Chuyên đề Biến đổi đại số - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
 • Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x2 a .
 • Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là 
 một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a :
 a 0 x 0
 2
 a x x a
 • Với hai số thực không âm a,b ta có: a b a b .
 • Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
 2 A A 0
 + A A nếu 
 A A 0
 + A2 B A B A B với A, B 0 ; A2 B A B A B với 
 A 0; B 0
 A A.B A.B
 + với AB 0, B 0
 B B2 B
 M M. A
 + với A 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
 A A
 M M A  B 
 + với A, B 0, A B (Đây gọi là phép 
 A B A B
 trục căn thức ở mẫu) 
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ: 
 • Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho x3 a Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
 a) P x4 4 
 b) P 8x3 3 3
 c) P x4 x2 1
Lời giải: 
 a) P x2 2 x2 2 x 2 x 2 x2 2 .
 3
 b) P 2x 3 3 2x 3 4x2 2 3x 3 .
 2
 c) P x2 1 x2 x2 x 1 x2 x 1 .
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
 1
 a) A x x x khi x 0 .
 4
 1
 b) B 4x 2 4x 1 4x 2 4x 1 khi x .
 4
 c) C 9 5 3 5 8 10 7 4 3
Lời giải:
 2
 1 1 1
 a) A x x x x x x x 
 4 2 2
 1 1 1 1 1
+ Nếu x x thì x x A . 
 2 4 2 2 2
 1 1 1 1 1
+ Nếu x 0 x thì x x A 2 x 
 2 4 2 2 2
 b) d) Tính x y biết x x2 2015 y y2 2015 2015. 
Lời giải: 
 a) Dễ thấy A 0,
Tacó
 2
A2 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 2 7 2 6. 7 2 6
 14 2.5 4
Suy ra A 2 .
 b) Áp dụng hằng đẳng thức: u v 3 u3 v3 3uv u v . Ta có:
 3
 84 84 84 84 84 84 
B3 3 1 3 1 1 1 3 3 1 .3 1 
 9 9 9 9 9 9 
 84 84 
 3 1 3 1 . Hay 
 9 9 
 84 84 84
 3 3 3 3 3
B 2 33 1 1 .B B 2 3 1 B B 2 B B B 2 0
 9 9 81
 2
 2 2 1 7
 B 1 B B 2 0 mà B B 2 B 0 suy ra B 1. 
 2 4
Vậy B là số nguyên.
 c) Áp dụng hằng đẳng thức: u v 3 u3 v3 3uv u v 
Ta có 
x3 2a 1 2a x x3 2a 1 x 2a 0 x 1 x2 x 2a 0 
Xét đa thức bậc hai x2 x 2a với 1 8a 0 x 5 1. Từ đó ta suy ra x 1 2 5 x2 2x 4 . 
 2 2 2
 x 2x 2 x 2x 12 42 3.4 12
Ta biến đổi: P 1.
 x2 2x 12 4 12
 b) Ta có x 1 3 2 x 1 3 2 x3 3x2 3x 3 0 . Ta biến đổi 
biểu thức P thành:
P x2 (x3 3x2 3x 3) x x3 3x2 3x 3 x3 3x2 3x 3 1945 1945
 c) Để ý rằng: x 3 22 3 2 1 ta nhân thêm 2 vế với 3 2 1 để tận 
dụng hằng đẳng thức: a3 b3 a b a2 ab b2 . Khi đó ta có: 
 3 2 1 x 3 2 1 3 22 3 2 1 
 3 2 1 x 1 3 2x x 1 2x3 x 1 3 x3 3x2 3x 1 0 . 
Ta biến đổi: 
P x5 4x4 x3 x2 2x 2015 x2 x 1 x3 3x2 3x 1 2016 2016
Ví dụ 5) Cho x, y, z 0 và xy yz zx 1. 
 a) Tính giá trị biểu thức: 
 1 y2 1 z2 1 z2 1 x2 1 x2 1 y2 
 P x y z
 1 x2 1 y2 1 z2
 x y z 2xy
 b) Chứng minh rằng: 2 2 2 
 1 x 1 y 1 z 1 x2 1 y2 1 z2 
Lời giải:
 a) Để ý rằng: 1 x2 x2 xy yz zx (x y)(x z) Suy ra 
 2 2 3 3
 x xy y x y 1 3 3 1 3 3
f (n) 2 2 x y 2n 1 2n 1 . 
 x y x y 2 2 
Áp dụng vào bài toán ta có: 
 1
f 1 f 2 .. f 40 33 13 53 33 .. 813 793 
 2 
 1
 813 13 364
 2 
Ví dụ 7) 
 1 1 1
 a) Chứng minh rằng: .... 4 . Đề thi 
 1 2 3 4 79 80
 chuyên ĐHSP 2011
 1 1 1 1 1 
 b) Chứng minh rằng: ... 2 1 .
 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 
 1 1 1 1 1
 c) Chứng minh: 2 n 2 ... 2 n 1 với 
 1 2 3 4 n
 mọi số nguyên dương n 2 .
Lời giải:
 1 1 1
 a) Xét A .... , 
 1 2 3 4 79 80
 1 1 1
 B .. 
 2 3 4 5 80 81
Dễ thấy A B . 
 1 1 1 1 1
Ta có A B .... 
 1 2 2 3 3 4 79 80 80 81
 1 k 1 k 
Mặt khác ta có: k 1 k
 k k 1 k 1 k k 1 k a) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn 
 3
 a 1 b2 b 1 c2 c 1 a2 .Chứng minh rằng: 
 2
 3
 a2 b2 c2 .
 2
 a) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 
 x 1 y2 y 2 z2 z 3 x2 3 . (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 
 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
 a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có 
 a2 1 b2 b2 1 c2 c2 1 a2 3
a 1 b2 b 1 c2 c 1 a2 .
 2 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 2
 a 1 b 2 2
 a 1 b
 2 2 2 2 2 2 3
 b 1 c b 1 c a b c (đpcm).
 2
 2 2
 c 1 a2 c 1 a
 b) Ta viết lại giả thiết thành: 2x 1 y2 2y 2 z2 2z 3 x2 6 . 
Áp dụng bất đẳng thức : 2ab a2 b2 ta có: 
2x 1 y2 2y 2 z2 2z 3 x2 x2 1 y2 y2 2 z2 z2 3 x2 6
. Suy ra VT VP . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
 2 2 2
 2 x, y, z 0
 x 1 y x y z 3; x, y, z 0
 2 2 2 2
 2 x y 1 x y 1
 y 2 z x 1; y 0; z 2
 y2 z2 2 y2 z2 2
 2 
 z 3 x 2 2 2 2
 z x 3 z x 3
 x x 4 x 4 x 4 x 4 
Ví dụ 9) Cho A với x 4
 x2 8x 16 2x x m2 4
+ Xét x 8 ta có: A , đặt x 4 m khi đó ta có: 
 x 4 m 2
 2
 2 m 4 8
A 2m suy ra m 2;4;8 x 8;20;68.
 m m
Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x 5;6;8;20;68.
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
 2 x x 1 2 x 1
Với x 0 , cho hai biểu thức A và B .
 x x x x
 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 64 .
 2) Rút gọn biểu thức B .
 A 3
 3) Tính x để .
 B 2
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
 x 4
 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của biểu thức A .
 x 2
 x 4 x 16
 2) Rút gọn biểu thức B : (với x 0, x 16
 x 4 x 4 x 2
 )
 3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của 
 x để giá trị của biểu thức B A 1 là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
 x 10 x 5
Cho A , với x 0, x 25 .
 x 5 x 25 x 5
 1) Rút gọn biểu thức A