Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

 CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ
Phương pháp: 
 p
- Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do, q kà ước 
 q
dương của hệ số cao nhất
- Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là: x – 1
- Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là: x + 1
 f (1) f ( 1)
- Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f (1) 0; f ( 1) 0 ; đều là số nguyên. 
 a 1 a 1
Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do. 
1. Đối với đa thức bậc hai : ax2 + bx + c
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx
- Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = .....
- Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b
- Tách bx = a1x + c1x 
- Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 3x2 8x 4 b. 3x2 8x 4 c. x2 11x 8
d. x2 5x 24 e. x2 5x 4
 Lời giải
a) Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà 2 + 6 = 8 nên ta được: 
3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x 2 x 2 
b) Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 
3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x x 2 2 x 2 x 2 3x 2 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 8x 4 4x2 8x 4 x2 x 2 3x 2 
c) x2 11x 28 x 4 x 7 d) x2 5x 24 x 8 x 3 
e) x2 5x 4 x 1 x 4 
Cách 2: Tách hạng tử bậc ax2
- Ta thường làm làm xuất hiện hằng đẳng thức: a2 b2 a b a b 
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 8x 4 x3 5x2 8x 4 (x3 x2 ) (4x2 4x) (4x 4) (x 1)(x 2)2
*) Chú ý: 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 2 4 3
a. 2x 7x 5 b. x x x 1 c. 
x3 19x 30 d. x3 4x2 7x 10 e. 2x4 5x3 5x2 5x 3
 Lời giải
a. Ta có: 2 + 5 = 7 nên đa thức có 1 nhân tử là x + 1. 2x2 7x 5 (x 1)(6x 5)
b. Ta có tổng các hệ số bằng 0 và tổng chẵn cũng bằng tổng lẻ nên có nhân tử x2 -1
x4 x3 x 1 (x4 1) (x3 x) (x 1)(x 1)(x2 x 1)
x4 x3 x 1 (x4 x3 ) (x 1) (x 1)(x 1)(x2 x 1)
c. Ta có x = -3 là nghiệm nên có nhân tử là x + 3
x3 19x 30 x3 3x2 3x2 9x 10x 30 (x 3)(x2 3x 10) (x 3)(x 2)(x 5)
d. Ta có: x = -1 là nghiệm của đa thức nên có nhân tử là: x + 1
x3 4x2 7x 10 x3 x2 3x2 3x 10x 10 (x 1)(x 2)(x 5)
e. Ta có tổng chẵn bằng tổng lẻ nên có nhân tử: x + 1, sau đó lại tổng chẵn bằng tổng lẻ. 
2x4 5x3 5x2 5x 3 (x 1)(x 1)(x 3)(2x 1)
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6
 Lời giải
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :
x3 6x2 11x 6 x 1 x 2 x 3 
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 4a2 29a 24
 Lời giải
Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử
 (a - 1), (a - 3) và (a + 8), 
Ta có: a3 4a2 29a 24 a3 a2 5a2 5a 24a 24 
a2 a 1 5a a 1 24 a 1 a 1 a2 5a 24 = a 1 a 3 a 8 
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 5x2 8x 4
 Lời giải
Nhận xét : Tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ nên 
đa thức có một nhân tử là: x + 1 Lời giải
Nhận xét: Tổng các hệ số bằng 0 nên đa thức có một nhân tử là: x – 1, chia đa thức cho x – 
1 ta được: x5 2x4 3x3 4x2 2 x 1 x4 x3 2x2 2x 2 
Vì x4 x3 2x2 2x 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ nên 
không phân tích được nữa
Vậy x5 2x4 3x3 4x2 2 x 1 x4 x3 2x2 2x 2 
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2017x2 2016x 2017
 Lời giải
Cách 1: 
x4 2017x2 2016x 2017 x4 x2 1 2016x2 2016x 2016 x2 x 1 x2 x 2017 
Cách 2: 
x4 2017x2 2016x 2017 x4 x 2017x2 2017x 2017 x2 x 1 x2 x 2017 
Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 x 2017.2018
 Lời giải
Ta có: x2 x 2017.2018 x2 2017x 2018x 2017.2018 x 2017 x 2018 
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 7x2 6x 1
 Lời giải
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính 
Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
Nên ta làm như sau:
 4 3 2 2 2 6 1 2 2 1 1 
x 6x 7x 6x 1 x x 6x 7 2 x x 2 6 x 7 
 x x x x 
 1 1
Đặt x t x2 t 2 2
 x x2
 2
Đa thức trở thành : x2 t 2 2 6t 7 x2 t 2 6t 9 x2 t 3 
 2 2 2
 2 1 2 x 1 3x 2 2
Thay t trở lại ta được : x x 3 x (x 3x 1)
 x x 
 2
Vậy x4 6x3 7x2 6x 1 x2 3x 1 
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6
 Lời giải
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích : Ta có: x4 x2 1 1996x2 1996x 1996 x2 x 1 x2 x 1 1996 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 1997 
Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x4 2004x2 2003x 2004
 Lời giải
 x4 2004x2 2004x x 2004 x4 x 2004 x2 x 1 
 x x3 1 2004 x2 x 1 x x 1 x2 x 1 2004 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 2004 
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 2001.2002
 Lời giải
Ta có: x2 x 2001 2001 1 x2 x 20012 2001 x2 20012 x 2001 
 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2012 
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a4 7a3 37a2 8a 12
 Lời giải
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x = 2, hay có 1 nhân tử là x - 2
Ta có : 6a4 7a3 37a2 8a 12 (6a4 12a3 ) (19a3 38a2 ) a2 2a 6a 12 
6a3 a 2 19a2 a 2 a a 2 6 a 2 a 2 6a3 19a2 a 6 = 
 a 2 a 3 2a 1 3a 2 
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 13x2 12x 4
 Lời giải
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có : x4 6x3 13x2 12x 4 x4 x3 5x3 5x2 8x2 8x 4x 4 
= x3 x 1 5x2 x 1 8x x 1 4 x 1 x 1 x3 5x2 8x 4 
 2 2
= x 1 x 2 
3. Đối với đa thức nhiều biến
Tương tự như phân tích đa thức dạng: ax2 bx c 
Bài 28: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 2x2 5xy 2y2 b. 2x2 5xy 3y2
c. a2 2ab b2 2a 2b 1 d. x2 (y z) y2 (z x) z2 (x y)
 Lời giải
a. 2x2 5xy 2y2 (2x2 4xy) (xy 2y2 ) (x 2y)(2x y) 2 2
6, 2 a2 b2 a b a b 
 2 2
7) a b a b 4ab
 a4 b4 a b a b a b 2 2ab 
8) 
 2
 a4 b4 a b 2 2ab 2 ab 2
9) . 
10) a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca . 
11) a4 a2b2 b4 a2 ab b2 a2 ab b2 . 
12) a4 a2 1 a2 a 1 a2 a 1 . 
13) (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a. 8 27a3b6 b. x2 y2 10x 6y 16
c. a3 b3 c3 3abc d. (a b c)3 a3 b3 c3
 Lời giải
a. 8 27a3b6 23 (3ab2 )3 (2 3ab2 )(4 6ab2 9a2b4 )
 x2 y2 10x 6y 16 (x 5)2 (y 3)2 (x y 8)(x y 2)
b. 
c. Ta có:
 a3 3a2b 3ab2 b3 3a2b 3ab2 c3 3abc (a b)3 c3 3ab(a b c) (a b c) a b 2 (a b)c c2 
 3ab a b c a b c a b 2 (a b)c c2 3ab (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3
d. a b c a b c (a b) 3(a b) c 3(a b)c c (a b ) c
 2 2 2 2 2 2
= a b a 2ab b 3ac 3bc 3c a ab b 3 ab ac bc c 3 a b b c c a 
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
 x3 y3 3xy 1 4x2 9y2 12xy 4x 6y 3
a. b. 
c. 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) (a4 b4 c4 ) 
 Lời giải
a. Ta có:
x3 y3 3xy(x y) 3xy(x y) 3xy 1 (x y)3 1 3xy(x y 1) (x y 1)(x2 xy y2 x y 1)
b. Ta có: 4x2 9y2 12xy 4x 6y 3
 (2x)2 (3y)2 2.2x.3y 2(2x 3y) 1 4 (2x 3y)2 22 (2x 3y 1)(2x 3y 3)
c. Ta có:
4b2c2 (a4 b4 c4 2b2c2 2a2b2 2c2a2 ) (2bc)2 (b2 c2 a2 )2 (b c a)(b c a)(a b c)(a b c)
 2
Bài 3: Cho biểu thức: A b2 c2 a2 4b2c2