Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 3: Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 CHUYÊN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, 
 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của 
biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại 
một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của 
biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên
Xét biểu thức A(x)
+) Ta nói A(x) có giá trị lớn nhất là M, nếu
A(x) M x và có giá trị x0 sao cho A(x0 ) M (Chỉ ra 1 giá trị là được) 
+) Ta nói A(x) có giá trị nhỏ nhất là m, nếu
A(x) mx và có giá trị x0 sao cho A(x0 ) m (Chỉ ra 1 giá trị là được)
Như vậy :
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần :
- Chứng minh A k với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần :
- Chứng minh A k với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A
Ví dụ: Sai lầm
A(x) 2x2 2x 3 x2 (x 1)2 2 2 GTNN 2 ( Không chỉ ra được dấu = )
 2
 1 5 5 5 1
Đáp án đúng là : A(x) 2 x GTNN x 
 2 2 2 2 2
B. Các dạng toán
 Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai ax 2 bx c
Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A(x) x2 4x 24 b. B(x) 2x2 8x 1 c.C(x) 3x2 x 1
 Lời giải
a. A(x) x2 4x 24 (x 2)2 20 20x min A(x) 20 x 2
b. B(x) 2x2 8x 1 2(x2 4x 4) 7 2(x 2)2 7 7 minB 7 x 2 2 2 2 2
F x; y mK x; y nG y r 2 hoặc F x; y mK x; y nH x r 3 
Trong đó G y, H x là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K x; y px qy k cũng là 
biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y
Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với a 0;4ac b2 0
Ta có 
4a.F x; y 4a2 x2 4abxy 4acy2 4adx 4aey 4ah 4a2 x2 b2 y2 d 2 4abxy 4adx 2bdy
 4ac b2 y2 2y 2ae bd 4ah d 2
 2
 2 2 2ae bd 2 2ae bd 
 2ax by d 4ac b y 2 4ah d 2 
 4ac b 4ac b 
Vậy có (2) với 
 2
 1 b2 4ac 2ae bd d 2 2ae bd 
m .F x; y 2ax by d;n ;G(y) y ;r h 
 4a 4a 4ac b2 4a 4a 4ac b2 
+) Nếu a 0;4ac b2 0 m 0,n 0 2 : F x; y r * 
+) Nếu a 0;4ac b2 0 m 0,n 0 2 : F x; y r ** 
+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất
+) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất
Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị 
của đa thức đã cho
Trong cả hai trường hợp trên:
- Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm
- Nếu F x; y r 0 hoặc F x; y r 0 thì không có x; y nào thảo mãn F(x; y) = 0 
+) Nếu a 0;4ac b2 0;r 0 2 : F x; y phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta 
giải được các bài toán khác
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a. A x2 2y2 2xy 4y 5 b. B 2x2 2y2 5y2 5 
 Lời giải
 2 2
a) Ta có A(x) x2 2y2 2xy 4y 5 x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y y 2 1
 x y 0
 A 1 x, y R " " x y 2
 y 2 0
Vậy min A 1 x y 2 2
 3y z 3 2 10 25 2 1 2
 2 x y yz z z 2y 4z 2
 2 2 3 9 3
 2 2
 3y z 3 5 5 2 1 2 2 1 
 2 x y z 2 y z z z 1
 2 2 3 3 3 3 3 3 
 3y z
 x 0
 2
 2 x 1
 3y z 3 5 2 1 2 5 2 
 2 x y z (x 1) 1 1 y z 0 y 1 min A 1
 2 2 3 3 3 3 3
 z 1
 z 1 0 
g. Ta có :
G(x) 2x2 2y2 z2 2xy 2xz 2yz 2x 4y (x 1)2 (y 2)2 (x y z)2 5 5 x 1; y 2; z 3
h.Ta có : H(x) x2 y2 xy x y 1 4H(x) (2x)2 2.2x.y y2 3y2 4x 4y 4 
 2 1 8 8
 (2x y)2 2(2x y) 3y2 2y 3 1 (2x y 1) 3(y2 y 1) (2x y 1) 3(y )2 
 3 2 3 3
 8 2 1 2
 min 4A x ; y min A 
 3 3 3 3
Bài 3: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. A 4x2 5y 2 8xy 10y 12 b. x2 y 2 xy 2x 2y
 Lời giải
a. Ta có:
 A 4x2 5y 2 8xy 10y 12 4x2 8xy 4y2 y2 10y 25 37 4(x y)2 (y 5)2 37 37
 x 5
 y 5
b. A x2 y 2 xy 2x 2y 4A 4x2 4y2 4xy 8x 8y
 A 4x2 4x(y 2) (y 2)2 (y 2)2 4y2 8y
 2 2 2 2 2x y 2 0 x 2
 (2x y 2) 3(y 4y) 4 (2x y 2) 3(y 2) 16 16 A 4 
 y 2 0 y 2
Bài 4: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A 5x2 9y 2 12xy 24x 48y 82 
 b. B 3x2 3y 2 z2 5xy 3yz 3xz 2x 2y 3
 Lời giải
a. A 5x2 9y 2 12xy 24x 48y 82 9y2 12y(x 4) 4(x 4)2 4(x 4)2 5x2 24x 82
 2 16
 3y 2(x 4) (x 4)2 2 2x, y R x 4; y 
 3 Hướng dẫn
 y 2 y2 4y 4 y2 4y 4
E x2 x y 2 3y2 10y 20 x2 2x. 3y2 10y 20 
 2 4 4
 2 2
4E x y 2 12y2 40y 80 y2 4y 4 x y 2 11y2 36y 76 
Bài 6: Tìm max của: F x2 2xy 4y2 2x 10y 3
 Hướng dẫn
 F x2 2xy 4y2 2x 10y 3 x2 2x y 1 4y2 10y 3
 2 2
 F x2 2x y 1 y 1 4y2 10y 3 y 1 
 2
Bài 7: Tìm min của: G x ay 6 x ay x2 16y2 8ay 2x 8y 10
 Hướng dẫn
 2
G x ay 6 x ay 9 x2 2x 1 16y2 8ay 8y
 2 2 2 2
G x ay 3 x 1 16y2 8y a 1 a 1 a 1 
 2 2 2 2 2
G x ay 3 x 1 4y a 1 a 1 a 1 
Bài 8: Tìm max của: H x2 xy y2 2x 4y 11
 Hướng dẫn
 H x2 xy y2 2x 4y 11 x2 x y 2 y2 4y 11
 2
 y 2 y2 4y 4 y 2 
 H x2 2x. y2 4y 11 
 2 4 4
 2
 4H x y 2 4y2 16y 44 y2 4y 4 
Bài 9: Tìm min của: I x2 4xy 5y2 6y 11
 Hướng dẫn
I x2 4xy 4y2 y2 6y 11
Bài 10: Tìm min của: K x2 y2 xy 3x 3y 20
 Hướng dẫn
 2 2
4K 4x2 4y2 4xy 12x 12y 80 4x2 4x y 3 y 3 4y2 12y 80 y 3 
 2
4K 2x y 3 3y2 18y 71
Bài 11: Tìm min của: M x2 2xy 2y2 2y 1
 Hướng dẫn 2
 y 2 y 2 y2 4y 4
 D x2 2x. y2 2y 
 2 4 4
Bài 20: Tìm min của: E x2 5y2 4xy 2y 3
 Hướng dẫn
 2 2
E x2 4xy 4y2 y2 2y 1 4 x 2y y 1 4 4
Bài 21: Tìm GTNN của A a2 ab b2 3a 3b 3
 Hướng dẫn
 2 2
Ta có: 4P a2 2ab b2 3 a2 b2 4 2ab 4a 4b a b 3 a b 2 0
Bài 22: Tìm min của: G x2 xy y2 3 x y 3
 Hướng dẫn
4G 4x2 4xy 4y2 12x 12y 12
 2
4G 4x2 4x y 3 y 3 4y2 12y 12 y2 6y 9 
 2 2 2
4G 2x y 3 3y2 6y 3 2x y 3 3 y 1 0
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn: x2 4y2 z2 2x 8y 6z 15 0
 Hướng dẫn
 x2 2x 1 4y2 8y 4 z2 6z 9 1 1
Bài 24: Tìm min của: A 2x2 y2 2xy 2x 3
 Hướng dẫn
 2 2
A x2 2xy y2 x2 2x 1 2 x y x 1 2 2
Bài 25: Tìm min của: B x2 2xy 2y2 2x 10y 17
 Hướng dẫn
 2 2
B x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y2 2y 1 x y 1 y2 8y 16 
Bài 26: Tìm min của: D 2x2 2xy 5y2 8x 22y
 Hướng dẫn
2D 4x2 4xy 10y2 16x 44y 4x2 4x y 4 10y2 44y
 2
2D 4x2 2.2x y 4 y 4 10y2 44y y2 8y 16
Bài 27: Tìm min của: E 2x2 9y2 6xy 6x 12y 2004
 Hướng dẫn
2E 4x2 18y2 12xy 12x 24y 4008