Chuyên đề Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 9

 Chủ đề 8 - BẤT ĐẲNG THỨC
 Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI)
Cho các số thực không âm a,b,c khi đó ta có:
 1. a b 2 ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
 2. a b c 33 abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
Các bất đẳng thức 1, 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số thực 
không âm. (Còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM)
Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy . Ta cần nắm chắc những kết quả 
sau:
 2
 1 1 4 2 2 x2 y2 x y 
1) ; 
 a b a b a2 b2 a b a b
 1 1 1 9 3 3
2) 
 a b c a b c a2 b2 c2
 3 1 3
3) a2 ab b2 (a b)2 (a b)2 (a b)2
 4 4 4
 1 3 1
4) a2 ab b2 (a b)2 (a b)2 (a b)2
 4 4 4
 a b c 2
5) ab bc ca a2 b2 c2
 3
 2
 x2 y2 z2 x y z 
6) 
 a b c a b c
 a b 3
7) a3 b3 
 4 1 1 2
 Tổng quát: với a,b 1 ta có n n n
 (1 a) (1 b) 1 ab 
 1 1 2
12) Với 0 a,b 1 thì 
 a 1 b 1 1 ab
 1 1 2
 Tổng quát: Với a,b 0;1 ta có: 
   n n
 1 a 1 b n 1 ab
13) Một số kết quả được suy ra từ bất đẳng thức Cô si.
+ a3 b3 x3 y3 m3 n3 axm byn 3 (*)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 
 a3 x3 m3 3axm
 3 3 3 3 3 3 
 a b x y m n 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 
 b3 y3 n3 3byn
 3 3 3 3 3 3 
 a b x y m n 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra: 
 3axm 3byn
3 
 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 
 a3 b3 x3 y3 m3 n3 axm byn 3 . 
+ Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được: 
 a3 b3 c3 x3 y3 z3 m3 n3 p3 axm byn czp 3 .
Ví dụ 1: Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng:
 a) a3 b3 ab a b . a b c ab bc ca 9abc . Suy ra 
 a b b c c a a b c ab bc ca abc 8abc .
Chú ý: a b b c c a a b c ab bc ca abc là một biến đổi 
được sử dụng rất nhiều trong chứng minh bất đẳng thức:
 8
 d) a b b c c a a b c ab bc ca .
 9
Chú ý rằng: a b b c c a a b c ab bc ca abc . Áp dụng 
câu c ta có đpcm.
 e) Ta chú ý: a b b c c a a b c ab bc ca abc . Suy 
 1 abc
 ra ab bc ca .
 a b c
 Theo bất đẳng thức Cô si ta có: 
 3
 a b b c c a 33 a b b c c a 3 a b c .Mặt 
 2
 1
 khác sử dụng: a b b c c a 8abc abc . Từ đó suy ra: 
 8
 1
 1 
 1 abc 3
 ab bc ca 8 . Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi 
 a b c 3 4
 2
 1
 a b c .
 2
Ví dụ 2: 
 a) Cho các số thực dương a,b,c sao cho a b c ab bc ca 6. 
 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 6 . Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP 
 Hà Nội 2013. 1 1 4 1 1 1
2 . Suy ra Q . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ 
 a b a b a b 2 2
khi a b 1.
 c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: 
 2 2
 2 a b 2ab a b 2ab
2 a b 2ab 6 9 10 . Hay 
 ab a2b2
 4 2ab 4 2ab
8 4ab 6 9 10 0 2a2b2 4a3b3 24ab 12a2b2 36 18ab 0
 ab a2b2
 2a2b2 4a3b3 24ab 12a2b2 36 18ab 0 4t3 10t 2 42t 36 0
 a b 2
 (*) với 0 t ab 1. Ta có (*) tương đương với: 
 4
2t3 5t 2 21t 18 0 t 1 2t 2 3t 18 0 . Do 2t 2 3t 18 0 và 
t 1 0 nên t 1 2t 2 3t 18 0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
t 1 a b 1.
 d) 2a bc a a b c bc . Áp dụng bất đẳng thức Cô si 
 a b a c
 a b a c , tương tự ta có: 
 2
 b a b c
 2b ac b a b c ac b a b c , 
 2
 c a c b
 2c ab . Từ đó suy ra 
 2
 2a b c 2b c a 2c a b
P 2a bc 2b ac 2c ab 2(a b c) 4
 2 2 2
 2
.Dấu bằng xảy ra khi a b c .
 3
 ab
Ta viết lại P . Đặt a b 2 t t 2 
 a b 2
 a2 b2 2ab t 2 2 2ab t 2 2t 2 a b 2 t 2 2 .Ta có : 
2 a2 b2 a b 2 a b 2 8 a b 2 2 2 t 2 2 2 . Ta sẽ 2 2 2 2 4
 x y 2 2 2xy x y x y 
xy 1, 2xy x y 4 . Từ đó 
 4 2 4
suy ra x2 y2 x2 y2 2 . Dấu bằng xảy ra khi x y 1.
Ngoài cách làm trên ta có thể giải bài toán bằng cách đưa về một biến: 
t x y hoặc t xy với chú ý: x y 2 4xy , 2 x2 y2 x y 2 . Thật 
vậy: Đặt t xy; x y 2 x2 y2 2xy . 
 x y 2
 4 x2 y2 2t x2 y2 4 2t . Do xy 1 0 t 1. Ta 
 4
cần chứng minh: t 2 4 2t 2 t3 2t 2 1 0 t 1 t 2 t 1 0 . 
Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị 0 t 1.
Ví dụ 2: 
 a) Cho a,b là các số không âm thỏa mãn a2 b2 2 . Chứng minh 
 rằng:
a 3a a 2b b 3b b 2a 6 . (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại 
Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009).
 b) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1, tìm giá trị lớn nhất 
 x y z
của biểu thức:Q . (Đề thi tuyển 
 x x yz y y zx z z xy
sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014)
Lời giải:
 a) Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b 1. Khi đó 
3a a 2b,3b b 2a nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực 
tiếp cho biểu thức trong dấu căn. c a c c b c
P . . 1. Sử dung bất đẳng thức Cauchy dạng: 
 b a a b
 c a c c b c c c c c
 1 1 
 x y
 xy , ta có: P b a a b b a a b 1. Bài 
 2 2 2 2
toán được giải quyết hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 c a c
 b a 1 1 1
 . Ngoài ra ta cũng có thể chứng minh bài toán bằng 
 c b c a b c
 a b
biến đổi tương đương.
Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 x2 y2 z2
 1.
x2 2yz y2 2zx z2 2xy
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng: 2ab a2 b2 , dễ thấy:
 x2 y2 z2 x2 y2 z2
P 1
 x2 2yz y2 2zx z2 2xy x2 y2 z2 y2 z2 x2 z2 x2 y2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z .
 1
Ví dụ 5: Cho x, y 0 và x y 1. Chứng minh rằng 8 x4 y4 5 .
 xy
Giải:
 1
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x y . Ta đánh giá x4 y4 để đưa về xy . 
 2
Theo bất đẳng thức Cô si ta có: x4 y4 2x2 y2 suy ra 8 x4 y4 16x2 y2 . Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế, ta được: 
 2 2 2 1 1 1
2 a b b c c a 2 2 2 9 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và hcir 
 ab bc ca
khi a b c 1.
 x3 y3 x2 y2 
Ví dụ 7) Cho x, y 1. Chứng minh rằng: 8 .
 x 1 y 1 
Giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
 x2 y2 x2 y2 2xy
P 2 . (1). Mặt khác, lại để ý 
 y 1 x 1 y 1 x 1 x 1 y 1 
 a b
rằng nếu sử dụng bất đẳng thức Cauchy bộ hai số dạng ab , thì:
 2
 2 x 1 x 1 y 1 y
 x 1 1. x 1 ; y 1 1. y 1 . Nhân 
 2 2 2 2
hai bất đẳng thức trên lại theo vế, ta thu được:
 xy 2xy
 x 1 y 1 8 (2). Từ (1) và (2) suy ra điều 
 4 x 1 y 1 
phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 x2 y2
 y 1 x 1 x y 2 .
 x 2, y 2
Đối với các bài toán mà dấu bằng không xảy ra khi các biến bằng nhau. 
Ta cần chú ý tính đối xứng của từng bộ phận , để dự đoán sau đó liên 
kết các dữ liệu của bài toán để tìm ra điểm rơi. Từ đó áp dụng bất đẳng 
thức Cauchy để thu được kết quả:
Ta xét các ví dụ sau: