Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 10: Các bài toán về tam giác đồng dạng

 CHUYÊN ĐỀ 10 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
A. Kiến thức:
* Tam giác đồng dạng:
a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)
 AB AC BC
 ABC A’B’C’ = = 
 A'B' A'C' B'C'
b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c)
 AB AC
 ABC A’B’C’ = ; Aµ = Aµ'
 A'B' A'C'
c. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)
 ABC A’B’C’ Aµ = Aµ' ; Bµ = Bµ'
 A'H'
 SA'B'C' 2
AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: = k (Tỉ số đồng dạng); = K
 AH
 SABC
B. Bài tập áp dụng
Bài 1:
Cho ABC có Bµ = 2 Cµ , AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC
b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao 
nhiêu? A
Giải
Cách 1:
 E
 B
Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC
 AC AD
 ACD ABC (g.g) 
 AB AC
 C
 2
 AC AB. AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) D
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm
Cách 2:
Vẽ tia phân giác BE của A· BC ABE ACB
 AB AE BE AE + BE AC
 = AC2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144
 AC AB CB AB + CB AB + CB
 AC = 12 cm
b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1) DO OE
 DOE và DBO có = (Do DBO OCE) A
 DB OC
 DO OE
và = (Do OC = OB) và D· OE Bµ Cµ 
 DB OB
 E
nên DOE DBO OCE
 I 1 2
 D
 µ µ 1 H
c) Từ câu b suy ra D1 = D2 DO là phân giác của các góc BDE 2
Củng từ câu b suy ra Eµ 1 = Eµ 2 EO là phân giác của các góc CED 3
 B O C
c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên 
OH không đổi OI không đổi khi D di động trên AB
Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008)
Cho ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho D· ME = Bµ 
a) Chứng minh tích BD. CE không đổi
b)Chứng minh DM là tia phân giác của B· DE
c) Tính chu vi của AED nếu ABC là tam giác đều
Giải A
a) Ta có D· MC = D· ME + C· ME = Bµ + B· DM , mà D· ME = Bµ (gt)
nên C· ME = B· DM , kết hợp với Bµ = Cµ ( ABC cân tại A)
suy ra BDM CME (g.g) E
 I
 BD BM 2
 = BD. CE = BM. CM = a không đổi D
 CM CE H
 K
 DM BD DM BD
b) BDM CME = = 
 ME CM ME BM
 B M C
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c) M· DE = B· MD hay DM là tia 
phân giác của B· DE
c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của D· EC
kẻ MH  CE ,MI  DE, MK  DB thì MH = MI = MK DKM = DIM 
 DK =DI EIM = EHM EI = EH
Chu vi AED là PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)
 MC a
 ABC là tam giác đều nên suy ra CME củng là tam giác đều CH = 
 2 2
 AH = 1,5a PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a b) MBD và BDN có M· BD = B· DN = 1200
 MB MB CM AD BD
 = = (Do ABCD là hình thoi có Aµ = 600 nên AB = BC = CD = DA) 
 BD BA CN DN DN
MBD BDN
 0
Suy ra Mµ 1 = Bµ 1 . MBD và BKD có B· DM = B· DK và Mµ 1 = Bµ 1 nên B· KD = M· BD = 120
Bài 7: 
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE 
vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. 
Chứng minh rằng
a) IM. IN = ID2 F
 KM DM
b) = 
 KN DN
 D
c) AB. AE + AD. AF = AC2 C
 I G
 M
Giải K
 IM CI
a) Từ AD // CM = (1)
 ID AI A B E N
 CI ID
Từ CD // AN (2)
 AI IN
 IM ID
Từ (1) và (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN
 ID IN
 DM CM DM CM DM CM
b) Ta có = = = (3)
 MN MB MN + DM MB + CM DN CB
Từ ID = IK và ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
 IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM
 = = = = = 
 IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB
(4)
 KM DM
Từ (3) và (4) suy ra = 
 KN DN
 AE AC
c) Ta có AGB AEC = AB.AE = AC.AG
 AG AB
 AB. AE = AG(AG + CG) (5)
 AF CG CG
 CGB AFC = (vì CB = AD) 
 AC CB AD
 AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6)
Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có: