Chuyên đề bội chung và bội chung nhỏ nhất Toán 6

 BÀI 10. BỘI CHUNG - BỘI CHUNG NHỎ NHÁT 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Hiểu khái niệm bội chung, bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số. 
 + Nhận biết được mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. 
  Kĩ năng 
 + Biết cách tìm bội chung của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố. 
 + Biết tìm bội chung thơng qua tìm bội chung nhỏ nhất. 
 + Tìm được bội chung nhỏ nhất của hai số khi biết ước chung lớn nhất của chúng. 
 + Thực hành vận dụng giải một số dạng tốn liên quan đến bội chung và bội chung nhỏ nhất. 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
1. Bội chung Ví dụ. B 4 0;4;8;12;16;20;24;...; 
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các 
 B 6 0;6;12;18;24;... . 
số đĩ. 
 Các số 0; 12 và 24 vừa là bội của 4, vừa là bội của 
 x BC a, b nếu x a và x b 
 6 nên chúng được gọi là bội chung của 4 và 6. 
 x BC abc,, nếu x a , x b và x c . 
2. Bội chung nhỏ nhất 
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ 
nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số 
đĩ. 
Nhận xét: 
+ Tất cả các bội chung đều là bội của bội chung Ví dụ. Tìm BCNN 4;6;10 . 
nhỏ nhất. 
 Ta cĩ: 4 22 ;6 2.3;10 2.5. 
 BCNN a,, b B a b . 
 Thừa số chung: 2 (số mũ lớn nhất là 2). 
+ Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đĩ, với mọi Thừa số riêng: 5; 3 (số mũ lớn nhất đều là 1). 
số tự nhiên a và b (khác 0), ta cĩ: 2
 BCNN 4;6;10 2 .3.5 60 . 
 BCNN a;1 a ; BCNN ab;;1 BCNN ab ; 
3. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích 
các số ra thừa số nguyên tố 
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta 
thực hiện ba bước sau: 
Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. 
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và 
riêng. 
Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số 
 Trang 1 
a) 1; 12 và 27; b) 18; 24 và 30; 
c) 5; 9 và 11; d) 12, 16 và 48. 
Hướng dẫn gỉải 
a) Ta cĩ: 12 22 .3 
 27 33 
Thừa số chung: 3 (với số mũ lớn nhất là 3). 
Thừa số riêng: 2 (với số mũ lớn nhất là 2). 
 BCNN 1,12,27 BCNN 12,27 33 .2 2 108. 
Chú ý: a) Mọi số tự nhiên đều là bội của 1, nên 
 BCNN ab, ,1 BCNN ab , . 
b) Ta cĩ: 18 2.32 ; 
 24 23 .3 ; 
 30 2.3.5. 
Thừa số chung: 2 (với số mũ lớn nhất là 3). 
Thừa số riêng: 3 (với số mũ lớn nhất là 2) và 5 (với số mũ lớn nhất là 1). 
 BCNN 18,24,30 23 .3 2 .5 360. 
c) Ta cĩ: 5 và 11 là haỉ số nguyên tố và 9 32 
 BCNN 5,9,11 5.32 .11 495 
d) Dễ thấy 48 12 và 48 16 nên BCNN 12,16,48 48. 
Chú ý: 
c) 5; 9 và 11 đơi một nguyên tố cùng nhau nên BCNN 5,9,11 5.9.11. 
d) Dựa vào nhận xét: 
Nếu a b và a c thì BCNN a,, b c a . 
Ví dụ 2. Tìm các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180. 
Hướng dẫn giải 
Cách 1. Tìm bội chung của 40 và 180 bằng cách lấy 180 nhân với 0; 1; 2; 3; ... cho đến khi được số chia 
hết cho 40, ta được: 
 BC 40,180 0;360;720;..... 
Vậy các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180 là 0 và 360. 
Cách 2.Ta cĩ: 40 23 .5 ; 
 180 22 .3 2 .5 . 
Thừa số chung: 2 (với số mũ lớn nhất là 3) và 5 (với số mũ lớn nhất là 1 ). 
Thừa số riêng: 3 (với số mũ lớn nhất là 2). 
 Trang 3 
 72BC 12,18 ; 40BC 2,3,5 ; 
 100BC 12,18 ; 30BC 2,3,5 . 
Câu 2. Tìm BCNN của 
a) 16 và 20; b) 4, 10 và 14; 
c) 26; 39 và 260; d) 34; 40 và 48. 
