Chuyên đề Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn - Đại số 10

ĐẠI SỐ 10. CHƯƠNG IV. 
BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 BÀI 2.BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 
 I KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 = 
1. KHÁI NIỆM= BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 
a. Bất phương trình một ẩn 
Bất phương =trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng 
 I 
 f x g x f x g x 1 
trong đó fx và gx là những biểu thức của x . 
Ta gọi fx và gx lần lượt là vế trái, vế phải của bất phương trình 1. Số thực x0 sao cho 
 f x0 g x 0 f x 0 g x 0 là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình 
 1. 
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô 
nghiệm. 
Chú ý: 
Bất phương trình 1 cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g x f x g x f x . 
b. Điều kiện của một bất phương trình 
Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để fx và gx có nghĩa là điều 
kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình 1. 
c. Bất phương trình chứa tham số 
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem 
như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét 
xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm 
các nghiệm đó. 
2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của 
chúng. 
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một 
nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. 
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. 
3. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
a. Bất phương trình tương đương 
Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương 
đương và dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. 
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với 
nhau và dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương đó. 
b. Phép biến đổi tương đương 
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương 
trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) 
 Ví dụ 1 
 5xx 3 2 4
 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 7 . 
 x2 1 2 x 5 2 x 5
 Lời giải 
 5
Điều kiện xác định của bất phương trình là: 2xx 5 0 . 
 2
 5
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là x . 
 2
 Ví dụ 2 
 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2xx 6 3 2 2 6 . 
 Lời giải 
Điều kiện xác định của bất phương trình là: 2xx 6 0 3 . 
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là x 3. 
 Ví dụ 3 
 1
 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình: x 15 . 
 xx2 32
 Lời giải 
 2 x 1
 xx 3 2 0 x 1
Điều kiện xác định của bất phương trình là: x 1 . 
 x 10 x 2
 x 2
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là x 1và x 2. 
 Ví dụ 4 
 2 1
 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình: xx 20 . 
 23x 
 Lời giải 
 3
 x 
 2x 3 0 2 3
Điều kiện xác định của bất phương trình là: 2 2 x . 
 xx 20 17 2
 xx 0,  
 24
 3
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là x . 
 2
 4 4x 3
 1 1 0 0 
 x 1 x 1 x 1
 xx 3 0 3
 xx 1 0 1
 31 x . 
 xx 3 0 3
 vn 
 xx 1 0 1
Kết hợp với ĐKXĐ ta được tập nghiệm của bất phương trình 2 là: S2  3;1 . (2i) 
Từ (i) và (2i) suy ra hai bất phương trình đã cho không phải hai bất phương trình tương đương. 
 Ví dụ 2 
 Chứng minh hai bất phương trình xx 11và 2x 1 x 1 x 2 x 1 2 tương đương. 
 Lời giải 
Xét bất phương trình 1 ta có: xx 11 . TXĐ: x 1 . 
Với x 1ta có 2x 1 0 . 
Do đó nhân vế với vế của 1 với 21x ta được: 2x 1 x 1 x 2 x 1 . 
Vậy hai bất phương trình đã cho tương đương. 
 Ví dụ 3 
 3xx 5 2 1 1 4x2
 Cho các bất phương trình: 1 x 1 và 32 . Hai bất phương 
 23 x
 trình đã cho có tương đương không? 
 Lời giải 
Cách 1. 
 3xx 5 2
 Xét bất phương trình 1 ta có: 1 x 
 23
 3 3x 5 6 2 x 2 6 x 
 9x 15 6 2 x 4 6 x 
 x 5. 
Tập nghiệm của bất phương trình 1 là: S1 ;5  . (i) 
Xét bất phương trình 2 : 
 11
 x 
ĐKXĐ: 22. 
 x 0
 22
 1 1 4xx 1 1 4 4x2
Khi đó 2 3 3 
 x 1 1 4 x22 x 1 1 4 x 
Bất phương trình ax b 0 1 ax b 0, ax b 0, ax b 0 . Trong đó ab, chứa tham số, x 
là biến. 
Trường hợp 1: a 0 khi đó 10 b . 
 Nếu b 0 thì 1 vô nghiệm. i 
 Nếu b 0thì 1 có nghiệm  x . 2i 
 b
Trường hợp 2: a 0 khi đó 1 x . 3i 
 a
 b
Trường hợp 3: a 0 khi đó 1. x 4i 
 a
Kết hợp i ; 2 i ; 3 i ; 4 i suy ra kết luận. 
b. Một số ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Tìm tham số m để bất phương trình mx 3 m vô nghiệm. 
 Lời giải 
 m 0
Bất phương trình mx 3 m vô nghiệm m 0 . 
 30 m
Vậy với m 0, bất phương trình đã cho vô nghiệm. 
 Ví dụ 2 
 Tìm tham số m để bất phương trình m2 x 34 mx có nghiệm. 
 Lời giải 
Chuyển bài toán trên về bài toán “tìm tham số m để bất phương trình vô nghiệm”, từ đó suy ra m 
để bất phương trình có nghiệm. 
m2 x 34 mx m m 1 x 1 0 (1)
 mm 10 
 1 vô nghiệm m  . 
 10
Vậy với  m , bất phương trình có nghiệm. 
 Ví dụ 3 
 Tìm tham số m để bất phương trình m 3 x 3 m 7 0 1 nghiệm đúng với mọi x thuộc 
 khoảng 2; . 
 Lời giải 
Ta có: 
 1 m 3 x 3 m 7 0 (m 3) x 7 3 m (*) 
 73 m
TH1: Với m 3, bất phương trình (*) trở thành: x . 
 m 3
 26m2 
hay 1 2mm2 6 2 . Kết hợp điều kiện m 2 m . 3i 
 m 2
Từ i ; 2 i ; 3 i suy ra không có giá trị của m thỏa mãn. 
 Ví dụ 5 
 Cho bất phương trình : mx 2 m2 2 x 8 1 . Gọi AB, là hai điểm phân biệt lần lượt là giao 
 điểm của đồ thị hàm số y 11 m x m với hai trục tọa độ Oxy . Tìm tham số nguyên 
 bé nhất sao cho thỏa mãn với mọi x 12 và diện tích OAB luôn lớn hơn 5. 
 Lời giải 
Ta có 1 m 2 x 2 m2 8 0 (1’). 
Đặt f x m 2 x 2 m2 8 
 m 20 m 2
Bpt 1 đúng với x 12 2 
 f 12 0 mm 2  12 2 8 0
 m 2 mm 22
 2 
 mm 6 8 0 m 2  m 4 m 4
Vậy khi m 2 hoặc m 4 thì bất phương trình 1 thỏa mãn 
Với m 4 hoặc m 2 . Xét đồ thị hàm số y 11 m x m d . 
Gọi AB, lần lượt là giao điểm của d với hai trục tọa độ Ox; Oy . 
 1 m
Khi đó: A ;0 ; B 0; m 1 
 m 1
 2
 1 1 1 m 1 m 1 
Nên ta có S  OA  OB   m 1  
 OAB 2 2mm 1 2 1
 2
 1 m 1 
Theo đề bài ta có:  5* 
 21m 
 m 2 không thỏa mãn bất phương trình * . 
 2
 1 m 1 2
  5 mm 12 9 0
 bất phương trình * 21m 
 m 4
 m 4
 mm 6 3 5  6 3 5
 m 6 3 5 . 
 m 4
Do m là số nguyên dương bé nhất nên m 13. 
Vậy m 13. 
Cách khác: