Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 7

 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
 a) 3, 8, 15, 24, 35, ... 
 b) 3, 24, 63, 120, 195, ...
 c) 1, 3, 6, 10, 15, ...
 d) 2, 5, 10, 17, 26, ...
 e) 6, 14, 24, 36, 50, ...
 f) 4, 28, 70, 130, 208, ...
 g) 2, 5, 9, 14, 20, ...
 h) 3, 6, 10, 15, 21, ...
 i) 2, 8, 20, 40, 70, ...
Hướng dẫn:
 a) n(n+2)
 b) (3n-2)3n
 ( 1)
 c) n n
 2
 d) 1+n2
 e) n(n+5)
 f) (3n-2)(3n+1)
 ( 3)
 g) n n
 2
 ( 1)( 2)
 h) n n
 2
 i) n(n 1)(n 2)
 3
Bài 2: Tính:
 a,A = 1+2+3++(n-1)+n
 b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Hướng dẫn:
 a,A = 1+2+3++(n-1)+n
 A = n (n+1):2
 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
 3A = 99.100.101
 A = 333300
Tổng quát: 
A = 1.2+2.3+3.4+. + (n - 1) n
A = (n-1)n(n+1): 3
Bài 3: Tính:
 A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
Hướng dẫn:
 A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
 A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 A = 2449755
Tổng quát: 
 A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n
 A = (n-2)(n-1)n(n+1):4
Bài 10: Tính:
 A = 12+22+32+...+992+1002
Hướng dẫn:
 A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
 A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
 A = 333300 + 5050
 A = 338050
Tổng quát:
 A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2
 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2
 A = n(n+1)(2n+1):6
Bài 11: Tính:
 A = 22+42+62+...+982+1002
Hướng dẫn:
 A = 22(12+22+32+...+492+502)
Bài 12: Tính:
 A = 12+32+52+...+972+992
Hướng dẫn:
 A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002)
 A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)
Bài 13: Tính:
 A = 12-22+32-42+...+992-1002
Hướng dẫn:
 A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)
Bài 14: Tính:
 A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992
Hướng dẫn:
 A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
 A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bài 15: Tính:
 A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101
Hướng dẫn:
 A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)
 A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)
Bài 16: Tính:
 A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102 Chuyên đề:
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
 a c
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d).
 b d
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b 
và c là các số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
 a c
Tính chất 1: Nếu thì ad bc
 b d
Tính chất 2: Nếu ad bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
 a c a b d c d b
 , , , 
 b d c d b a c a
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
 a c a c a c a c
-Tính chất: Từ suy ra: 
 b d b d b d b d
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: 
 a c e a c e a b c a b c
 suy ra: ...
 b d f b d f b d f b d f
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
 a b c
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
 2 3 5
 Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 x y y z
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: , và 2x 3y z 6
 3 4 3 5
Giải:
 x y x y
Từ giả thiết: (1)
 3 4 9 12
 y z y z
 (2)
 3 5 12 20
 x y z
Từ (1) và (2) suy ra: (*)
 9 12 20
 x y z 2x 3y z 2x 3y z 6
Ta có: 3
 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2
 x
Do đó: 3 x 27
 9
 y
 3 y 36
 12
 z
 3 z 60
 20
KL: x 27 , y 36 , z 60
 x y z
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k ( sau đó giải như cách 1 của VD1).
 9 12 20
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) 
Từ giả thiết: 
 y z 3z
 y 
 3 5 5
 3z
 3.
 x y 3y 9z
 x 5 
 3 4 4 4 20
 9z 3z z
mà 2x 3y z 6 2. 3. z 6 60 z 60
 20 5 10
 3.60 9.60
Suy ra: y 36 , x 27
 5 20
KL: x 27 , y 36 , z 60
 x y
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: và x.y 40
 2 5 x y z x y y z
a) và 5x y 2z 28 b) , và 2x 3y z 124 
 10 6 21 3 4 5 7
 2x 3y 4z x y
c) và x y z 49 d) và xy 54 
 3 4 5 2 3
 x y x y z
 e) và x 2 y 2 4 f) x y z
 5 3 y z 1 z x 1 x y 2
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
 x 1 y 2 z 3
a) 3x 2y , 7y 5z và x y z 32 b) và 2x 3y z 50 
 2 3 4
 x y z
c) 2x 3y 5z và x y z 95 d) và xyz 810
 2 3 5
 y z 1 z x 2 x y 3 1
e) f) 10x 6y và 2x 2 y 2 28
 x y z x y z
Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
 x 1 y 2 z 3
a) 3x 2y , 7y 5z và x y z 32 b) và 2x 3y z 50 
 2 3 4
 x y z
c) 2x 3y 5z và x y z 95 d) và xyz 810
 2 3 5
 y z 1 z x 2 x y 3 1
e) f) 10x 6y và 2x 2 y 2 28
 x y z x y z
Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 
 1 2y 1 4y 1 6y
 18 24 6x
Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 
 1 2y 1 4y 1 6y
 18 24 6x
 a b c d
Bài 7: Cho a b c d 0 và 
 b c d a c d a b d a b c
 a b b c c d d a
Tìm giá trị của: A 
 c d a d a b b c
 a b c d a b c d 1
Giải: ( Vì a b c d 0 )
 b c d a c d a b d a b c 3(a b c d) 3
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b A C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị.
 B D
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
 a na
+) (n 0)
 b nb
 n n
 a c a c 
+) 
 b d b d 
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
 a c a b c d
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: 
 b d a b c d
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có: (a b)(c d) ac ad bc bd (1)
 (a b)(c d) ac ad bc bd (2) 
 a c
Từ giả thiết: ad bc (3)
 b d
Từ (1), (2), (3) suy ra: (a b)(c d) (a b)(c d) 
 a b c d
 (đpcm)
 a b c d
Cách 2: (PP2)
 a c
Đặt k , suy ra a bk , c dk
 b d
 a b kb b b(k 1) k 1
Ta có: (1)
 a b kb b b(k 1) k 1
 c d kd d d(k 1) k 1
 (2)
 c d kd d d(k 1) k 1
 a b c d
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
 a b c d ab a 2 b 2
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
 cd c 2 d 2
 a c a b ab a 2 b 2 a 2 b 2
Cách 3: Từ giả thiết: 
 b d c d cb c 2 d 2 c 2 d 2
 ab a 2 b 2
 (đpcm)
 cd c 2 d 2
 BÀI TẬP VẬN DỤNG:
 a c
 Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số 
 b d
 đều có nghĩa).
 2
 3a 5b 3c 5d a b a 2 b 2
1) 2) 
 3a 5b 3c 5d c d c 2 d 2
 a b c d ab a b 2
3) 4) 
 a b c d cd c d 2
 2a 5b 2c 5d 2005a 2006b 2005c 2006d
5) 6) 
 3a 4b 3c 4d 2006c 2007d 2006a 2007b
 a c 7a 2 5ac 7b 2 5bd
7) 8) 
 a b c d 7a 2 5ac 7b 2 5bd
 a c
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: .
 b d
Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
 2
 3a 5b 3c 5d a b a 2 b 2 a b c d
a) b) c) 
 3a 5b 3c 5d c d c 2 d 2 a b c d
 ab a b 2 2a 5b 2c 5d 2008a 2009b 2008c 2009d
d) e) f) 
 cd c d 2 3a 4b 3c 4d 2009c 2010d 2009a 2010b