Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chủ đề 1: Hằng đẳng thức

 CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨC
A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab
2. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab
3. a2 b2 (a b)(a b)
4. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b)
5. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b)
6. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
7. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
Bài 1: 
a) Tính A 1002 992 982 972 ... 22 12
 2 2 2 2 n 2
b) Tính B 1 2 3 4 .... 1 .n
 Lời giải
a) Ta có: 
 101.100
A 1002 992 982 972 ... 22 12 (100 99)(100 99) ... (2 1)(2 1) 100 ... 1 5050
 2
b) Ta xét hai trường hợp
- TH1: Nếu n chẵn thì 
 2 n n 1 
B 22 12 42 32 ... n2 n 1 1 2 3 4 ... n 1 n 
 2
- TH1: Nếu n lẻ thì
 2 2 n n 1 
B 22 12 42 32 ... n 1 n 2 n2 1 2 3 4 ... n 1 n2 
 2
 n n n 1 
 Hai kết quả trên có thể dùng công thức: 1 .
 2
Bài 2: So sánh A 19999.39999 và B 299992
 Lời giải
Ta có: 19999.39999 (29999 10000)(29999 10000) 299992 100002 299992 A B
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
a. A (2 1)(22 1)...(264 1) 1 
b. B (3 1)(32 1)...(364 1) 1
c. C (a b c)2 (a b c) 2 2(a b)2
 Lời giải a. Ta có : 
 3 3 2 2
 a b (a b)(a ab b ) 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2
 a b c(a ab b ) a c abc b c a b a c abc b c 0
 a b c a b c
 y z 2x (y x) (z x) b c
b. Đặt : y z a; z x b; x y c a b c 0 và z x 2y c a 
 x y 2z a b
Từ giả thiết ta có : 
a2 b2 c2 (b c)2 (c a)2 (a b)2 a2 b2 c2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 a2 2ab b2
 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 2(a2 b2 c2 ) (a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca) 0
 x y
 2 2 2 2 2 2 2 
 2(a b c ) (a b c) 0 a b c 0 a b c y z x y z
 z x
Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:
a. 5x2 10y2 6xy 4x 2y 3 0 b. x2 4y2 z2 2x 6z 8y 15 0
 Lời giải
a. VT (x 3y)2 (2x 1)2 (y 1)2 1 (dpcm)
b. VT (x 1)2 4(y 1)2 (z 3)2 1 1 (dpcm)
Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn 
a. x2 8y2 9 4y(x 3) 
 9x2 8xy 8y2 28x 28 0
 b. 
 c. x2 2y2 5z2 1 2(xy 2yz z)
 Lời giải
 2 2 2 2 3
a. Ta có: x 8y 9 4y(x 3) (x 2y) (2y 3) 0 x 3; 
 2
b. Ta có:
 9x2 8xy 8y2 28x 28 0 (7x2 28x 28) (2x2 8xy 8y2 ) 0
 2 2 x 2
 7(x 2) 2(x 2y) 0 
 y 1
c. Ta có:
x2 2y2 5z2 1 2(xy 2yz z) (x y)2 (y 2z)2 (z 1)2 0 x ; y 2; z 1
Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai 
 2 2 2
biểu thức: x2 2 x 1 3 x 2 4 x 3 
 Lời giải Cho a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 2;a b c 2.CMR : M (a2 1)(b2 1)(c2 1) viết được 
dưới dạng bình phương của một biểu thức
 Lời giải:
Cách 1:
M (a2 1)(b2 1)(c2 1) a2b2c2 a2b2 a2c2 b2c2 a2 b2 c2 1(*) 
Có: a2 b2 c2 2 a b c (a2 b2 c2 )2 (a b c)2
Có: 
(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca) 4 ab bc ca 1 a2b2 a2c2 b2c2 2(acb2 a2bc c2ab) 1
 a2b2 a2c2 b2c2 1 2(acb2 a2bc abc2 ) M (abc)2 2abc(a b c) 1 a2 b2 c2 1
M (abc)2 2abc(a b c) (a b c)2 abc a b c 2 (dpcm)
Cách 2: Ta có: 
a2 1 a2 ab bc ca (a b)(a c);b2 1 (a b)(b c);c2 1 (a c)(c b) M [(a+b)(b+c)(c+a)]2
 HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA
1. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b)
2. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b)
Bài 1: Cho x2 x 10 . Tính A x6 3x5 4x4 3x3 2x2 x 1
 Lời giải
A x6 3x5 4x4 3x3 2x2 x 1 (x6 3x5 3x4 x3 ) (x4 2x3 x2 ) (x2 x 1)
 (x2 x)3 (x2 x)2 (x2 x) 1 1111
 (23 1)(33 1)...(1003 1)
Bài 2: Tính A 
 (23 1)(33 1)....(1003 1)
 Lời giải
 (k 1)3 1 (k 2)[(k+1)2 -(k+1)+1] k 2
Ta có: 
 k 3 1 (k-1)(k2 k 1) k 1
Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được: 
 33 1 43 1 1003 1 1 4 5 101 1
A (23 1). . ..... . 9. . .... .
