Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 12: Bổ đề hình thang và chùm đường thẳng đồng quy

 CHUYÊN ĐỀ 12 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
A. Kiến thức:
1) Bổ đề hình thang:
“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và đi 
qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy”
Chứng minh:
Gọi giao điểm của AB, CD là H, của AC, BD là G, trung điểm của AD, BC là E và F 
Nối EG, FG, ta có: ADG CBG (g.g) , nên :
 AD AG 2AE AG AE AG
 (1)
 CB CG 2CF CG CF CG H
Ta lại có : E· AG F· CG (SL trong ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AEG CFG (c.g.c)
 E
 A / / D
Do đó: A· GE C· GF E , G , H thẳng hàng (3)
 G
Tương tự, ta có: AEH BFH A· HE B· HF
 H , E , F thẳng hàng (4) // //
 B F C
Tõừ (3) và (4) suy ra : H , E , G , F thẳng hàng
2) Chùm đường thẳng đồng quy:
Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì O
chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng 
tương ứng tỉ lệ
 Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy ở O chúng cắt m tại m A B C
A, B, C và cắt n tại A’, B’, C’ thì 
 AB BC AC AB A'B' AB A'B'
 = hoặc = ; 
 A'B' B'C' A'C' BC B'C' AC A'C' A' B' C'
 n
* Đảo lại:
+ Nếu ba đường thẳng trong đó có hai đường thẳng cắt nhau, định a b c
ra trên hai đường thẳng song song các cặp đoạn thẳng tương ứng 
tỉ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy
+ Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi ba đường thẳng đồng quy tạo thành các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ 
thì chúng song song với nhau
B. Aùp dụng:
1) Bài 1:
Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm CD, N là trung điểm CB. Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn 
bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành Giải 
Gọi H là giao điểm của KN và DC, giao điểm của AC và MN là I thì IM = IN
Ta có: MN // CD (MN là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD) 
 Tứ giác EMNH là hình thang có hai cạnh bên EM và HN đồng quy tại K và I là trung điểm của MN 
nên C là trung điểm của EH
Trong ENH thì NC vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên ENH cân tại N NC là tia 
phân giác của E· NH mà NC  MN (Do NM  BC – MN // AB) NM là tia phân giác góc ngoài tại N 
của ENH
Vậy NM là tia phân giác của K· NE
Bài 4:
Trên cạnh BC = 6 cm của hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho BE = 2 cm. Trên tia đối của tia CD lấy 
điểm F sao cho CF = 3 cm. Gọi M là giao điểm của AE và BF. 
Tính A· MC
Giải
 A B H
Gọi giao điểm của CM và AB là H, của AM và DF là G
 M
 BH AB BH 6 E
Ta có: = 
 CF FG 3 FG
 AB BE 2 1
Ta lại có = = CG = 2AB = 12 cm D C F G
 CG EC 4 2
 BH 6
 FG = 9 cm BH = 2 cm BH = BE
 3 9
 BAE = BCH (c.g.c) B· AE = B· CH mà B· AE + B· EA = 900 
Mặt khác B· EA = M· EC ; M· CE = B· CH M· EC + M· CE = 900 A· MC = 900
Bài 5:
Cho tứ giác ABCD. Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ các đường thẳng song song với BD, cắt các 
cạnh còn lại của tứ giác tại F, G
a) Có thể kết luận gì về các đường thẳng EH, AC, FG
 B
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, cho biết OB = OD. Chứng E
minh rằng ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy A
 H
Giải
 M
 F O
a) Nếu EH // AC thì EH // AC // FG
 N
Nếu EH và AC không song song thì EH, AC, FG đồng quy
b) Gọi giao điểm của EH, HG với AC D G C