Chuyên đề Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12

CHUYÊN ĐỀ 6 - BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 
Các bất đẳng thức cơ bản 
 - Bất đẳng thức BECNULI 
 Nếu x −1 và 1 thì (11+xx) + 
 Nếu x −1 và 01 thì (11+xx) + 
 - Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 
 1 n n
 n
 Nếu a12, a ,..., an 0 thì  aaii  
 n i=1 i=1
 Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi: a12= a =... = an 
 - Bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARTZ 
 Với hai dãy số thực: a1, a 2 ,..., ann ; b 1 , b 2 ,..., b 
 n2 n n
 22 
 thì ai b i  a i  b i 
 i=1 i = 1 i = 1 
 Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi a11== kb,..., ann kb 
 - Bất đẳng thức sắp thứ tự 
 Cho hai dãy số tăng a12 a ... an và b12 b ... bn ( n 2 ) 
 Nếu 12, ,..., n là một hoán vị của dãy 1,2,...,n thì: 
 n n n
 a b a b a b 
 i n+−1 i  i i  i i
 i=1 i = 1 i = 1
 - Bất đẳng thức trung bình lũy thừa 
 Nếu xi 0  i = 1, n và pq 0 thì 
 11
 nnpp
 11qp 
 xxii 
 nnii==11 
 - Bất đẳng thức SHUR 
 Cho a, b , c 0, r 0 thì: 
 aabacr( −)( −) + bbabc r( −)( −) + ccacb r ( −)( −) 0 
 - Bất đẳng thức CHEBYCHEP 
 Trang 1 
 f( a12) + f( a) +... + f( an ) nf( b) . 
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
 Đối với hàm số y= f( x) trên D. Xét dấu đạo hàm y ' hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN, 
 GTNN. Nếu cần thì đặt ẩn phụ t= g( x) với điều kiện đầy đủ của t. 
 Nếu y= f( x) đồng biến trên đoạn ab;  thì: min f( x) = f( a) và max f( x) = f( b) . Ngược lại với 
 hàm nghịch biến. 
 Nếu y= f( x) liên tục trên đoạn ab;  và fx'0( ) = có nghiệm xi thì: 
 min f( x) = min f( a) ; f( x12) ; f( x) ;...; f( b)
 max f( x) = max f( a) ; f( x12) ; f( x) ;...; f( b)
 Nếu f lồi trên đoạn ab;  thì GTLN = max f( a); f( b) và nếu f lõm trên đoạn ab;  thì GTNN 
 = min f( a); f( b). 
 Đối với các đại lượng, chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn tại. Dựa vào giả thiết, các quan hệ cho để 
 xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 
2. CÁC BÀI TOÁN 
Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức: 
a) 2sinx+ tan x 3 x với mọi x 0; 
 2
 yxsin 5 
b) cos(xy+ ) với xy 0, 0 và xy+ 2 
 xysin 4
 Hướng dẫn giải 
a) Hàm số f( x) =2sin x + tan x − 3 x liên tục trên nửa khoảng 0; và: 
 2
 11
 f'( x) = 2cos x + − 3 = cos x + cos x + − 3 0 
 cos22xx cos
 Do đó hàm số f đồng biến trên 0; nên f( x) = f (00) 
 2
 sint 5 
b) Xét hàm số: ft( ) = với 0 t 
 t 4
 tcos t− sin t cost( t− tan t)
 Ta có ft'( ) == 
 tt22
 Trang 3 
 Suy ra F'( x) 0,  x 0; nên Fx( ) đồng biến 
 2
 Do đó F( x) F(0) = 0,  x 0; 
 2
 (21x + ) 
b) BĐT 2x sin .sin 1 − cos = 2sin 2 
 2x( x+ 1) 2 x( x + 1) x + 1 2( x + 1)
 (21x + ) 
 xsin .sin sin 2 
 2x( x+ 1) 2 x( x + 1) 2( x + 1)
 (21x + )
 Vì x 30 
 2( x++ 1) 2 x( x 1) 2
 sin ( 2x + 1) 
 sin 0 
 2x( x++ 1) 2( x 1)
 Ta sẽ chứng minh: xsin sin 
 2x( x++ 1) 2( x 1)
 Đặt tt= ,0 thì (2) x sin t sin xt 
 21xx( + )
 Xét ftxt( ) =sin − sin xtt , 0, ftx '( ) = cos tx − cos xtx =( cos t − cos xt) 
 Vì 0 t xt f '( t) 0 với t 0 
 2
 ft( ) đồng biến trên 0;+ ) f( t) f ( 0) = 0 đpcm. 
Bài toán 6.3: Chứng minh bất đẳng thức với n nguyên dương: 
a) nnxn+ y n +1 x n++11 + y n với n 2 và xy,0 . 
 x2 x 3 xin x 2
b) 1−x + − + ... +( − 1) + ... + 0 với mọi x. 
 2! 3!in !( 2) !
 Hướng dẫn giải 
a) Với x = 0 hoặc y = 0 , bất đẳng thức đúng. 
 nn+1
 xx 
 Với xy 0 , BĐT: nn11+ +1 + 
 yy 
 Trang 5 
 x32+ ax + bx + c = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 
 Hướng dẫn giải 
a) Không mất tính tổng quát, giả sử a b c d 0 
 Xem vế trái là hàm số f( a),0 a 
 f'( a) = 4 a3 + 2 bcd − 2 a( b 2 + c 2 + d 2 ) 
 f''( a) = 12 a2 − 2( b 2 + c 2 + d 2 ) 0 nên f ' đồng biến trên (0; + ): 
 a b f''( a) f( b) . Vì f'( b) = 2 b( b22 − c) + 2 bd( c − d ) 0 nên fa( ) đồng biến trên 0; + ) : 
 a 0 f( a) f (00) = : đpcm. 
b) Đặt fx( ) = x3 + ax 2 + bxcD +, = , fx '( ) = 3 x 2 + 2 axb + . 
 Vì fx( ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên fx'0( ) = có 2 nghiệm phân biệt: 
 −a − a22 −33 b − a + a − b
 xx==, với ab2 − 30 
 1233
 Và vì hệ số cao nhất của f dương nên yCÐ = f( x1 ) 0 và f( x2 ) = yCT 0. 
 1 1 1 2 ab
 Ta có f( x) = x + a f'3( x) +( b − a) x + c − 
 3 9 9 9
 2 2 ab
 f( xii) =(3 b − a) x + c − 
 99
 233
 Từ f( x1 ) 0 − 2( a − 3 b) 2 a + 27 c − 9 ab 
 323
 f( x2 ) 0 2 a + 27 c − 9 ab 2( a − 3 b) 
 3
 Do vậy: 2a32+ 27 c − 9 ab 2( a − 3 b) 
Bài toán 6.5: Chứng minh bất đẳng thức: 
 11x2
a) 1+x − 1 + x 1 + x , với x 0 . 
 2 8 2
 1 1 2
b) + với xy,  0;1. 
 11++xy221+ xy
 Hướng dẫn giải 
 Trang 7 
 2
 xy+
 Và có T (12 − z) +( x + y) z 
 2
 112
 =(1 −z) ( 1 − 2 z) +( 1 − z) z =( − 2 z32 + z + 1) 
 44
 1
 Xét f( z) = −2 z32 + z + 1,0 z thì 
 3
 1
 f'( z) = − 6 z2 + 2 z = 2 z( 1 − 3 z) 0 trên fz( ) đồng biến trên 0; , do đó: 
 3
 17
 T= f( z) f = . 
 3 27
 1 1 1 1 1 1 
b) Ta có: xyz x + + y + + z + +1 
 y z z x x y 
 =xy2 + xz 2 + yx 2 + zx 2 + zy 2 + yz 2 + xyz 
 =(x + y + z)( xy + yz + zx) −22 xyz = xy + yz + zx − xyz 
 1 1
 Vì x+ y + z =1  ít nhất 1 trong 3 số x,, y z . Giả sử z 
 3 3
 S( x, y , z) = xy + yz + zx − 2 xyz = xy( 1 − 2 z) +( x + y) z 
 22
 x+ y 1 − z − 2 z32 + z + 1
 (1 − 2z) +( x + y) z = ( 1 − 2 z) +( 1 − z) z = 
 2 2 4
 −21zz32 + + 1 −+3zz2 1
 Xét fz( ) = trong 0; thì fz'0( ) = trên 0; nên f đồng biến, do đó 
 4 3 2 3 
 17
 max f( z) == f 
 3 27
 7 1
 Vậy S( x,, y z) dấu đẳng thức xảy ra khi x= y = z = . 
 27 3
Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức: 
a) cosb− cos a b − a với a, b tùy ý. 
 1 1 1
b) arctan với mọi x 0 . 
 11++( x )2 x22+ x +11 + x
 Hướng dẫn giải 
a) Nếu ab= thì bất đẳng thức đúng. 
 Trang 9 
 abc++ 3
 VT =f( a) + f( b) + f( c) 3 f = . 
 32
 1 1 1 1 63
b) Ta có + + + a2 + b 2 + c 2 + d 2 + 
 a b c d 4
 1 1 1 1 63
 −a2 + − b 2 + − c 2 + − d 2 
 a b c d 4
 1
 Xét hàm số f( x) =− x2 với 01 x . 
 x
 −12
 Ta có f'( x) = − 2 x ; f ''( x) = − 2 
 xx23
 Vì fx''( ) 0 trên (0;1) nên f lõm, theo bất đẳng thức Jensen thì có 
 a+ b + c + d 63
 VT = f( a) + f( b) + f( c) + f( d) 4 f = 
 44
 1
 Dấu = xảy ra khi a= b = c = d = . 
 4
Bài toán 6.9: Chứng minh: 
 2 3
a) (aa b b c c ) ( a−(b + c) + b −( c + a) + c −( a + b) ) 27 với abc, , 0 
 ab+
 ba ab+
b) ab với ab,0 
 2
 Hướng dẫn giải 
a) Với abc, , 0, trước hết ta chứng minh rằng 
 2
 (aa b b c c) a b+ c.. b c + a c a + b 
 2aabbcc ln + ln + ln ( bcacababc +) ln +( +) ln +( + ) ln 
 lnaabc( 2 − −) + ln bbca( 2 − −) + ln ccab( 2 − −) 0 
 (ababbcbccaca −)(ln − ln) +( −)( ln − ln) +( −)( ln − ln) 0 : đúng 
 Ta cần chứng minh rằng 
 3
 ab+ c. b c + a . c a + b ( a−(b + c) + b −( c + a) + c −( a + b) ) 27 
 Đặt x= ab+ c, y = b c + a , z = c a + b , x , y , z 0 
 Trang 11