Câu 3. Tìm BCNN của các số sau, bằng cách nhân số lớn nhất với lần lượt 0; 1; 2; 3; ... cho đến khi được 
một số chia hết cho các số cịn lại. 
a) 6; 8 và 12; b) 20; 30 và 50. 
Câu 4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất và khác 0, biết rằng: 
a) a14 và a21; b) a32 và a40 . 
Câu 5. Tìm các bội chung nhỏ hơn 500 của 45 và 60. 
Câu 6. Một số sách khi xếp thành từng bĩ 8 cuốn, 10 cuốn, 14 cuốn và 20 cuốn thì vừa đủ. Biết số sách 
trong khoảng từ 250 đến 400 cuốn. Tính số sách đĩ. 
Câu 7. Tìm các bội chung cĩ ba chữ số của 72; 90 và 120. 
Câu 8. Tìm các số tự nhiên x , biết rằng x14, x  21, x  36 và 200 x 600 . 
Câu 9. Hai bạn Nam và Nga thường đến thư viện đọc sách. Nam cứ 6 ngày đến thư viện một lần, Nga cứ 
8 ngày đến thư viện một lần. Lần đầu cả hai bạn đến thư viện vào cùng một ngày. Hỏi sau ít nhất bao 
nhiêu ngày hai bạn lại cùng đến thư viện? 
Câu 10. Tìm số tự nhiên lớn nhất cĩ ba chữ số mà chia hết cho tất cả các số 4; 5; 6 và 7. 
Câu 11. Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. An cứ 10 ngày lại trực 
nhật một lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật một lần. Lần đầu cả hai người cùng trực nhật vào một ngày. 
Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật? Lúc đĩ mỗi bạn đã trực nhật được mấy lần? 
Câu 12. Đội A và đội B cùng phải trồng một số cây bằng nhau. Biết mỗi người đội A phải trồng 8 cây, 
mỗi người đội B phải trồng 9 cây và số cây mỗi đội phải trồng trong khoảng từ 100 đến 200 cây. Tìm số 
cây mỗi đội phải trồng. 
Bài tập nâng cao 
Câu 13. Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20 người; 25 người hoặc 30 người đều dư 15; nhưng xếp hàng 
41 người thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đĩ biết rằng số người chưa đến 1000 người. 
Câu 14. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 400. Khi xếp hàng 12 người; 15 
người hoặc 18 người đều thừa 5 học sinh. Tính số học sinh khối 6. 
Câu 15. Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người, cịn nếu xếp 
hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học sinh chưa đến 300. Tính số đội viên của đội thiếu niên. 
Câu 16. Tìm số tự nhiên bé nhất mà chia cho 2; 8 và 15 đều dư 1. 
Câu 17. Tìm năm số tự nhiên sao cho khi chia cho 5; 7 và 11 đều dư 4. 
ĐÁP ÁN 
Bài tập cơ bản 
Câu 1. 
a) 16, 30 và 32 khơng là bội chung của 6 và 8 (vì 16 6;30  8;32  6). 
24 là bội chung của 6 và 8 (vì 24 chia hết cho cả 6 và 8). 
 Trang 5 
Ta cĩ: 32 25 
 40 23 .5 . 
 BCNN 32,40 25 .5 160 . 
Vậy số cần tìm là 160. 
Câu 5. 
Ta cĩ: 45 32 .5 
 60 22 .3.5 . 
 BCNN 45,60 22 .3 2 .5 180 . 
Vậy các bội chung nhỏ hơn 500 của 45 và 60 là: 0; 180; 360. 
Câu 6. 
Số sách đã cho là bội chung của 8, 10, 14, 20 và thuộc khoảng từ 250 đến 400. 
Ta cĩ: 8 23 ; 10 2.5 ; 14 2.7 ; 20 22 .5 . 
 BCNN 8,10,14, 20 23 .5.7 280 
Bội chung thuộc khoảng từ 250 đến 400 của 8, 10, 14 và 20 là 280. 
Vậy số sách đã cho là 280 cuốn. 
Câu 7. 
Ta cĩ: 72 23 .3 2 ; 
 90 2.32 .5; 
 120 23 .3.5. 
 BCNN 72,90,120 23 .3 2 .5 360 
Các bội chung cĩ ba chữ số của 72; 90 và 120 là: 360 và 720. 
Câu 8. x BC 14, 21,36 
Ta cĩ: 14 2.7 ; 
 21 3.7 ; 
 36 22 .3 2 . 
