Chuyên đề Bất phương trình một ẩn Toán 8

 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 
A. BÀI GIẢNG 
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 
Ví dụ 1. Ta gọi hệ thức: 
 . 2x 3 x 2 là một bất phương trình với ẩn số x. 
 . 3y 2 y là một bất phương trình với ẩn số y. 
Từ đó ta có được định nghĩa về bất phương trình một ẩn: 
 Một bất phương trình với ẩn x có dạng: 
 Ax() Bx () hoặc Ax() BxAx (),() BxAx (),() Bx () 
 Trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. 
2. TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình 
đó. 
 Khi bài toán yêu cầu giải một bất phương trình, ta phải tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. 
Ví dụ 2: Ta có: 
a. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 là tập hợp các số lớn hơn 2, tức là tập x x 2, nó được 
biểu diễn trên trục số như sau: 
b. Tập nghiệm của bất phương trình x 3 là tập hợp các số lớn hơn hoặc bằng 3, tức là tập x x 3, 
nó được biểu diễn trên trục số như sau: 
c. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 là tập hợp các số nhỏ hơn - 2, tức là tập x x 2, nó được 
biểu diễn trên trục số như sau: 
d. Tập nghiệm của bất phương trình x 1 là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng 1, tức là tập x x 1 , 
nó được biểu diễn trên trục số như sau: 
Ví dụ 3. Cho bất phương trình: x2 4 x 3 x b. Thay x 3 vào bất phương trình, ta được: 
 32 4.3 2.3 8 9 12 6 8 3 2 , luôn đúng. 
Vậy, x 3 là nghiệm của bất phương trình. 
c. Thay x 4 vào bất phương trình, ta được: 
 42 4.4 2.4 8 16 16 8 8 0 0, luôn đúng. 
Vậy, x 4 là nghiệm của bất phương trình. 
 Chú ý: Ta có 0 0 cũng là một bất đẳng thức đúng, bởi: a b khi và chỉ khi a b hoặc a b . 
Ví dụ 3. Kiểm tra xem giá trị x 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau: 
 a. 2 x 3 9 b. 4x 2 x 5 c. 5 x 3 x 12 
 Giải 
a. Thay x 3 vào bất phương trình, ta có: 
 2.3 3 9 9 9 , (mâu thuẫn). 
Vậy, x 3 không phải là nghiệm của bất phương trình. 
b. Thay x 3 vào bất phương trình, ta được: 
 ( 4).3 2.3 5 12 11 (mâu thuẫn). 
Vậy, x 3 không phải là nghiệm của bất phương trình. 
c. Thay x 3 vào bất phương trình, ta được: 
 5 3 3.3 12 2 3 , (luôn đúng). 
Vậy, x 3 là nghiệm của bất phương trình. 
Ví dụ 4: Viết thành bất phương trình và chỉ ra một nghiệm của nó từ các mệnh đề sau: 
a. Tổng của một số nào đó và 4 lớn hơn 9. 
b. Hiệu của 8 và 3 lần số nào đó nhỏ hơn 11. 
 Giải 
a. Gọi số cần tìm là x. 
 Từ giả thiết “Tổng của x và 4 lớn hơn 9”, ta được x 4 9 . 
 Ta có thể chọn x 6 là một nghiệm của bất phương trình trên. 
b. Gọi số cần tìm là x. 
Từ giả thiết “Hiệu của 8 và 3 lần số x nhỏ hơn 11”, ta được 8 3x 11. 
Ta có thể chọn x 0 là một nghiệm của bất phương trình trên. 
Ví dụ 5. Hãy lập bất phương trình cho bài toán sau: 
 Quãng đường đi từ A đến B dài 50km. Một ôtô đi từ A đến B, khởi hành lúc 7 giờ. Hỏi ôtô 
 phải đi với vận tốc bao nhiêu km/h để đến B trước 9 giờ cùng ngày? 
 Giải 
 Gọi x là vận tốc trung bình của ôtô ( x 0 , đơn vị: km/h). 
 Ôtô đi từ 7 giờ và đến trước 9 giờ tức là ôtô đi từ A đến B chưa tới 2 giờ. 
 Do đó, nếu ôtô đi đúng 2 giờ thì quãng đường ôtô đi được sẽ dài hơn quãng đường AB 50 km . b. Nhận xét rằng, x 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương 
trình đầu. 
