Chuyên đề Bất phương trình mũ và logarit - Đại số 12

 Bài toán 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGA 
 PHƯƠNG PHÁP XÉT HÀM. 
 Câu 1: 
 [2D2-6.2-3] Giải bất phương trình . 
 Lời giải 
 x x x
 x 11 x x 1 1 1 
Ta có: 2 3 6 1 2. 3. 1 (*) 
 3 2 6 
 x x x
 1 1 1 
Đặt fx 2. 3. . 
 3 2 6 
 x x x
 1 1 1 1 1 1
Ta có: f' x 2. .ln 3. .ln .ln 0,  x 
 3 3 2 2 6 6
Suy ra hàm số fx nghịch biến trên . 
Do đó: * f x f 2 x 2 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S 2; . 
 Câu 2: 
 [2D2-6.2-3] Tìm nghiệm của bất phương trình . 
 Lời giải 
 6 3x 1 10 10xx 2 6
Với x 0 , 6 3xx 11 3 (*) 
 x2 x 1 2 x 1 2 x 1
 26x 
Đặt fx và gx 3x 1 , lúc đó (*) trở thành f x g x . 
 21x 
 1 10 gx' 3.3x .ln3 0
 Với 0 x , ta có fx'0 và , suy ra hàm 
 2 21x 2
 fx gx 1
 số và đồng biến trên 0; . 
 2
 f x f 06 
 1
Lúc đó 1 , suy ra (*) đúng  x 0; . 
 g x g 33 2
 2
 1 1
 Với x , hàm số đồng biến trên ; . 
 2 2
 1 
 TXĐ: 
 x
Ta có bất phương trình tương đương m4 e2x 1 e 2 . 
 x
Đặt e2 t,0 t , khi đó yêu cầu bài toán tương đương m4 t4 1 t đúng với mọi 
t 0 (*) 
Đặt y f t4 t4 1 t , t 0 . 
 t3 t3
Ta có: ft 1; ft 0 1 0 
 3 3
 4 t 4 1 4 t 4 1
 33
 t34 t 411 t 12 t 4 t12 t 123 t 8 3 t 4 1 3 t 8 3 t 4 1 0 (Vô 
nghiệm) 
 343
 t3 tt4 1
Nhận xét: f t1 0, t 0 (vì 
 33
 44tt4411
 33
44t41 t 4 t 3 ) 
Mặt khác limft 1; 
 t 0
 tt421 1
 lim4 tt4 1 lim lim 0 . 
 tt4 tt4 1 t 4 t411 t t 4 t 2
Bảng biến thiên: 
Do đó (*) m 1. Vậy m 1. 
 Câu 6: 
 [2D2-5.6-3] Tìm tham số để bất phương trình 
 nghiệm đúng với mọi . 
 Lời giải 
Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x , trước hết bất phương trình phải xác định 
trên . 
 3 
 Câu 8: 
 [2D2-5.5-4] Cho hàm số . 
 Giải bất phương trình (1) . 
 Lời giải 
 Ta có: f' x 3 x2 24 x 2018 0,  x R nên hàm số đồng biến trên R 
 Do đó: 
 1 log0,2 log 2 a 1 2019 f 0 log 0,2 log 2 a 1 0
 log2 aa 1 1 3
 Vậy tập nghiệm: S 3; 
 Câu 9: 
 [2D2-6.5-3] Giải bất phương trình . 
 Lời giải 
Điều kiện: x 0. 
Ta có 
 2 2 2 2
log2x 3 log 2 x x 4 x 1 0 log 2 x 3 x 3 log 2 4 x 4 x * . 
Xét hàm số f tlog2 t t trên D 0; . Ta có 
 1
 f t10 t D hàm số f đồng biến trên D . 
 t ln 2
Suy ra *f x22 3 f 4 x x 3 4 x 1 x 3. 
 Câu 10: 
 [2D2-6.5-4] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình
 có nghiệm với mọi ? 
 . 
 Lời giải 
 x x x x
 BPT log2 (5 1).log 2 (2.5 2) m log 2 (5 1). 1 log 2 (5 1) m 
 x
 Đặt t log2 5 1 do x 1 t 2; 
 BPT t(1 t ) m t2 t m f ( t ) m 
 Với f() t t2 t 
 5 
 ln 4x 1 
 Xét hàm số: f x , x  1;2 
 x
 x x x x
 1 4x ln 4 4.ln4 4 1ln4 1 
 f' x . x ln 4x 1 
 2 x x 2
 x 41 41 x
 Ta có: 
 4 4xx 4 1
 x x x x
  x1;2 xx 4ln4 41ln41  f ' x 0, x  1;2
 ln 4 ln 4 ln 4 1 
 Vậy 1 có nghiệm x 1;2 m f 1 m ln5 
 Câu 13: 
 [2D2-6.5-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình 
 có nghiệm với mọi 
 Lời giải 
Điều kiện: xm ;0. 
 x
Ta có: log0,02 log 2 3 1 log 0,02 mx ,  ;0 .
 log 3x 1 mx ,  ;0 .
 2 
 3xm 1 2 , x ;0 .
Xét hàm fx 31x trên ;0 . Ta có f x 3x .ln3 0,  x ;0 . 
 lim 3xx 1 1; lim 3 1 2 . 
 xx 0 
Bảng biến thiên: 
 x ∞ 0
 y' +
 2
 y
 1 
Để phương trình có nghiệm với mọi x ;0 ta phải có 22m m 1. 
Vây m 1. 
 Câu 14: 
 [2D2-6.5-3] Giải bất phương trình . 
 Lời giải 
Điều kiện: a 0 
 3
Từ giả thiết 3log32 1 a a 2log a . 
 7 
 t22 t t
 Ta tìm m sao cho bất phương trình 16.3 t 2 t 8 .4 m 3 m .6 (1) 
 đúng với t  4;2. 
 t
 16 2
 (1) t22 2 t 8 . m 3 m với t 4;2 (*). 
 t  
 23 
 16
 Ta có 4, t  4;2. Dấu bằng xảy ra khi t 2. 
 2t
 Lại có tt2 2 8 0 với t  4;2. 
 t
 2 2
 Do đó t 2 t 8 . 0,  t  4;2 . Dấu bằng xảy ra khi tt 24  . 
 3
 t t
 16 2 16 2
 Như vậy t2 2 t 8 . 4  t 4; 2 . Mà t22 2 t 8 . m 3 m 
 t   t 
 23 23 
 với t  4;2. 
 Suy ra m2 3 m 4 1 m 4. 
 Vậy 14 m . 
Bài toán 5: Một số bài toán kết hợp các phương pháp 
 Câu 1: 
 Giải bất phương trình 
 Lời giải 
 2 2
 Đặt t x 4 x 2 x 2 2, t 2. Ta có bất phương trình tt log3 4 0. 
 Đặt f t t log3 t 4 , t 2 
 1
 Ta có f' t 1 0,  t 2. Suy ra ft đồng biến trên  2; . 
 t 4 ln3
 Mặt khác f 10 . 
 Do đó f t 0 t 1 x22 421 x x 430 x x ;13;  . 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T ;1  3; . 
 Câu 2: 
 Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình nghiệm 
 đúng với mọi . 
 Lời giải 
 9 
 Câu 4: 
 Cho bất phương trình . Tìm để bất phương 
 trình nghiệm đúng với . 
 Lời giải 
 xx32 22
 Điều kiện: 0 . 
 xm2 
 Do xx32 2 2 0 với  x 0;3 nên bài toán này ta chỉ xét với điều kiện xm2 0 
 * 
 Với điều kiện * ta có: 
 bất phương trình ln x3 2 x 2 2 ln x 2 m x 3 3 x 2 2 m 0 
 lnx3 2 x 2 2 x 3 2 x 2 2 ln x 2 m x 2 m 1 
 Xét hàm: f t ln t t trên 0; . 
 1
 ft' 1 0 với t 0; ft là hàm đồng biến trên 0; . 
 t
 Do đó: 1 x3 2 x 2 2 x 2 m m x32 32 x . 
 Đặt g x x32 32 x . 
 Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  x 0;3 khi: 
 2
 x m 0  x  0;3 m 0
 . 
 m min g x m 2
 x 0;3 
Vậy không tồn tại giá trị của m thỏa mãn bài toán. 
 11