. D x5 
 x2 x3 x4 x5
 Lời giải
 2
 2 1 1 1 
a. A x 2 2.x. 2 x 2 7
 x x x 
 3
 3 1 1 2 1 
b. B x x x 1 2 3.6 18
 x x x 
 4 1 4 1 2 1 2 1 2
c. C x 4 x 4 2.x . 2 2 x 2 2 47
 x x x x 
 5
 5 1 1 4 3 1 2 1 1 1 1 4 1 2 1 
d. D x x x x . x . 2 x. 3 4 x x 4 x 1 2 
 x x x x x x x x x 
 3.(47 7 1) 123
 1 1 1 1
Cách 2: (x2 )(x3 ) x5 x 123
 x2 x3 x x5
 1 1
Bài 3: Cho x2 4x 1 0 . Tính A x5 và B x7 
 x5 x7
 Lời giải
Có: x2 4x 1 0 x2 1 4x x 0
 1
Chia cả hai vế cho x ta được: x 4
 x
 2
 1 2 1 2 1
Ta có: x x 2 2 16 x 2 14
 x x x
 3
 1 3 1 1 1 3 1 3 3 1
 x x 3 3.x. . x x 3 3.4 4 x 3 52
 x x x x x x
 2 1 3 1 5 1 1 5 1
 x 2 x 3 x x 5 4 x 5
 x x x x x
 5 1 2 1 3 1 
 x 5 x 2 x 3 4 14.52 4 724
 x x x 
 x x2 x2
Bài 4: Cho 2008. Tính M và N 
 x2 x 1 x4 x2 1 x4 x2 1
 Lời giải
Có: x4 x2 1 (x2 x 1)(x2 x 1); x 2008(x2 x 1) (1)
Ta có: Ta có:
M bc(y z)2 ac(z x)2 ab(x y)2 by2 (a c) cz2 (a b) ax2 (b c) 2(bcyz acxz abxy)
Ta phải tạo ra nhân tử: a + b + c
M by2 (a b c) cz2 (a b c) ax2 (a b c) 2(bcyz acxz abxy) b2 y2 c2 z2 a2 x2
 (a b c)(by2 cz2 ax2 ) 2(bcyz acxz abxy) (b2 y2 c2 z2 a2 x2 )
Lại có : 
(ax by cz) 2 0 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2(abxy acxz bcyz) 0 M (a b c)(by2 cz2 ax2 )
 A a b c 25
 a b 2c
Bài 8: Cho a.b.c = 2, rút gọn : A 
 ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
 Lời giải
 a b 2c
 A 
 ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
 a ab 2c
 ab a 2 abc ab a ac 2c abc
 a ab 2
 ab a 2 2 ab a a 2 ab
 a ab 2
 a ab 2
 1
 a2 b2 c2
Bài 9: Cho a + b + c = 0, rút gọn : A 
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 b2 a2
 Lời giải
Từ: a b c 0 a (b c) a2 b2 c2 2bc a2 b2 c2 2bc
 a2 b2 c2 a3 b3 c3
Tương tự: b2 a2 c2 2ac;c2 a2 b2 2ab B (*)
 2bc 2ac 2ab 2abc
Ta có:
 a b c 0 b c a (b c)3 a3 a3 b3 c3 3bc(b c) b3 c3 3abc
 a3 b3 c2 3abc
 a3 b3 c3 3abc 3
Do đó: B 
 2abc 2abc 2
 1 1 1
Bài 10: Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a b c 2019 ; 0. 
 a b c
Tính A a2 b2 c2 
 Lời giải
Từ: a b c 2019 (a b c)2 2019 a2 b2 c2 2(ab bc ca) 2019

File đính kèm:

  • docxchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8_chu_de_5_dong_nhat.docx