 Vậy, hai bất phương trình đã cho không tương đương. 
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
 Phiếu 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. 
Dạng 1: Nhận dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn. 
Bài 1: Hãy xét xem các bất phương trình sau có là bất phương trình bậc nhất một ẩn không? 
a) 0x 3 0 b) x 1 0 
 2 2x2
c) x 0 d) 1 0 
 3 5
Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất ẩn x : 
a) 2m2 4 xm 0 b) 3m 1 x3 x 6 0 
 x 2m 9 x 5
c) 2m 0 d) 0 
 m2 3 m 4 5m 10
Bài 3: Chứng minh các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của 
tham số m. 
a) m2 3 x 1 0 
b) mm2 4 x 2 m 3 
Dạng 2: Giải bất phương trình. 
Bài 4: Giải các bất phương trình sau: 
a) 2x 8 0 b) 9 3x 0 
 1 3x 5 x 2
c) 5 x 1 d) x 1 
 3 2 3
Bài 5: Giải các bất phương trình sau và viết tập nghiệm bằng kí hiệu tập hợp. 
 2
a) 2x 3 2 x 1 2 x 5 
 2
b) xx 1 2 x 1 3 
Bài 6: Tìm giá trị nguyên của x thỏa mãn đồng thời cả hai bất phương trình sau: 
x 17 3 x 7 x 1 2 x 5 x 8
 2 và x 7 
 5 4 3 5 6
Bài 7: Giải các bất phương trình sau: 
a) x 1 x 1 0 
 x 1
b) 0 
 x 2 Giải: 
a) m2 3 x 1 0 
 2
Vì m 3  0 m 
b) mm2 4 x 2 m 3 
 2
 2 1 15 
Vì mm 4 m  0 m 
 2 4 
Bài 4: Giải các bất phương trình sau: 
Giải: 
a) 2x 8 0 2 xx 8 4 
b) 9 3x 0 9 3 xx 3 
 1 1 1
c) 5 x 1 5 1 x 4 xx 12 
 3 3 3
 3x 5 xxxx 2 9 15 6 6 2 4
d) x1 3 xxx 15 10 2 5 
 2 3 6 6
Bài 5: Giải các bất phương trình sau và viết tập nghiệm bằng kí hiệu tập hợp. 
Giải: 
 2 7
a) 2xxx 3 2 1 2 5 4 x 3 20 xx 25 
 6
 7 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S xx  
 6 
 2
b) xxx 1 2 1 3 x 2 2 xx 4 2 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S xx 2 
Bài 6: Tìm giá trị nguyên của x thỏa mãn đồng thời cả hai bất phương trình sau: 
 x 17 3 x 7
Giải: 2 (1) 
 5 4
 x 1 2 x 5 x 8
 x 7 (2) 
 3 5 6
Giải bất phương trình (1): 
x 17 3 x 7
 2 4 xx 7 5 3 7 2.20 11 xx 143 13 (3) 
 5 4
Giải bất phương trình (2): 
 x 1 2 x 5 x 8 
 x 7
 3 5 6
 30xx 10 1 6 2 x 5 5 x 8 7.30
 13x 80 210 x 8x 8x 8x 8 1111 
 x 8 0 
 6352 6352 
 1111
Vì 0 nên x 8 0 hay x 8 
 6352
 x 2x 12x 12x 32x 42x 22x 12x 3
b) 
 1007 1008 2017 2015 2014 2016 2017 2015
Cộng thêm -1 vào mỗi phân thức ta được: 
 2x 2018 2x 2018 2x 2018 2x 2018
 2014 2016 2017 2015
 1111 
 2x 2018 0
 2014 2016 2017 2015 
 1111
Vì 0 nên 2x 2018 0 hay x 1009 
 2014 2016 2017 2015
Bài 10: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số 
đó lớn hơn 13 nhưng nhỏ hơn 29. 
Giải: Gọi số cần tìm là: ab 10 a b a ,b ,a 0 
Từ giả thiết ta có: ab 10 a b 10a a 211 a 2 . 
 15 31
Mặt khác: 13 ab 29 13 11 a 2 29 a 
 11 11
Suy ra a 2,b 0 . 
Vậy số cần tìm là 20. 
.