Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Trung học cơ sở

 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS 
Chuyên đề 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
I- ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II- TÍNH CHẤT:
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ
tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với
số mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính
phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính
phương nào có dạng 3n + 2 ( n N ).
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
 A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. 
Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 
 = ( x2 5 xy 4 y2 )( x 2 5 xy 6 y2 ) y 4 
Đặt x2 5 xy 5 y2 t ( t Z ) thì 
 A = (tyty 2)( 2 ) ytyyt 4 2 4 4 2 ( x 2 5 xyy 52 ) 2
 1 Các bài tương tự: 
Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương. 
A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1 
 2n chữ số 1 n chữ số 4 
B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8 
 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 
C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7 
 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 
D = 22499 . . .9100 . . . 09 
 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 
E = 11 . . .155 . . . 56 
 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 
 2 2 2
 102n 108n 2.107n 
Kết quả: A= ; B ; C 
 3 3 3 
 n 2
 n 2 210 
D = (15.10 - 3) E = 
 3 
Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 
một số chính phương. 
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n N, n >2). 
Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2) 
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5 
=> 5. (n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương. 
Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1 
không phải là số chính phương. 
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] 
 = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)] 
 = n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) 
Với n N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2 
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2 
Vậy (n - 1)2 n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương. 
Bài 7: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn 
vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một 
số chính phương. 
Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số 
lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng 
bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương. 
 3 
 2 2
 ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a + 6a + 1 = (3a + 1) 
 ab 1 (3a 1) 2 3a 1 N 
B. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương 
a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) 
c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589 
Giải: 
a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) 
 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 
Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k + n 
+ 1) (k - n - 1) = 11.1 k + n + 1 = 11 k = 6 
 k - n – 1 = 1 n = 4 
b) đặt n(n + 3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 
 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 
 (2n + 3)2 – 4a2 = 9 
 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết 
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1 
 2n + 3 – 2a = 1 a = 2 
c) Đặt 13n + 3 = y2 (y N) 13(n - 1) = y2 – 16 
 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) 
 (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13 
 y = 13k 4 (với k N) 
 13(n - 1) = (13k 4)2 – 16 = 13k.(13k 8) 
 13k2 8k + 1 
Vậy n = 13k2 8k + 1 (với k N) thì 13n + 3 là số chính phương 
d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 
 (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 
Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 
2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 
Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 
Bài tương tự : 
Tìm a để các số sau là những số chính phương 
 a) a2 + a + 43 
 5 
Bài 6: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính 
phương thì n là bội số của 24 
Vì n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương nên đặt n + 1 = k2, 2n + 1 = m2 (k, m N ) 
Ta có m là số lẻ m = 2a + 1 m2 = 4a(a + 1) + 1 
 m 2 1 4a(a 1)
Mà n 2a(a 1) 
 2 2
 n chẵn n + 1 lẻ k lẻ đặt k = 2b + 1 (với b N ) k2 = 4b(b+1) + 1 
 n = 4b(b+1) n  8 (1) 
Ta có: k2 + m2 = 3n + 2  2 (mod3) 
Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 
Nên để k2 + m2  2 (mod3) thì k2  1 (mod3) 
 m2  1 (mod3) 
 m2 – k2  3 hay (2n + 1) – (n + 1)  3 n  3 (2) 
Mà (8; 3) = 1 (3) 
Từ (1), (2), (3) n  24 
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương 
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì 
2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 
2p. 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q N ; p + q = n và p > q 
 a + 48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q – 1) = 25.3 
 a – 48 = 2q 
 q = 5 và p – q = 2 p = 7 
 n = 5 + 7 = 12 
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 
C.DẠNG 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
Bài 1 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một 
đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B. 
Gọi A = abcd k 2 . Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số 
B = (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) m 2 với k, m N và 32 < k < m < 100 
 a, b, c, d = 1;9 
 Ta có: A = abcd k 2 
 B = abcd 1111 m2 . Đúng khi cộng không có nhớ 
 m2 – k2 = 1111 (m - k)(m + k) = 1111 (*) 
Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương. 
 7 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán THCS 
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số 
bở hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương 
Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm là ab (a, b N, 1 a, b 9) 
Số viết theo thứ tự ngược lại ba 
Ta có ab 2 - ba 2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2)  11 a2 – b2  11 
Hay (a - b) (a + b)  11 
Vì 0 < a – b 8, 2 a + b 18 nên a + b  11 a + b = 11 
Khi đó: ab 2 - ba 2= 32 . 112 . (a – b) 
Để ab 2 - ba 2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a – b = 1 hoặc a 
– b = 4 
Nếu a – b = 1 kết hợp với a + b = 11 a = 6, b = 5 , ab = 65 
Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332 
Nếu a – b = 4 kết hợp với a + b = 11 a = 7,5 loại 
Vậy số phải tìm là 65 
Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được 
một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu. 
(Kết quả: 1156) 
Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số 
của nó. 
Gọi số phải tìm là ab với a, b N, 1 a 9; 0 b 9 
Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3 
 (10a +b)2 = (a + b)3 
 ab là một lập phương và a + b là một số chính phương 
Đặt ab = t3 (t N), a + b = 12 (1 N) 
Vì 10 ab 99 ab = 27 hoặc ab = 64 
Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương 
Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại 
Vậy số cần tìm là ab = 27 
Bài 9 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau. 
Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n - 1 ; 2n + 1 ; 2n + 3 (n N) 
Ta có : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 
Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 . a với a lẻ và 1 a 9 
 12n(n + 1) = 11(101a – 1) 
 101a – 1  3 2a – 1  3 
 9 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán THCS 
x0 = 4 ; y0 = 1 
Thật vậy : 2 . 4 + 3.1 = 11 (2) 
Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta có : 
2(x - 4) + 3(y - 1) = 0 
 2(x -4) = -3(y -1) (3) 
Từ (3) 3(y - 1)  2 mà (2 ; 3) = 1 y - 1  2 
 y = 2t + 1 với t Z 
Thay y = 2t + 1 vào (3) ta có : x = -3t + 4 
Nhận xét : Với cách giải này ta phải mò ra một cặp nghiệm nguyên (x0, y0) của phương 
trình ax + by = c ; cách này sẽ gặp khó khăn nếu hệ số a, b, c quá lớn. 
Các bài tập tương tự : Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 
a) 3x + 5y = 10 
b) 4x + 5y = 65 
c) 5x + 7y = 112 
VD2 : Hệ phương trình. 
Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau : 
 3x + y + z = 14 (1) 
 5x + 3y + z = 28 (2) 
Giải : Từ hệ đã cho ta có : 2(x + y) = 14 vậy x = 7 - y (*) 
Thay (*) vào (1) ta được z = 14 - y - 3x = 2y -7 
 7
Vì x > 0 nên 7 - y > 0 y 0 nên 2y - 7 > 0 y > 
 2
 7
Vậy < y < 7 và y Z y 4;5;6 
 2
Giải tiếp hệ đã cho có 3 nghiệm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5) 
Bài tập tương tự: 
a) Tìm nghiệm nguyên của hệ 
 2x -5y = 5 
 2y - 3z = 1 
b) Trăm trâu ăn trăm bó cỏ – trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, trâu già 3 con 1 bó. Tìm 
số trâu mỗi loại. 
c) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất chia cho 1000 dư 1 và chia cho 761 dư 8. 
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình, hệ phương trình bậc cao. 
Phương pháp 1 : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phương trình. 
VD1: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn phương trình 
 6x2 + 5y2 = 74 (1) 
Cách 1 : Ta có : 6 (x2 - 4) = 5 (10 - y2) (2) 
 11