Chuyên đề Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 BẤT ĐẲNG THỨC
I. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a b ( a b;a b;a b ) là một bất đẳng thức
 A B A B 0
Ta có 
 A B A B 0
2. Các tính chất
 a b
a. Tính chất bắc cầu: a c
 b c
b. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a b a c b c
Hệ quả 1: a b a c b c
c. Cộng, trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức cùng chiều với bất 
đẳng thức đã cho
 a b
  a c b d (lưu ý: không có tính chất trừ vế với vế )
 c d 
d. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số
 a b a b
 a b
 a b;c 0 a.c b.c (c 0)
Ta có: Hệ quả: c c 
 a b;c 0 a.c b.c a b 
 a b
 (c 0)
 c c
 a b
e. Trừ từng vế của bất đẳng thức ngược chiều: a c b d
 c d
f. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: a b 0;c d ac bd
g. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: 
- a b 0 an bn
- a b an bn (n: lẻ)
- a b an bn (n: chẵn)
h. Lấy căn
 a b 0,n N * n a n b
Hệ quả: a,b 0 , có: a b a2 b2 ;a,b 0 a b a2 b2
 1 (1) a2b2 b2c 2 c2a2 a2bc ab2c abc2 0 2(...) 0 (ab bc)2 (bc ca)2 (ca ba)2 0 
(luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra ab bc;bc ca;ca ab a b c
 Bài 3:
Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e ,a,b,c,d,e R
 Lời giải
 a2 a2 a2 a2
Ta có: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e) ab b 2 ac c2 ad d 2 ae e2 0
 4 4 4 4
 2 2
 a a 
 b ... e 0 (luôn đúng)
 2 2 
 Bài 4:
 a b c b a c
Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 a b c . Chứng minh rằng: 
 b c a a c b
 Lời giải
Xét hiệu: 
a b c b a c 1 1
 a2c ab2 bc2 b2c ba2 ac2 a2c b2c b2a ab2 c2b ac2 
b c a a c b abc abc 
 1 1
 c(a b)(a b) ab(a b) c2 (a b) (a b)(b c)(c a) 0(do : 0 a b c) (đpcm)
 abc abc
 Bài 5:
 a b c 1 1 1
Chứng minh rằng: 2( ) với a,b,c 0
 bc ac ab a b c
 Lời giải
 a b c bc ac ab 2 2 2
Xét hiệu 2 0 a b c 2bc 2ca 2ab 0
 bc ac ab abc abc abc 
 a b c 2 0 (đpcm)
 Bài 6:
Chứng minh rằng nếu a b 2 thì a3 b3 a 4 b4 
 Lời giải
 3 Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương
Cách giải: Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc 
BĐT đã được chứng minh là đúng
- Nếu A B C D , với C D luôn đúng
- Sử dụng dạng tổng bình phương: A B mX 2 nY 2 kZ 2 0, với các số m,n,k không âm
- Dạng tích hai thừa số cùng dấu: A B X.Y 0 hoặc A B X 2n .Y 0
 Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng:
 b2
a) a 2 ab b) a2 b2 1 ab a b
 4
 2 2 2 2
 2 2 2 a b c a b c 
c) a 4b 4c 4ab 4ac 8bc d) 
 3 3 
 Lời giải
 2 2
 b b 2
a) Ta có: a 2 ab a 2 ab 0 4a2 b2 4ab 2a b 0 (đpcm)
 4 4
b) Ta có: 
 a2 b2 1 ab a b 2 a2 b2 1 2 ab a b a b 2 a 1 2 b 1 2 0 (đpcm)
c) Ta có: (a2 4ab 4b2 ) 4c2 (4ac bc) 0 (a 2b)2 2(a 2b).2c (2c)2 0 (a 2b 2c)2 0
(đpcm)
 2 2 2 2
 a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2
d) Ta có: 3(a b c ) (a b c) a b c 2ab 2bc 2ca
 3 3 
 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 (đpcm)
 1 1 1
 Bài 2: Cho ba số a,b,c R thỏa mãn abc 1 và a b c 
 a b c
a) Chứng minh rằng: (a 1)(b 1)(c 1) 0
b) Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1
 Lời giải
a. Ta có (a 1)(b 1)(c 1) 0 abc ab bc ca a b c 0
 abc (a b c) (ab bc ca) 0 1 (a b c) (ab bc ca) 0(1)
 5 (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 0 (đpcm)
 Bài 6: Tuyển sinh vào 10 Thanh Hóa, năm học 2007 - 2008
 a 5(a2 1) 11
Chứng minh rằng: 
 a2 1 2a 2
 Lời giải
Ta có: 
 a 5(a2 1) 11 a 1 5(a2 1) (a 1)2 5a2 a 5
 5 0 . 0
a2 1 2a 2 a2 1 2 2a 2(a2 1) a(a2 1)
 (a 1)2 (a 1)2 9(a2 1)
 . (nhân với 2), dấu “=” xả ra a 1
 2 2a(a2 1)
 Bài 7: Tuyển sinh vào 10 Thanh Hóa, năm học 2007 - 2008
 x2 y2 x y 
Chứng minh rằng với mọi số thực x, y 0 ta có: 2 2 4 3 1 
 y x y x 
 Lời giải
Ta có: 
 2
 x2 y2 x y x y x y x y x y x y 
(1) 2 2 4 3 0 2 2 0 2 1 0
 y x y x y x y x y x y x y x 
 (x y)2 (x2 xy y2 ) 2(x y)2 (x2 xy y2 ) (x y)2 (2x2 2xy 2y2 )
 0 0 0
 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 (x y)2 (x2 y2 (x y)2 )
 0 (luôn đúng)
 x2 y2
Dấu “=” xảy ra x y 0 .
