Chuyên đề Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn - Đại số 10

ĐẠI SỐ 10. CHƯƠNG IV. 
BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
 I HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 = 
 Tác giả: Đàm Thị Điểm; Fb: Điểm Đàm 
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn xy, có dạng tổng quát là 
 ax by c (1) 
 ax by c;; ax by c ax by c 
trong đó abc,, là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. 
2. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là 
miền nghiệm của nó. 
Ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất 
phương trình như sau (tương tự cho bất phương trình ax by c ) 
Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng : ax by c . 
Bước 2. Lấy một điểm M0 x 0; y 0 không thuộc (ta thường lấy gốc tọa độ O nếu O ). 
Bước 3. Tính ax00 by và so sánh ax00 by với c . 
Bước 4. Kết luận 
 Nếu ax by c thì nửa mặt phẳng bờ chứa M là miền nghiệm của . 
 00 0 
 Nếu ax by c thì nửa mặt phẳng bờ không chứa là miền nghiệm của . 
 00 
Chú ý 
Để tìm miền nghiệm của các bất phương trình ax by c ta cũng làm qua 4 bước như trên và lưu ý 
rằng: 
 Nếu ax00 by c thì nửa mặt phẳng bờ chứa (không kể bờ ) là miền nghiệm của 
ax by c . 
 | 1 
- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , hai điểm Ax AA; y , Bx BB; y nằm cùng một phía đối với đường 
thẳng d:0 ax by c khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một miền nghiệm của bất phương trình 
ax by c 0 hoặc ax by c 0 hay axxaAABB by c by c 0. 
b. Một số ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Cho bất phương trình: . Trong các cặp số , , , , , cặp 
 nào là nghiệm của bất phương trình, cặp nào không phải là nghiệm của bất phương trình? 
 Lời giải 
Bằng cách thử trực tiếp, các cặp 1;2 , 0;1 là nghiệm, các cặp còn lại không phải là nghiệm của 
bất phương trình. 
 Ví dụ 2 
 Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ? 
 Lời giải 
 1
 + Đường thẳng d: x 2 y 1 đi qua hai điểm A 1;0 và B 0; . 
 2
+ xy 0 không phải là nghiệm của bất phương trình. 
+ Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng , không chứa 
gốc tọa độ O , không bao gồm đường thẳng d (là miền không gạch chéo trên hình vẽ) 
 | 3 
 Ví dụ 4 
 Tìm giá trị của tham số sao cho là nghiệm của bất phương trình . 
 Lời giải 
 x 1
Ta có là nghiệm của bất phương trình mx m 12 y khi và chỉ khi 
 y 2
 m 2 m 1 2 m 4 
 Ví dụ 5 
 Cho tam giác có , và . Tìm điều kiện của tham số để điểm 
 nằm bên trong tam giác ? 
 Lời giải 
Cách 1: 
 xy 12
Đường thẳng AB : 3xy 4 5 0 . 
 3 1 1 2
 xy 31
Đường thẳng BC : xy 2 5 0 . 
 3 3 4 1
 xy 12
Đường thẳng AC : 3xy 5 0. 
 3 1 4 2
Điều kiện cần và đủ để điểm M nằm bên trong tam giác ABC là điểm M cùng với mỗi đỉnh A , B , 
C lần lượt cùng phía với nhau đối với cạnh BC , CA , AB 
 m 5
 1 4 5 m 2 5 0
 3
 m 1
 m 5 
 9 1 5 3m 5 0 m 2 1 m 2 
 3
 m 7
 m 5
 9 16 5 3m 4 5 0
 3
Cách 2: 
 | 5 
- Vẽ các đường thẳng d1 : x 2 y 0 ; d2 : x 3 y 3 . 
- Điểm M 1;0 có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt 
phẳng bờ dd12; không chứa điểm M . Miền không bị tô đậm (miền chứa điểm M ), không tính các bờ 
 (hình vẽ) là miền nghiệm của hệ đã cho. 
 Ví dụ 2 
 Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình . 
 Lời giải 
- Vẽ các đường thẳng d1 : x 2 y 6 ; d2 :4 x y ; trục Oy:0 x ; trục Ox:0 y . 
- Điểm M 1;1 có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt 
phẳng bờ d12;;; d Ox Oy không chứa điểm M . Miền không bị tô đậm là hình tứ giác OABC kể cả bốn 
cạnh OA,,, AB BC CO trong hình vẽ dưới là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 
 y
 d1
 B
 A
 M
 O C d2 x
 | 7 
 y
 d1
 B
 M
 A C
 O 1 d3 x
 d2
* Tìm tọa độ các điểm ABC,, : 
 3x y 1 x 0
+ A  d13 d nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ . Vậy A 0;1 . 
 x 3 y 3 y 1
 3x y 1 x 1
+ B  d12 d nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ . Vậy B 1;4 . 
 2x y 6 y 4
 2x y 6 x 3
+ C  d23 d nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ . Vậy C 3;0 . 
 x 3 y 3 y 0
* Tính giá trị của f x; y 2 x 3 y 1 tại tất cả các đỉnh của tam giác ABC : 
 xy; 
 f x; y 2 x 3 y 1 2 9 7 
Suy ra minf x ; y f 1;4 9 và maxf x ; y f 3;0 7. 
 | 9 
* Điểm M m;1 m nằm trên hình tứ giác ABCD tính cả bốn cạnh của nó khi và chỉ khi mm;1 là 
 m 4
 3mm 2 1 6
 3
 m 
 mm 3 1 9 2 93
một nghiệm của hệ (*) , tức là m . 
 m 3 m 3 72
 2mm 5 1 4 9
 m 
 7
 93
Vậy các giá trị m cần tìm là m . 
 72
Dạng 3. BÀI TOÁN THỨC TẾ 
 Tác giả: Nguyễn Hải Yến. Fb: Nguyễn hải yến 
Bài toán xuất phát: 
Cho biểu thức P f(,) x y ax by ( ab, là các số thực không đồng thời bằng 0 ) trong đó M xy, 
là điểm thuộc miền đa giác AAA12... n . Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức P . 
 Lời giải 
+) Ta chứng minh được đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) tại 1 trong các đỉnh của đa 
giác . 
+ Tìm tọa độ các đỉnh AAA12, ,..., n : A1 x 1; y 1 , A2 x 2; y 2 ,, An x n; y n 
+) Lập bảng giá trị 
 M x; y    
 P1 P2 Pn 
+) PPPP max , ,...,  ( PPPP min , ,..., ). 
 max 1 2 n min 1 2 n
Bài toán thực tế: 
Lập kế hoạch sản xuất để chi phí thấp nhất ( lợi nhuận cao nhất) trong điều kiện cho phép. 
a) Phương pháp: 
Bước 1: Đặt ẩn xy, , lập các biểu thức điều kiện cho ( là các phương trình, hoặc bất phương 
trình bậc nhất 2 ẩn). Miền nghiệm của hệ điều kiện là miền đa giác . 
 Bước 2: Lập biểu thức tính chi phí (lợi nhuận) P f(,) x y ax by 
Bước 3: Lập bảng giá trị để tìm chi phí nhỏ nhất (lợi nhuận lớn nhất). 
 | 11