Chuyên đề Biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân thức Toán 8

 BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ - GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ 
- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân 
chia trên những phân thức. 
- Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, 
nhân, chia các phân thức đã học. 
2. Giá trị của phân thức 
- Giá trị của một phân thức chỉ đuợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0. 
- Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x và y thì giá trị của biểu thức đó chi đuợc xác định 
vói các cặp số (x;y) làm cho giá trị của mẫu thức khác 0. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA 
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức. 
Phương pháp giải: Ta xác định các giá trị của biến để mẫu thức khác 0. 
Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: 
 5x 2 2x 1 x 2
a) ; b) ; c) ; d) 
 2x 6 x2 4 4x2 2x x3 27
Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: 
 4a 3b 6 3 2y2
a) ; b) ; c) ; d) . 
 3a 8 b2 2b x2 5 y3 3y 2
Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định: 
 x2 1 2x 1 3x 4 x 1
a) ; b) ; c) ; d) . 
 9x2 16 x2 6x 9 2x2 3x x3 4x2 3x
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức. 
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: 
Bước 1. Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi; 
 A
Bước 2. Biến đổi cho tới khi được một phân thức có dạng với A và B là các đa thức, B khác đa 
 B
thức 0. 
Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 
 A
• 0 khi và chỉ khi A và B cùng dấu; 
 B
 A
 0 khi và chỉ khi A và B trái dấu. 
 B
• Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý a 2 0 vói mọi giá trị của a. 
 a
• Với a;b Z và b 0 ta có: Z b Ư (a). 
 b
 x 2
Bài 10: Cho phân thức A với x 1; 
 x 1
a) Tìm x để A 1; b) Tìm x để A . 
 x2 2x 2
Bài 11: Cho phân thức B với x 3; 
 x 3
 a) Tìm x để B 0; b) Tìm x để B . 
Bài 12: 
 8
a) Tìm x để phân thức A đạt giá trị lớn nhất; 
 x2 4x 12
 5
b) Tìm x để phân thức B đạt giá trị lớn nhất. 
 x2 2x 11
 HƯỚNG DẪN 
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức. 
Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: 
 5x 2 2x 1 x 2
a) ; b) ; c) ; d) 
 2x 6 x2 4 4x2 2x x3 27
 Hướng dẫn 
 1
a) x 3 b) x 2 c) x 0; x d) x 3 
 2
Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: 
 4a 3b 6 3 2y2
a) ; b) ; c) ; d) . 
 3a 8 b2 2b x2 5 y3 3y 2
 Hướng dẫn 
 8
 a) a b) b 0;b 2 c) x d) y 1;y 2 
 3 
Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định: 
 x2 1 2x 1 3x 4 x 1
a) ; b) ; c) ; d) . 
 9x2 16 x2 6x 9 2x2 3x x3 4x2 3x
 Bài 7: Thực hiện các phép tính sau: 
 2 11 1
 a) A 4x 1 1 với x . 
 2x 12x 1 2
 39 31 
 b) B 2 : 2 với x 0,x 3. 
 x 3x 6x 9 x 93 x 
 Hướng dẫn 
 (2x 1) (2x 1) (4x2 1)
a) A 4x2 1 3 4x2 
 (2x 1)(2x 1)
 3(x 3)(x 3) 9 3x
b) B . 
 x 3 2 xx 3
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau: 
 4a b4a b a2 16b2
a) A 2 2 . 22 với a 0,a 4b ; 
 a 4ab a 4ab a b
 y 3y2 
b) B 1 : 1 2 với y 1;y 2. 
 y 2 4 y 
 Hướng dẫn 
 8(a2 b2 )a2 16b2 8 2y 24 y2 2 y
a) A . b) B . 
 a a2 16b2 a2 b2 a y 244 y2 2 2y
 x2 2xx 6108 6x
Bài 9: Cho biểu thức P ' 
 2x 12x 2x x 6 
a) Tìm điều kiện xác định; 
b) Rút gọn phân thức; 
 3
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng ; 
 2
 9
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng ; 
 2
e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1. 
 Hướng dẫn 
a) Tìm được x 6;x 0 
b) Gợi ý: x3 4x2 6x 36 (x 6)(x2 2x 6) 
 x2 2x 6
Ta tìm được P 
 2x
 3 2 x 3
c) Ta có P x 5x 60 (x 3)(x 2)0 (TM) 
 2 x 2
d) Tương tự câu c) tìm được x 6(KTM ) hoặc x 1(TM ) 
e) P 1 x2 4x 60 (x 2)2 2 0 ( vô nghiệm) 
Vì (x 2)2 2 2 0 với mọi x. Do vậy x  
 Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức. 
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 x 2 4 2x 1
a) b) 
 9x 2 16 x 2 4x 4
 x 2 4 5x 3
c) d) 
 x 2 1 2x 2 x
Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 1 x2 y 2x
 a) b) 
 x2 y2 x2 2x 1
 5x y x y
c) d) 
 x2 6x 10 (x 3)2 (y 2)2
Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 x2 5x 6 2
a) b) 
 x2 1 (x 1)(x 3)
 2x 1 4
c) d) 
 x2 5x 6 x2 y2 2x 2
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức. 
Bài 4:Rút gọn các phân thức sau: 
 5x 4xy 21x2y 3
 a) b) (y 0) c) (xy 0) 
 10 2y 6xy
 2x 2y 5x 5y 15x (x y )
 d) e) (x y) f) (x y) 
 4 3x 3y 3(y x )
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau: 
 x2 16 x2 4x 3
 a) (x 0,x 4) b) (x 3) 
 4x x2 2x 6
 15x (x y )3 x2 xy
c) ((yx y) 0) d) (x y,y 0) 
 5(yx y )2 3xy 3 y2
Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: 
 (2x2 2x )(x 2)2 1 x3 x2y xy2
 a) A với x b) B với x 5,y 10 
 (x3 4x )(x 1) 2 x3 y3
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ. 
Bài 7: Thực hiện phép tính: 
 Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức 
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 x 2 4 4 2x 1
a) điều kiện xác định x b) điều kiện xác định x 2 
 9x 2 16 3 x 2 4x 4
 x 2 4 5x 3 1 
c) điều kiện xác định x 1 d) điều kiện xác định x 0,  
 x 2 1 2x 2 x 2
Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 1 x 0 x2y 2x
 a) điều kiện xác định b) điều kiện xác định x 1
 x2 y2 y 0 x2 2x 1
 5x y
c) điều kiện xác định x 
 x2 6x 10
 x y x 3
d) điều kiện xác định 
 (x 3)2 (y 2)2 y 2
Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức: 
 x2 5x 6 2 x 1
a) điều kiện xác định x 1 b) điều kiện xác định 
 x2 1 (x 1)(x 3) x 3
 2x 1 2 x 2
c) điều kiện xác định x 5x 6 0 x 3 x 2 0 
 x2 5x 6 x 3
 4 2
d) điều kiện xác định x2 y2 2x 20 x 1 y2 1 0 ( luôn đúng 
 x2 y2 2x 2
với mọi x, y ) 
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức. 
Bài 4:Rút gọn các phân thức sau: 
 5x x 4xy 21x2y 3 7
 a) b) (y 0) 2x c) (xy 0) xy 2 
 10 2 2y 6xy 2
 2x 2y x y 5x 5y 5 15(xx y )
 d) e) (x y) f) (x y)
 4 2 3x 3y 3 3(y x )
 5 
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau: