Chuyên đề Bất đẳng thức - Toán 9

Chuyờn ủ: BT ðNG TH C 
A.MC TIấU: 
1-Hc sinh n m v ng m t s  ph ươ ng phỏp ch ng minh b t ủng th c. 
2-Mt s  ph ươ ng phỏp và bài toỏn liờn quan ủn ph ươ ng trỡnh b c hai s dng cụng 
th c nghi m s  cho h c sinh h c sau. 
3-Rốn k  năng và pp ch ng minh b t ủng th c. 
B- NI DUNG 
 PHN 1 : CÁC KI N TH C CN LƯU í 
 1- ðnh ngh ĩa 
 2- Tớnh ch t 
 3-Mt s  hng b t ủng th c hay dựng 
 Phần 2 :một số ph−ơng phápchứng minh bấtđẳng thức 
 1Ph−ơng pháp dùng định nghĩa 
 2 Ph−ơng pháp dùng biến đổi t−ơng đ−ơng 
 3 Ph−ơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 
 4 Ph−ơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu 
 5 Ph−ơng pháp dùng tính chất tỉ số 
 6 Ph−ơng pháp lm trội 
 7 Ph−ơng pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 
 8 Ph−ơng pháp đổi biến số 
 9 Ph−ơng pháp dùng tam thức bậc hai 
 10 Ph−ơng pháp quy nạp 
 11 Ph−ơng pháp phản chứng 
 Phần 3 :các bi tập nâng cao 
 PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 
 1 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 
 2Dùng bất đẳng thức để giải ph−ơng trình v bất ph−ơng trình 
 3Dùng bất đẳng thức giải ph−ơng trình nghiệm nguyên 
 Phần I : các kiến thức cần l−u ý 
 1 
 a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx 
 b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz 
 2 2 2
 c) x + y + z +3 ≥ 2 (x + y + z) 
 Giải: 
 a) Ta xét hiệu 
 x 2 + y 2 + z 2  xy – yz  zx 
 1
 = .2 .( x 2 + y 2 + z 2  xy – yz – zx) 
 2
 1
 = [(x − y) 2 + (x −z) 2 + (y − z) 2 ]≥ 0 đúng với mọi x;y;z ∈ R 
 2
 Vì (xy) 2 ≥ 0 với ∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y 
 (xz) 2 ≥ 0 với ∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z 
 (yz) 2 ≥ 0 với ∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y 
 Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx 
 Dấu bằng xảy ra khi x = y =z 
 b)Ta xét hiệu 
 x 2 + y 2 + z 2  ( 2xy – 2xz +2yz ) 
 = x 2 + y 2 + z 2  2xy +2xz –2yz 
 =( x – y + z) 2 ≥ 0 đúng với mọi x;y;z ∈ R 
 Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z ∈ R 
 Dấu bằng xảy ra khi x+y=z 
 c) Ta xét hiệu 
 x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) 
 = x 2  2x + 1 + y 2 2y +1 + z 2 2z +1 
 = (x1) 2+ (y1) 2+(z1) 2 ≥ 0 
 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 
Ví dụ 2: chứng minh rằng : 
 2 2
 a 2 + b 2  a + b  a 2 + b 2 + c 2  a + b + c 
a) ≥   ;b) ≥   
 2  2  3  3 
c) Hy tổng quát bi toán 
 giải 
 2
 a 2 + b 2  a + b 
a) Ta xét hiệu −   
 2  2 
 2(a 2 + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2
 = − 
 4 4
 1
 = (2a 2 + 2b 2 − a 2 − b 2 − 2ab ) 
 4
 1
 = ()a − b 2 ≥ 0 
 4
 3 
 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t−ơng đ−ơng với bất đẳng thức đúng 
hoặc bất đẳng thức đ đ−ợc chứng minh l đúng. 
 Chú ý các hằng đẳng thức sau: 
 (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 
 (A + B + C)2 = A2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC 
 (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 
 Ví dụ 1 : 
 Cho a, b, c, d,e l các số thực chứng minh rằng 
 b 2
 a) a 2 + ≥ ab 
 4
 b) a 2 + b 2 +1 ≥ ab + a + b 
 c) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) 
 Giải: 
 b 2
 a) a 2 + ≥ ab 
 4
 ⇔ 4a 2 + b 2 ≥ 4ab ⇔ 4a 2 − 4a + b 2 ≥ 0 
 ⇔ (2a − b)2 ≥ 0 (bất đẳng thức ny luôn đúng) 
 b 2
 Vậy a 2 + ≥ ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) 
 4
 b) a 2 + b 2 +1 ≥ ab + a + b 
 ⇔ (2 a 2 + b 2 +1 ) > (2 ab + a + b) 
 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 + a 2 − 2a +1+ b 2 − 2b +1 ≥ 0 
 ⇔ (a − b) 2 + (a − )1 2 + (b − )1 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng. 
 Vậy a 2 + b 2 +1 ≥ ab + a + b 
 Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 
 c) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) 
 ⇔ 4( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ) ≥ 4a(b + c + d + e) 
 ⇔ (a 2 − 4ab + 4b 2 )+ (a 2 − 4ac + 4c 2 )+ (a 2 − 4ad + 4d 2 )+ (a 2 − 4ac + 4c 2 ) ≥ 0 
 ⇔ (a − 2b)2 + (a − 2c)2 + (a − 2d )2 + (a − 2c)2 ≥ 0 
 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh 
Ví dụ 2: 
 Chứng minh rằng: (a10 + b10 )(a 2 + b 2 ) ≥ (a8 + b8 )(a 4 + b 4 ) 
 Giải : 
(a10 + b10 )(a 2 + b 2 ) ≥ (a8 + b8 )(a 4 + b 4 ) ⇔ a12 + a10 b 2 + a 2b10 + b12 ≥ a12 + a8b 4 + a 4b8 + b12 
 ⇔ a8b 2 (a 2 − b 2 )+ a 2b8 (b 2 − a 2 )≥ 0 
⇔ a2b2(a 2b2)(a 6b6) ≥ 0 ⇔ a2b2(a 2b2)2(a 4+ a 2b2+b 4) ≥ 0 
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 
 Ví dụ 3 : cho x.y =1 v x.y 
 5 
  a ≤ b ≤ c aA + bB + cC a + b + c A + B + C
 Nếu  ⇒ ≥ . 
 A ≤ B ≤ C 3 3 3
  a ≤ b ≤ c aA + bB + cC a + b + c A + B + C
 Nếu  ⇒ ≤ . 
 A ≥ B ≥ C 3 3 3
  a = b = c
Dấu bằng xảy ra khi  
 A = B = C
b/ các ví dụ 
 ví dụ 1 Cho a, b ,c l các số không âm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc 
 Giải : 
 Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: (x + y)2 ≥ 4xy 
 Tacó (a + b)2 ≥ 4ab ; (b + c)2 ≥ 4bc ; (c + a)2 ≥ 4ac 
 ⇒ (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 ≥ 64 a 2b 2c 2 = (8abc )2 
 ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 
 1 1 1
ví dụ 2 (tự giải) : 1)Cho a,b,c>0 v a+b+c=1 CMR: + + ≥ 9 (4031001) 
 a b c
 2)Cho x,y,z>0 v x+y+z=1 CMR:x+2y+z ≥ 1(4 − x)( 1− y)( 1− z) 
 3)Cho a>0 , b>0, c>0 
 a b c 3
 CMR: + + ≥ 
 b + c c + a a + b 2
 1
 4)Cho x ≥ 0 ,y ≥ 0 thỏa mn 2 x − y = 1 ;CMR : x+y ≥ 
 5
ví dụ 3: Cho a>b>c>0 v a 2 + b 2 + c 2 = 1chứng minh rằng 
 a3 b 3 c 3 1
 + + ≥ 
 bc+ ac + ab + 2
 Giải : 
 2 2 2
  a ≥ b ≥ c
 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a ≥ b ≥ c ⇒ a b c 
  ≥ ≥
 b + c a + c a + b
áp dụng BĐT Trê b−sép ta có 
 a b c a 2 + b 2 + c 2  a b c  1 3 1
 a 2 . + b 2 . + c 2 . ≥ . + +  = . = 
 b + c a + c a + b 3  b + c a + c a + b  3 2 2
 a 3 b3 c 3 1 1
 Vậy + + ≥ Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 
 b + c a + c a + b 2 3
 ví dụ 4: 
 Cho a,b,c,d>0 v abcd =1 .Chứng minh rằng : 
 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + a(b + c)+ b(c + d )+ d(c + a) ≥ 10 
 Giải : 
 7 
 ⇔ ab> ad+bc (điều phải chứng minh) 
ví dụ 2: 
 5
 Cho a,b,c>0 thỏa mn a 2 + b2 + c2 = 
 3
 1 1 1 1
 Chứng minh + + < 
 a b c abc
 Giải: 
Ta có :( a+b c) 2= a 2+b 2+c 2+2( ab –ac – bc) 〉 0 
 1
 ⇒ ac+bcab 〈 ( a 2+b 2+c 2) 
 2
 5 1 1 1 1
 ⇒ ac+bcab ≤ 〈 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có + − 〈 
 6 a b c abc
ví dụ 3 
 Cho 0 1abcd 
 Giải : 
 Ta có (1a).(1b) = 1ab+ab 
 Do a>0 , b>0 nên ab>0 
 ⇒ (1a).(1b) > 1ab (1) 
 Do c 0 ta có 
 ⇒ (1a).(1b) ( 1c) > 1abc 
 ⇒ (1a).(1b) ( 1c).(1d) > (1abc) (1d) 
 =1abcd+ad+bd+cd 
 ⇒ (1a).(1b) ( 1c).(1d) > 1abcd 
 (Điều phải chứng minh) 
ví dụ 4 
 1 Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng 
 2a 3 + 2b3 + 2c 3 < 3 + a 2b + b 2c + c 2 a 
 Giải : 
 Do a < 1 ⇒ a 2 < 1 v 
 Ta có (1− a 2 )(1. − b) 0 
 ⇒ 1+ a2 b2 > a2 + b 
 m 0 a 3 , b2 > b3 
Từ (1) v (2) ⇒ 1+ a2 b2 > a 3 +b3 
 Vậy a 3 +b3 < 1+ a2 b2 
 T−ơng tự b3 + c3 ≤ 1+ b 2 c 
 c 3 + a 3 ≤ 1+ c 2 a 
 Cộng các bất đẳng thức ta có : 
 2a 3 + 2b3 + 2c 3 ≤ 3 + a 2b + b 2c + c 2 a 
 b)Chứng minh rằng : Nếu a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1998 thì ac+bd =1998 
 (Chuyên Anh –98 – 99) 
 Giải: 
Ta có (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 + 2abcd + a 2 d 2 + b 2c 2  2abcd = 
= a 2(c 2+d 2)+b 2(c 2+d 2) =(c 2+d 2).( a 2+ b 2) = 1998 2 
 9