Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 11: Vẽ đường thẳng song song để tạo thành các cặp đoạn thẳng tỷ lệ

 CHUYEÂN ÑEÀ 11 – VEÕ ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG ÑEÅ TAÏO THAØNH CAÙC CAËP ÑOAÏN 
 THAÚNG TYÛ LEÄ
A. Phöông phaùp:
Trong caùc baøi taäp vaän duïng ñònh lí Taleùt. Nhieàu khi ta caàn veõ theâm ñöôøng phlaø moät ñöôøng thaúng song 
song vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc,. Ñaây laø moät caùch veõ ñöôøng phuï ïhay duøng, vì nhôø ñoù maø taïo thaønh 
ñöôïc caùc caëp ñoaïn thaúng tæ leä
B. Caùc ví duï:
1) Ví duï 1:
Treân caùc caïnh BC, CA, AB cuûa tam giaùc ABC, laáy töông öùng caùc ñieåm P, Q, R sao cho ba ñöôøng thaúng 
AP, BQ, CR caét nhau taïi moät ñieåm. 
 AR BP CQ A
Chöùng minh: . . 1 (Ñònh lí Ceâ – va) E F
 RB PC QA
Giaûi R Q
 O
Qua A keû ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét caùc ñöôøng thaúng CR, BQ 
taïi E, F. Goïi O laø giao ñieåm cuûa AP, BQ, CR
 AR AE
 ARE BRC = (a)
 RB BC
 B P C
 BP OP
 BOP FOA = (1)
 FA OA
 PC PO
 POC AOE = (2)
 AE AO
 BP PC BP FA
Töø (1) vaø (2) suy ra: = (b)
 FA AE PC AE
 CQ BC
 AQF CQB = (c)
 AQ FA
Nhaân (a), (b), (c) veá theo veá ta coù: 
 AR BP CQ AE FA BC
 . . . . 1 R
 RB PC QA BC AE FA
 AR BP CQ
* Ñaûo laïi: Neáu . . 1thì bai ñöôøng thaúng AP, BQ, CR ñoàng quy
 RB PC QA A E
2) Ví duï 2: 
 Q
Moät ñöôøng thaêng baát kyø caét caùc caïnh( phaàn keùo daøi cuûa caùc caïnh) cuûa tam 
giaùc ABC taïi P, Q, R. 
 RB.QA.PC
Chöùng minh raèng: 1(Ñònh lí Meâ-neâ-la-uyùt)
 RA.CQ.BP
 B P C 4) Ví duï 4:
 K
Ñöôøng thaúng qua trung ñieåm cuûa caïnh ñoái AB, CD cuûa töù giaùc ABCD 
caét caùc ñöôøng thaúng AD, BC theo thöù töï ôû I, K. Chöùng minh: IA . KC = 
ID. KB I
 F B
Giaûi
 M
 A
Goïi M, N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa AB, CD E
Ta coù AM = BM; DN = CN
Veõ AE, BF laàn löôït song song vôùi CD
 D N C
 AME = BMF (g.c.g) AE = BF 
 IA AE BF
 Theo ñònh lí Taleùt ta coù: = (1)
 ID DN CN
 KB BF
Cuûng theo ñònh lí Taleùt ta coù: = (2)
 KC CN
 IA KB
Töø (1) vaø (2) suy ra = IA . KC = ID. KB
 ID KC
5) Ví duï 5: 
Cho x· Oy , caùc ñieåm A, B theo thöù töï chuyeån ñoäng treân caùc tia Ox, Oy sao cho
 1 1 1
 + (k laø haèng soá). Chöùng minh raèng AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh
OA OB k
Giaûi
 y
Veõ tia phaân giaùc Oz cuûa x· Oy caét AB ôû C. veõ CD // OA B
 z
 · · ·
(D OB) DOC = DCO = AOC D
 C
 COD caân taïi D DO = DC
 CD BD CD OB - CD
Theo ñònh lí Taleùt ta coù = O A x
 OA OB OA OB
 CD CD 1 1 1 I P O K
 1 (1)
 OA OB OA OB CD
 1 1 1 G
Theo giaû thieát thì + (2)
 OA OB k H
 A M
 B
Töø (1) vaø (2) suy ra CD = k , khoâng ñoåi F
Vaäy AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh laø C sao cho CD = k vaø 
CD // Ox , D OB
6) Ví duï 6:
 D Q C BPD = CQI (g.c.g) CI = BD (4)
 CF BA
Thay (4) vaøo (3) ta coù CF = BA (b)
 BD BD
Töø (a) vaø (b) suy ra BE = CA
Baøi taäp veà nhaø
1) Cho tam giaùc ABC. Ñieåm D chia trong BC theo tæ soá 1 : 2, ñieåm O chia trong AD theo tæ soá 3 : 2. goïi K 
 KA
laø giao ñieåm cuûa BO vaø AC. Chöùng minh raèng khoâng ñoåi
 KC
2) Cho tam giaùc ABC (AB > AC). Laáy caùc ñieåm D, E tuyø yù thöù töï thuoäc caùc caïnh AB, AC sao cho BD = 
CE. Goïi giao ñieåm cuûa DE, BC laø K, chöùng minh raèng :
 KE
Tæ soá khoâng ñoåi khi D, E thay ñoåi treân AB, AC
 KD
(HD: Veõ DG // EC (G BC).