 Bài 8: Chuyên An Giang, năm học 2010 - 2011
Cho a 4,b 4 . Chứng minh rằng: a2 b 2 ab 6(a b)
 Lời giải
Do a 4,b 4 a 4 0;b 4 0
Đặt x a 4(x 0); y b 4(y 0) (1) (x 4)2 (y 4)2 (x 4)(y 4) 6(x y 8)
 x 2 y2 xy 6(x y) 0(x, y 0)
Dấu “=” xảy ra x y 0 a b 4 .
 7 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau với a,b là số thực bất kỳ
 2
a) a2 b2 2ab b) 2 a2 b2 a b 
 2
c) a b 4ab d) a2 b2 c2 ab bc ca
 2 2
e) 3 a2 b2 c2 a b c f) a b c 3 ab bc ca 
 a2 b2 c2
g) a2 b2 c2 3 2 a b c h) a b c với a,b,c 0
 b c a
 Lời giải
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 a2 b2 2ab * a2 2ab b2 0 a b 2 0 (luôn đúng)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b
b) Cộng hai vế của (*) với a2 b2 ta thu được 2 a2 b2 a b 2
 2
c) Cộng hai vế của (*) với 2ab ta thu được a b 4ab
d) Từ a2 b2 2ab , tương tự ta cũng có: b2 c2 2bc;c2 a2 2ac
Cộng ba vế của bất đẳng thức cùng chiều ta có: 
 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca ** 
Cách khác: 
 a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a b 2 b c 2 c a 2 0
Bất đẳng thức luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c
e) Nhân cả hai vế của (**) với 2 rồi cộng 2 vế với a2 b2 c2 ta thu được bất đẳng thức cần 
chứng minh
f) Cộng 2 vế (**) với 2 ab bc ca ta thu được điều phải chứng minh
g) Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: 
 a2 2a 1 b 2 2b 1 c2 2c 1 0 a 1 2 b 1 2 c 1 2 0 (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
h) Với mọi số thực dương a,b,c và số thực k thỏa mãn 0 k 1, ta có:
 9 2 2
 a b 4 a2 ab b2 a b 0 a b 3 a b 0 (luôn đúng)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b
c) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
 a2 b2 x2 y2 ax by 2 a2 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 a2 x2 2abxy b2 y2 0
Hay a2 y2 2abxy b2 x2 0 ax by 2 0 (luôn đúng)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay bx
d) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 a2 b2 2 2
 a2 b2 2 1 ab 2 a2 1 b2 1 a2 b2 a3b ab3 2ab 2 
 a2 1 b2 1 1 ab
 2a2b2 2a2 2b2 2 a3b 2a2b2 ab3 a2 2ab b2 0 a3b 2a2b2 ab3 a b 2 0
 2 2 2
 ab a b a b 0 ab 1 a b 0 (luôn đúng với mọi ab 1)
 2
 2 a a ab 1 a b 
f) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có: a 1 ab. 1.1 ab 1 1 
 b b b
 1 b
 a 1 2 a b ab 1 
 1 a
Tương tự ta cũng có: . Cộng hai vế bất đẳng thức cùng chiều ta có: 
 b 1 2 a b ab 1 
 1 1 b a 1
 a 1 2 b 1 2 a b ab 1 a b ab 1 ab 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1
g) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 2 2 2
 bx ay x y 2
 a b bx2 ay2 ab x y abx2 aby2 b2 x2 a2 y2 abx2 aby2 2abxy
 ab a b
 b2 x2 2abxy a2 y2 0 bx ay 2 (luôn đúng)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay bx
h) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 a2 b2 c2 x2 y2 z2 ax by cz 2 0 a2 x2 y2 z2 b2 x2 y2 z2 c2 x2 y2 z2 
 11