Chuyên đề Bất đẳng thức - Đại số 10

ĐẠI SỐ 10. CHƯƠNG IV. 
BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC 
 I KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 Tác giả: Nguyễn Hà Công Lý ; Fb: Nguyễn Hà Công Lý 
1. ĐỊNH NGHĨA 
Các mệnh đề dạng ''ab '' hoặc ''ab '' được gọi là bất đẳng thức. 
2. BẤT ĐẲNG THỨC HỆ QUẢ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TƯƠNG ĐƯƠNG 
Nếu mệnh đề ''a b c d '' đúng thì ta nói bất đẳng thức cd là bất đẳng thức hệ quả của bất 
đẳng thức ab và cũng viết là a b c d . 
Nếu bất đẳng thức ab là hệ quả của bất đẳng thức cd và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng 
thức tương đương với nhau và viết là a b c d . 
3. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức ab ta chỉ cần chứng minh ab 0. Tổng quát hơn, khi 
so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất 
của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau: 
 Tính chất 
 Tên gọi 
 Điều kiện Nội dung 
 Cộng hai vế của bất đẳng thức 
 a b a c b c 
 với một số 
 c 0 a b ac bc Nhân hai vế của bất đẳng thức 
 c 0 a b ac bc với một số 
 ab và cd Cộng hai bất đẳng thức cùng 
 a c b d chiều 
 ac 0, 0 ab và cd ac bd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều 
 n a b a2nn 1 b 2 1 
 Nâng hai vế của bất đẳng thức 
 n và 
 a b a22nn b lên một lũy thừa 
 a 0 
 a 0 a b a b Khai căn hai vế của một bất 
 a b 33 a b đẳng thức 
 Lưu ý 
Ta còn gặp các mệnh đề dạng ab hoặc ab . Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng 
thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng 
ab hoặc ab là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất 
đẳng thức không ngặt. 
4. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG 
THỨC CÔ - SI) 
4.1. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 
ĐỊNH LÍ 
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng 
1 
 22 2 2
aa12 an a12 a ... an 
 ... 
 b1 b 2 bnn b 1 b 2 ... b
 aa a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 12 ... n . 
 b12 b bn
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP 
 = 
Dạng 1. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH 
NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 
 Tác giả: Phan Thanh Thúy ; Fb: Thúy Phan 
a. Phương pháp 
Để chứng minh AB bằng định nghĩa, ta lựa chọn theo các phương pháp sau: 
Phương pháp 1: Chứng minh AB 0 . 
Phương pháp 2: Thực hiện các phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu về một bất 
đẳng thức đúng. 
Phương pháp 3: Xuất phát từ một đẳng thức đúng. 
Phương pháp 4: Biến đổi vế trái hoặc vế phải thành vế còn lại. 
Chú ý: Với các phương pháp 1 và phương pháp 2 công việc thường là biến đổi AB thành tổng 
các đại lượng không âm. Với bất đẳng thức AB 0 chúng ta cần chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào ? 
b. Một số ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Chứng minh rằng với mọi số thực . 
 Lời giải 
 2
xx2 21 xx2 22 xx2 2 2 0 x 1 1 0 . 
Hiển nhiên x 1 2 1 0 với mọi x nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. 
 Ví dụ 2 
 Cho là các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng . 
 Lời giải 
Ta có a3 b 3 ab 2 a 2 b a a2 b 2 b a 2 b 2 a b a22 b a b a b 2 
 2
Do ab nên a b a b 0 . 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab . 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
3 
 bd
Tương tự 1. Từ đó suy ra 
 b c d d a b
 a b c d
 2 2 
abcbcdcdadab 
Từ 1 và 2 suy ra điều phải chứng minh. 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
 Ví dụ 5 
 Chứng minh rằng , với mọi số thực 
 không âm. 
 Lời giải 
 1 1 223 2
Ta có x22 xy y 4x22 4 xy 4 y 3 x y x y xy . 
 4 4 4
 3
 x22 xy y x y 1 
 2
 3
Tương tự y22 yz z y z 2 
 2
 3
 z22 zx x z x 3 
 2
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức , và ta được 
 xxyy2 2 yyzz 2 2 zzxx 2 2 3 xyz . 
 223 2
 x xy y x y 2
 4 xy 0
 223 2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y yz z y z yz 0 x y z . 
 4 
 zx 2 0
 223 2 
 z zx x z x 
 4
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Dạng 2. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT 
ĐẲNG THỨC CAUCHY 
 Tác giả:Trần Đức Mạnh ; Fb: Tran Manh 
 Tác giả: Bạch Thị Phương Thảo; Fb: Thaobach 
a. Phương pháp 
1. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY CHO 2 SỐ : 
* Cho ab 0, 0 . Ta có 
5 
* Cho a12, a , ..., an là các số thực không âm. Ta có: 
 n
 a1 a 2 ... ann n a 1 a 2 ... a . 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a12 a ... an . 
* Chứng minh bằng phương pháp quy nạp 
Cơ sở quy nạp với n 1,2 được kiểm tra dễ dàng. 
Giả sử BĐT đã đúng với n số không âm nn 2,  . Khi đó, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức 
cũng đúng với n 1 số không âm. Xét n 1 số không âm a1, a 2 ,..., an 1 
 n 1
Đặt a1 a 2... an 1 A . Nếu tất cả các số bằng nhau thì BĐT đúng. Trong trường hợp ngược lại, phải 
tồn tại 2 số aaij, sao cho aij A a . Không mất tính tổng quát, có thể giả sử ann A a 1 . 
 aann 1
Khi đó ta có a A a A 0 , suy ra ann a 1 A . Từ đó ta có: 
 nn 1 A
 aann 1
 a1 a 2 ... an a n 1 a 1 ... a n 1 A 1 
 A
 aa
Bây giờ áp dụng BĐT Cauchy cho n số aa, ..., , nn 1 ta được: 
 11n A
 aa
 a a ... a a nn a a ... ann 1 nA 
 1 2n 1 n 1 2 n 1 A
Kết hợp với 1 ta được đpcm. 
b. Một số ví dụ 
 Ví dụ 6 
 Chứng minh rằng: , . 
 Lời giải 
 2
 a2 8 a 44 4
Ta có: a2 4 1 
 a2 4 a2 4 a2 4
 4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: a2 4 và 
 a2 4
 4 4
 a2 4 2a2 4. 4 2 
 a2 4 a2 4
7 
 16x4 1
Vậy 8 , xy, thỏa mãn 20xy . 
 (2x y ) y
 Ví dụ 9 
 Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng: . 
 Lời giải 
Ở bài toán này chúng ta sẽ sử dụng cách nhóm đối xứng để hạ bậc BĐT Cauchy. 
Cụ thể ta có: 
 a4 b 4 b 4 c 4 c 4 a 4
 a4 b 4 c 4 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 
 2 2 2
Áp dụng tương tự ta cũng sẽ có: 
 ab22 bc 22 bc 22 ca 22 ca 22 ab 22
 a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 abc a b c 
 2 2 2
Như vậy ta suy ra được đpcm. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi abc . 
 Ví dụ 10 
 Với thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng: 
 . 
 Lời giải 
 a b c b
Ta có: 12 . 
 b c a a
 bc
 12 
 cb
Tương tự: . 
 ca
 12 
 ac
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có đpcm. 
Bình luận: Lời giải trên là sự kết nối giữa giả thiết và đpcm. Để ý quan sát ta thấy nếu như cứ 
nhân 2 số hạng ở biểu thức điều kiện rồi lấy căn thì ta được một số hạng ở biểu thức cần chứng 
minh. Chính điều này là xuất phát điểm của lời giải như trên. 
 Ví dụ 11 
 Chứng minh rằng: , . 
 Lời giải 
9