 BCNN 14,21,36 22 .3 2 .7 252 
Các bội chung của 14, 21 và 36 trong khoảng từ 200 đến 600 là 252 và 504. 
Vậy x 252 hoặc x 504 . 
Câu 9. 
Ta cĩ: BCNN 6,8 24 
Vậy sau ít nhất 24 ngày hai bạn lại cùng đến thư viện. 
Câu 10. 
Ta cĩ: 4 22 ;6 2.3 , suy ra BCNN 4,5,6,7 22 .3.5.7 420 . 
Lần lượt lấy 420 nhân với 0; 1; 2; 3; ... ta được số lớn nhất cĩ ba chữ số chia hết cho 4; 5; 6 và 7 là 840. 
Câu 11. 
 Trang 7 
Suy ra x 1 BC 2,3,4,5,6 và x 300 . 
Ta cĩ: BCNN 2,3,4,5,6 BCNN 4,5,6 60 . 
 BC 2,3,4,5,6 0;60;120;180;240;300;... 
 x 1 0;60;120;180;240;300;... 
 x 59;119;179;239;299 
Mà x7 nên x 119 . 
Vậy đội thiếu niên cĩ 119 người. 
Câu 16. 
Gọi số cần tìm là x x . 
Ta cĩ: x 1 BCNN 2,8,15 BCNN 8,15 8.15 120 
Suy ra x 121. 
Vậy sổ cần tìm là 121. 
Câu 17. 
Gọi x x là số tự nhiên chia cho 5; cho 7 và cho 11 đều dư 4. 
Suy ra x 4 BC 5,7,11 
Ta cĩ: BCNN 5,7,11 5.7.11 385 
Năm bội chung của 5; 7 và 11 là: 0; 385; 770; 1155; 1540. 
Vậy năm số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: 4; 389; 774; 1159; 1544. 
Dạng 2: Quan hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất 
 Phương pháp giải 
Tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của Ví dụ. 6.4 24 
chúng: ƯCLN 6,4 . BCNN 6,4 2.12 24 
 a.,., b ƯCLN a b BCNN a b (*) 
 ƯCLN 6,4 . BCNN 6,4 4.6 . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Dựa vào cơng thức (*) hãy tìm: 
a) BCNN 16;20 ; b) BCNN 24;30 
Hướng dẫn giải 
a) Ta cĩ: ƯCLN 16,20 4 . 
Suy ra BCNN 16,20 16.20: ƯCLN 16,20 80 . 
b) Ta cĩ: ƯCLN 24,30 6 . 
Suy ra BCNN 24,30 24.30: ƯCLN 24,30 120 
 Trang 9 
Câu 1. Dùng cơng thức (*) để tính: 
a) BCNN 65,21 ; b) BCNN 68,132 
Câu 2. Khơng cần phân tích ra thừa số nguyên tố hãy tìm BCNN 15,125 biết ƯCLN 15,125 5 . 
Câu 3. Khơng cần phân tích ra thừa số nguyên tố hãy tìm ƯCLN 120,200 biết BCNN 120,200 600 . 
Bài tập nâng cao 
Câu 4. Tìm hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và cĩ bội chung nhỏ nhất bằng 18. 
Câu 5. Tìm hai số tự nhiên a, b a b thỏa mãn: 
a) BCNN a, b 60 và ƯCLN a, b 5. b) a. b 891 và BCNN a, b 297 . 
ĐÁP ÁN 
Câu 1. 
a) Ta cĩ: 65 5.13 ; 
 21 3.7 
 ƯCLN 65,21 1. 
 BCNN 65,21 65.21 1365 . 
b) Ta cĩ: 68 22 .17 ; 
 132 22 .3.11 
 ƯCLN 68,132 22 4 . 
 BCNN 68,132 68.132 : 4 2244 . 
Câu 2. 
 BCNN 15,125 15.125: ƯCLN 15,125 375 
Câu 3. 
 ƯCLN 120,200 120.200 : BCNN 120,200 40 . 
Bài tập nâng cao 
Câu 4. 
Gọi hai số cần tìm là a và b . Ta cĩ: ƯCLN a, b 1 và BCNN a, b 18 
Suy ra a. b ƯCLN a , b . BCNN a , b 18. 
Vì ƯCLN a, b 1 và a. b 18 nên ta cĩ bảng 
 a 18 1 2 9 
 b 1 18 9 2 
Vậy hai số cần tìm là 18 và 1 hoặc 9 và 2. 
Câu 5. 
 Trang 11