Chuyên đề Bất phương trình mũ và lôgarit (Vận dụng cao) - Toán 12

 DẠNG TOÁN : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ -LOGARIT VẬN DỤNG CAO
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Bất phương trình mũ
+ Nếu a 1 thì a f x a g x f x g x .
+ Nếu 0 a 1 thì a f x a g x f x g x .
 f x g x 
+ Nếu a chứa ẩn thì a a a 1 f x g x 0 .
2. Bất phương trình logarit
+ Nếu a 1 thì loga f x loga g x f x g x 
+ Nếu 0 a 1 thì loga f x loga g x f x g x 
 loga B 0 a 1 B 1 0
+ Nếu a chứa ẩn thì log A .
 a 0 A 1 B 1 0
 loga B
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 • Lý thuyết về bất phương trình mũ – lôgarit
 • Nhận dạng và phát triển các dạng toán tương tự...
BÀI TẬP MẪU
Câu 40. (ĐỀ MINH HỌA BGD 2020-2021) : Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có 
không quá 10 số nguyên x thỏa mãn 2x 1 2 2x y 0?
A.1024. B.2047. C. 1022. D.1023.
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
 x 1 x
Ta có: y 1 log2 y 0 . Gọi 2 2 2 y 0 (*)
 2 1
 2x 1 2 0 2x x 
+Trường hợp 1: VN
 x 2 2
 2 y 0 x x log y 0
 2 y 1 2 Lời giải
Chọn A
Ta có x x2 9y 3y x x2 9y 3y .
Xét hàm số đặc trưng f t t 2 t với t 0 .
Ta có f t 2t 1 0,t 0 suy ra f t là hàm số đồng biến trên t 0 .
Suy ra x x2 9y 3y f x f 3y x 3y .
Với giả thiết 1 x 10 ta có: 3y 10 y 2 .
TH1: y 1 31 x 10 x 3;4;5;6;7;8;9;10 có 8 cặp nghiệm x; y thỏa mãn.
TH2: y 2 32 9 x 10 x 9;10 có 2 cặp nghiệm x; y thỏa mãn.
Vậy có tất cả 10 cặp nghiệm x; y thỏa mãn.
Câu 3. Có bao nhiêu cặp số nguyên x; y thỏa mãn x, y 5;50 và x y2 2y x 2 y2 2y 2
A. 2 . B. 5 . C. 15. D. 11.
Lời giải
Chọn C
Có x y2 2y x 2 y2 2y 2 x x y2 2y 2 y2 2y 2 (2)
Xét hàm số f t t t trên khoảng 0; ta có:
 1
 f t 1 0,t 0 f t đồng biến.
 2 t
 2 f x f y2 2y 2 x y2 2y 2.
 2
Do x, y 5;50 nên 5 y2 2y 2 50 4 y 1 49 1 y 6
Do y ¢ và y 5;50 nên y 5 hoặc y 6.
Với y 5 có 37 y2 2y 2 x 50 x 37;38;...;50 có 14 cặp x; y thỏa mãn.
Với y 6 có 50 y2 2y 2 x 50 x 50 có 1 cặp x; y thỏa mãn.
Vậy có tất cả 15 cặp x; y thỏa mãn. x 0, x 1 x 0, x 1
 2 2 2
Có log x y x x 5 2 y x x 5 0 y x x 5 0 . (1)
 2 2 
 y x x 5 x y x 5
Vì x; y nguyên dương nên x 2;3;4
 x 0, x 1
Với x 2 có 1 y 6 5 0 y 1;2;3 có 3 cặp x; y thỏa mãn.
 y 2 5
 x 0, x 1
Với x 3 có 1 y 12 5 0 y 1;2 có 2 cặp x; y thỏa mãn.
 y 3 5
 x 0, x 1
Với x 4 có 1 y 20 5 0 y 1 có 1 cặp x; y thỏa mãn.
 y 4 5
Vậy có tất cả 6 cặp x; y thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 7. Có bao nhiêu m nguyên dương để bất phương trình 32x 2 3x 3m 2 1 3m 0 có không quá 30 
nghiệm nguyên?
A. 28. B. 29. C. 30. D. 31.
Lời giải:
Chọn D
 32x 2 3x 3m 2 1 3m 0 9.32x 9.3x.3m 3x 3m 0 9.3x 3x 3m 3x 3m 0
 3x 3m 9.3x 1 0
Ta có 3x 3m 0 x m.
 9.3x 1 0 x 2.
Bảng xét dấu
Ta có tập nghiệm S 2;m .
Tập hợp các nghiệm nguyên là 1;0;1;...;m 1.
Để có không quá 30 nghiệm nguyên thì m 1 28 m 29. 2 2 2 2
Suy ra 2x y x y 3 0 2x y x y 3 .
 2 2
Với giả thiết x,y là các số nguyên nên 2x y và x y chỉ có thể xẩy ra các trường hợp sau:
Vậy có tất cả 3 cặp nghiệm thỏa mãn.
Câu 10. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x; y với x 2020 thỏa mãn điều kiện 
 x 2
 log x2 4x 4y2 8y 1.
 2 y 1
A. 2020. B. vô số. C. 1010. D. 4040.
Lời giải
Chọn C
 x 2 2 2
 log 4y2 x2 4x 8y 1 log x 2 log y 1 4 y 1 x 2 1
 2 y 1 2 2
 2 2
 log2 x 2 x 2 log2 2 y 1 2 y 1 1 .
 2
Xét hàm số f t log2 t t trên 0; .
 1
Ta có f t 2t 0t 0; f t đồng biến trên 0; .
 t ln 2
 1 f x 2 f 2y 2 x 2 2y 2 x 2y .
Mà 0 x 2020 0 y 1010 .
Vậy có 1010cặp số nguyên dương x; y .
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình 
 3x 2 3 3x 2m 0 chứa không quá 9 số nguyên?
A.1094. B.3281. C.1093. D.3280.
Lời giải Suy ra có 65024 giá trị m nguyên thỏa mãn.
 2
Trường hợp 2: Xét 3x x 9 0 x2 x 2 1 x 2 . Vì 1;2 chỉ có hai số nguyên nên không có 
giá trị m nào để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.
Vậy có tất cả 65024 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 13. Có bao nhiêu m nguyên dương để bất phương trình 32x 2 3x 3m 2 1 3m 0 có không quá 30 
nghiệm nguyên?
A. 28. B. 29. C. 30. D.31.
Lời giải
Chọn B
 32x 2 3x 3m 2 1 3m 0 9.32x 9.3x.3m 3x 3m 0
 3x 3m 9.3x 1 0
Ta có 3x 3m 0 x m ¢ 
 9.3x 1 0 x 2.
Bảng xét dấu
Ta có tập nghiệm S 2;m .
Tập hợp các nghiệm nguyên là 1;0;1;...;m 1.
Để có không quá 30 nghiệm nguyên thì m 1 28 m 29.
Câu 14. Cho bất phương trình m.3x 1 (3m 2)(4 7)x (4 7)x 0, với m là tham số. Tìm tất cả các 
giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ;0 .
 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
A. m . B. m . C. m . D. m .
 3 3 3 3
Lời giải
Chọn B
 x x
 x 1 x x 4 7 4 7 
 m.3 (3m 2).(4 7) (4 7) 0 3m (3m 2). 0
 3 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có:.
 2 2 2
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình m.4x 2x 1 1 2m .10x 2x 1 m.25x 2x 1 0 
 1 
nghiệm đúng với mọi x ;2 .
 2 
 100 1 100
A. m 0 . B. m . C. m . D. m .
 841 4 841
Lời giải
Chọn A
 2 2 2 1 
 m.4x 2x 1 1 2m .10x 2x 1 m.25x 2x 1 0,x ;2
 2 
 x2 2x 1 2 x2 2x 1 
 5 5 1 
 m 1 2m . m. 0,x ;2 1 
 2 2 2 
 x2 2x 1 x2 2x 1
 5 5 5 
Đặt t t (x) .ln . 2x 2 0 x 1.
 2 2 2 
Bảng biến thiên
 4 2 
Từ bảng biến thiên ta có t ;
 25 5 
 4 2 t 4 2 
 1 m 1 2m .t m.t 2 0,t ; m ,t ;
 25 5 t 2 2t 1 25 5 
 t
 m min (*)
 4 2 2
 ; t 2t 1
 25 5 
 t 4 2 
Xét hàm số f t ,t ;
 2 
 t 2t 1 25 5 
 t 2 1 t 1 l 
 2
 f t 2 , f t 0 t 1 0 
 t 2 2t 1 t 1 l 72x x 1 72 x 1 2020x 2020
Câu 18. Điều kiện của m để hệ bất phương trình có nghiệm là :
 2
 x m 2 x 2m 3 0
A. m 3. B. 2 m 1. C. 1 m 2. D. m 2.
Lời giải
Chọn D
 72x x 1 72 x 1 2020x 2020 72x x 1 1010. 2x x 1 72 x 1 1010. 2 x 1 * 
Hàm số f (t) 7t 1010.t đồng biến trên ¡ .
 * f 2x x 1 f 2 x 1 2x x 1 2 x 1 1 x 1.
Hệ bất phương trình đã cho có nghiệm x2 m 2 x 2m 3 0 có nghiệm x  1;1
 x2 2x 3
 m có nghiệm x  1;1 .
 x 2
Từ bảng biến thiên ta thấy m 2 là các giá trị cần tìm.
 2 2 2
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình 9m x 4m x m.5m x có nghiệm?
A. 10. B. Vô số. C. 9 . D. 1.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết, ta chỉ xét m ¢ 
 m2 x m2 x
 m2 x m2 x m2 x 9 4 
Ta có: 9 4 m.5 m 1 
 5 5