Chuyên đề Bất phương trình bậc nhất một ẩn Toán Lớp 8

 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 
A. BÀI GIẢNG 
1. ĐỊNH NGHĨA 
Định nghĩa: Bất phương trình dạng: 
ax b0, ax b 0, ax b 0, ax b 0, 
Với a và b là hai số đã cho và a 0 , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. 
2. HAI QUY TẮC BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
a.Quy tắc chuyển vế 
Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi: 
abc abc 0 chuyển vế và đổi dấu. 
Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như vậy, cụ thể: 
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu 
hạng tử đó. 
Sử dụng quy tắc trên, bước đầu chúng ta có thể giải được một vài bất phương trình đơn giản, thí dụ sau 
sẽ minh họa điều này. 
Ví dụ 1. Sử dụng quy tắc chuyển vế giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của nó 
trên trục số: 
a. x 3 4 bx. 3 2 x 2 
 Giải 
a. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng: 
x 3 4 x 4 3 x 1. 
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 1 và ta có biểu diễn: 
b. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng: 
3xx 2 2 3 xx 2 2 x 2 . 
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 2 và ta có biểu diễn: 
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau: 
a. x 12 21 b. 2 x 3 x 5 
 Giải 
a. Ta có biến đổi: x 12 21 x 21 12 x 9 . 
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 9 . 
b. Ta có biến đổi: 2xx 3 5 3 xx 2 5 x 5 b. Ta có biến đổi: 
 3x 27 x 9 
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 9 
Chú ý: Tiếp theo, chúng ta minh họa việc sử dụng đồng thời hau quy tắc biến đổi bất phương trình để 
bước đầu làm quen với việc giải một bất phương trình. 
Ví dụ 5. Sử dụng hai quy tắc biến đổi bất phương trình để giải các bất phương trình sau: 
a. 3 x x 8 bx. 2 2 xx 2 4 
 Giải 
a. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng: 
3xx 8 2 x 8 x 4 
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 4 
b. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng: 
xxx2 2 2 4 xxx 2 2 2 4 x 2 
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 2 
Nhận xét: 
1. Trong lời giải các bất phương trình trên, chúng ta đã thừa nhận rằng kết quả “Từ một bất phương 
trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một bất phương trình mới tương 
đương với bất phương trình đã cho”. 
2. Cũng chính nhờ những quy tắc này mà việc chứng minh một bất đẳng thức sẽ đơn giản hơn rất nhiều 
– Điều này chúng ta sẽ gặp lại trong chủ đề chuyên sâu về bất đẳng thức ở cuối chương. 
3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 
Bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng: 
ax b0, a 0 
Được giải như sau: ax b0 ax b 
 b
. Với a 0 , ta được x 
 a
 b
. Với a 0 , ta được x 
 a
Ví dụ 6. Giải bất phương trình 4x 8 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. 
 Giải 
Ta có biến đổi: 
 4x 8 0 4 x 8 x 2 
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 2 và ta có biểu diễn: 
 Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 3 
Ví dụ 2. Giải các phương trình (theo quy tắc nhân): 
a. 0,3 x 0,6 b. - 4 x 12 c. x 4 d. 1,5 x 9 
 Giải 
 1 1 0,6
a. Ta có: 0,3x 0,6 0,3. x 0,6. xx 2 . 
 0,3 0,3 0,3
Vậy, nghiệm của bất phương tình là x 2 . 
 1 1
b. Ta có: 4xx 12 ( 4 ). 12. x 3. 
 4 4
Vậy, nghiệm của bất phương tình là x 3. 
c. Ta có: xx4 ( )( 1) 4.( 1) x 4 . 
Vậy, nghiệm của bất phương tình là x 4 
 1 1
d. . Ta có: 1,5xx 9 1,5 . ( 9). x 6 . 
 1,5 1,5
Vậy, nghiệm của bất phương tình là x 6. 
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số: 
a. 2 x 3 0 b. 3 x 4 0 
c. 4 3 x 0 d. 5 2 x 0 
 Giải 
a. Ta có biến đổi: 
 3
2x 3 0 2 xx 3 
 2
 3
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x và ta có biểu diễn. 
 2
b. Ta có biến đổi: 
 4
3x 4 0 3 x 4 x 
 3
 4
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x và ta có biểu diễn. 
 3
c. Ta có biến đổi: 
 4
4 3x 0 3 x 4 x 
 3
 4
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x và ta có biểu diễn. 
 3 Ví dụ 6. Kiểm tra xem giá trị x 2 có là nghiệm của bất phương trình sau không? 
axxxx. 22 3 3 4 4 5 2 xxx 2 3 3 4 4 6 
b. ( 0,001) x 0,003 
 Giải 
a. Ta có: 
xxxx 22 3 3 4 4 5 2 xxx 2 3 3 4 4 6 
 x 5 6 x 1 
Vậy x 2 là nghiệm của bất phương trình. 
b. Ta có: 
( 0,001)x 0,003 x 3 
Vậy x 2 không phải là nghiệm của bất phương trình. 
Ví dụ 7. Đố: Tìm sai lầm trong các lời giải sau: 
a. Giải bất phương trình 2x 23. 
Ta có: 2x 23 x 23 2 x 25 
 3
b. Giải bất phương trình x 12 
 7
 3 7 3 7
Ta có: x 12 . x 12. x 28 
 7 3 7 3
 Giải 
a. Phép tương đương: 2x 23 x 23 2 là sai 
Ta sửa lại như sau: 
 1 1 23
 2xx 23 2 . 23. x 
 2 2 2
 3 7 3 7
b. Phép tương đương x12 . x 12. là sai. 
 7 3 7 3
Ta sửa lại như sau: 
 3 7 3 7
 x 12 . x 12. x 28 
 7 3 7 3
Ví dụ 8. Tìm x sao cho: 
a. Giá trị của biểu thức 2x 5 không âm. 
b. Giá trị của biểu thức 3x không lớn hơn giá trị của biểu thức 7x 5 . 
 Giải 
a. Theo đề bài ta có: 
 5
2x 5 0 x . 
 2 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
Bài 1:Hãy xét xem các bất phương trình sau có là bất phương trình bậc nhất một ẩn hay không? 
 1 x2
a) 0x 8 0; b) x 6 0; c) x 0; d) 4 0. 
 3 5
 x 5 1 7x 2
e) 3x 3 0; f) 0; g) 2 0; h) 0. 
 4 2 x 3
Bài 2: Chứng minh các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của 
tham số m: 
a) (m2 3) x 1 0; b) mm2 4 x 2 m 3 
Bài 3: Giải các bất phương trình sau: 
 1 3x 5 x 2
a) 2x 8 0; b) 9 3x 0; c) 5 x 1; d) x 1 
 3 2 3
Bài 4: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. 
 x 2 x 17 2xx 1 4 3 xx 1 4
a) x 2 b) 
 3 2 3 4 6 12
Bài 5: Giải các bất phương trình 
a) xx2 3 1 2( x 1) xx (3 ) 
 2
b) (x 1)2 xx 2 ( 1) 2 x 2 
c) (x2 1)( x 6) ( x 2) 3 
Bài 6: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. 
 x 1 7 x 3 2 x 1 3 2 x
a) 
 2 15 3 5
 2x 1 2 x2 3x5 3 x 4 x 1
b) 
 3 4 6 5
 4x 2 1 5 x
c) x 3 
 3 4
 x 4 x 3 x 2
d) x 5 
 5 3 2
 5x2 3 3 x 1 x2 x 3
e) 5 
 5 4 2
 5x 2 2 x2 xx 1 3 x 5 x
f) 
 3 2 3 4
 2x 1 1
g) 2x 3 x 
 2 5
 5x x x
h) x 3 
 6 3 6 3x 5 xx 2 5
d) x1 x 5. 
 2 3 6 6
 x 2 x 17 2 x 2 6 x 6.2 3 x 17 
Bài 4: a) x 2 2x 4 6 x 12 3 x 51 
 3 2 6 6
 4x 16 3 x 51 4x 3 x 51 16 7x 35 x 5. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S xx| 5 và được biểu diễn trên trục số như sau: 
 2xx 1 4 3 xx 1 4 4 2x 1 3 x 4 2 3 xx 1 4 
b) 
 3 4 6 12 12 12
 8x 4 3 x 12 6 xx 2 4 5x 16 5 x 6 5x 5 x 6 16 0x 10 x  
Vậy bất phương trình vô nghiệm và được biểu diễn trên trục số như sau: 
Bài 5: a)x2 3 x 12(1)(3 x x x ) x 2 3 x 12 x 23 x x 2 
 3 3 
 2x 3 x . Tập nghiệm của BPT là S xx|  
 2 2 
 2
 2 2 2 2 2 1
b)(1)x x (1) x x 2 221265 x x x x 8x 4 x Tập 
 2
 1 
nghiệm của BPT là S xx|  
 2 
c) (x2 1)( x 6) ( x 2) 3 x 3 6 x 2 x 6 x 3 6 x 2 12 x 8 
 2
 11x 2 x 
 11
 2 
Tập nghiệm của BPT là S xx|  
 11 
Bài 6: 
 xx 1 7 3 2 x 1 3 2 x
a) 
 2 15 3 5
 15. x 1 2. 7 x 3 10. 2 x 1 6. 3 2 x 
 30 30 30 30
 15x 15 14 x 6 20 x 10 18 12 x