 23 1 33 1 993 1 1003 1 1 2 98 99(1002 100 1)
 99.100.101 9.99.100.101 30300
A 9. 
 1.2.3...10101 6.99.10101 20202
Bài 3: Cho x2 y2 1 . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y. 
A 2 x6 y6 3 x4 y4 
 Lời giải Lời giải
Ta có: 
x 3 y3 x y x2 xy y2 ; x y a b x y 2 a b 2 x2 2xy y2 a2 2ab b2
 2 2 2 2
Do x y a b 2xy 2ab xy ab 
Thay các kết quả vào ta được: 
x 3 y3 x y x2 xy y2 a b a2 ab b2 a3 b3 dpcm
Bài 10: Cho a b m;a b n. Tính ab;a3 b3 theo m và n 
 Lời giải
 m n m n m n m n m2 n2
Cách 1: Từ a b m;a b n. b ,a ab . 
 2 2 2 2 4
 3 3 3 3 2 3
 3 3 m n m n m n m n 3m n n
a b 
 2 2 8 4
 2 2
 2 2 m n
Cách 2: Ta có: 4ab a b a b m2 n2 ab 
 4
 2 2
 3 3 2 2 2 2 m n 
Lại có: a b a b a ab b a b a b ab n m 
 4 
 2 2
 n 3m n 3m2n n3
 4 4
Bài 11: Cho a2 b2 c 2 m. Tính giá trị biểu thức sau theo m 
 2 2 2
A 2a 2b c 2b 2c a 2c 2a b 
 Lời giải
 2 2 2
Ta có: A 2a 2b 2c 3c 2b 2c 2a 3a 2c 2a 2b 3b 
 2 2 2
Đặt x a b c A 2x 3c 2x 3a 2x 3b 12x2 12x a b c 9 a2 b2 c2 
 12x2 12x2 9 a2 b2 c2 9m
 HẰNG ĐẲNG THỨC: (a + b + c)3 
Ta có:
 3
 (a b c)3 a b c (a b)3 3(a b)2 c 3(a b)c2 c3
 3(a2b ab2 a2c ac2 b2c bc2 abc abc)
 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
 3 (a b ab ) (a c ac ) (ac bc ) (b c abc) =3 a b b c c a +a b c
 (a b c)3 a3 b3 c3 3(a b)(b c)(c a)
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính: A (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 (a b c)3
 Lời giải a b 2x2 2
 b c 3x x2 2
 2x2 2x 1 a;2x 1 b; x x2 1 c a3 b3 c3 (a b c)3
Đặt 2
 c a x x 2
 2
 a b c x x 3
 2
 a b 0 a b 0 2x 2 0
 2
 3(a b)(b c)(c a) 0 b c 0 b c 0 3x x 2 0 x 1;1;2
 c a 0 c a 0 2
 x x 0
c. (x2 2x 2)3 x3 (x3 1)(x 2)3
 (x2 2x 2)3 x3 x3 (x 2)3 (2 x)3 3(x x2 2x)(x2 2x 2 x)(2 x x2 ) 0
 6(x2 x)(x2 3x 2) 0 x 0;1;2
 x2 y2 z2
Bài 5: Cho x y z 0; xyz 0 . Tính A 
 yz xz xy
 Lời giải
 x2 y2 z2 x3 y3 z3
 A 
 yz xz xy xyz
Cách 1: Nếu x y z 0 x3 y3 z3 3xyz A 3
Cách 2: 
(x y z)3 x3 y3 z3 3(x y)(y z)(z x) x3 y3 z3 (x y z)3 3(x y)(y z)(z x) A 3
 
 0
 (x2 3x 3)3 (x2 x 1)3 ( 2x2 2x 1)3 1(*)
Bài 6: Giải các phương trình sau:   
 a b c
 Lời giải
 a b 2x2 2x 2
 b c x2 3x 2
(*) 3(a b)(b c)(c a) 0 x 2; 2; 1
 2 
 c a x x 2
 a b c 1
Bài 7: Rút gọn A (x y z)3 (x y z)3 (x y z)3 ( x y z)3
 Lời giải
 x y z a
Đặt x y z b a b c x y z A 24xyz
 x y z c
HẰNG ĐẲNG THỨC: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)