Chuyên đề Bất đẳng thức - Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 
 DẠNG 1: TỔNG LŨY THỪA 
Phương pháp: 
 So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn 
chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại 
 1 1 1 1
Bài 1: Chứng minh rằng: A = + + +... + 1
 22 3 2 4 2 1002
HD: 
 Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau: 
 1 1 1 1 1
 A = + + +... + +
 2.2 3.3 4.4 99.99 100.100
 Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn. 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A + + +... + + =−+−+−++ ... − + − 
 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 
 11
 A − 1
 1 100
 1 1 1 1 1 1
Bài 2: Chứng minh rằng: + + +... + 
 6 52 6 2 7 2 1002 4
HD: 
 Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh: 
 1 1 1 1 1 1
 A = + + +... + + và Chứng minh A 
 52 6 2 7 2 992 100 2 6
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có: A =++++... + ++++... +
 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101
 1 1 96 96 1
 A − = đến đây, ta sẽ so sánh với như sau: 
 5 101 505 505 6
 96 96 1 1
 Ta có: =bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số với 96 để được hai phân số 
 505 576 6 6
 96 96 1
 cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: A = (1) 
 505 567 6
 1 1 1 1 1 1
 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A = + + +... + + 
 52 6 2 7 2 992 100 2 4
 Ta làm tương tự như sau : 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A =++++... + ++++... +
 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100
 1 1 1
 => A − (2) 
 4 100 4
 11
 Từ (1) và (2) ta có : A
 64
 1 1 1 1 3
Bài 3: Chứng minh rằng: + + +... + 
 22 3 2 4 2 1002 4
HD : 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta biến đổi: A =++++... + +++++...
 4 3.3 4.4 99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5 99.100
 1 1 1 3 1 3
 A + − = − 
 4 2 100 4 100 4
GV: Ngô Thế Hoàng_ THCS Hợp Đức 1 
 1 1 1
 Ta có : A 1 + + + ... + 2 mặt khác ta thấy A>1 vậy ta có : 1<A<2 
 1.2 2.3(nn− 1)
 1 1 1 1 2004
Bài 11: Chứng minh rằng: A = + + +... + 
 22 3 2 4 2 2005 2 2005
HD : 
 1 1 1 1 1 2004
 A + + +... + = 1 − = 
 1.2 2.3 3.4 2004.2005 2005 2005
 1 1 1 1 100
Bài 12: Chứng minh rằng: A = + + +... + 
 12 2 2 3 2 100 2 101
HD : 
 100
 A 1 
 101
 1 1 2 3 2016 1
Bài 13: Chứng minh rằng: + + +... + 
 4 5 52 5 3 5 2016 3
HD : 
 1 1 1 2016
 , Đặt tổng trong ngoặc bằng B rồi tính B ta có : 
 4A = 1 + +2 + ... + 2005 − 2016
 5 5 5 5
 1 1 1
 41BB= − = = − , thay vào A ta được : 
 52015 4 4.5 2015
 1 1 2016 5 5 5 1
 41AA= + − − = = (1) 
 4 52015 5 2016 4 16 15 3
 12 201612 7 71
 Mặt khác : A = + +... + + = = (2) 
 552 5 2016 52525284
 Từ (1) và (2) ta được ĐPCM 
 1 2 3 4 99 100 3
Bài 14: Chứng minh rằng: A = − + − +... + − 
 3 32 3 3 3 4 3 99 3 100 16
HD : 
 1 1 1 1 100
 Tính tổng A , ta được : 4A = (1 − + − + .... − ) − , Đặt tổng trong ngoặc bằng B 
 3 32 3 3 3 99 3 100
 3 1 3 1 100 3 3
 BAA=− = 4 =− − = 
 4 4.399 4 3 99 .4 3 100 4 16
 3 5 7 19
Bài 15: Chứng minh rằng: A = + + +... + 1 
 12 .2 2 2 2 .3 2 3 2 .4 2 9 2 .10 2
HD : 
 21322− 2 2 − 2 109 2 − 2 11 11 11 
 Ta có : A =2222 + ++... 2222 =−+−++− 22 ... 22 
 1.2 2.3 9.10 12 23 910 
 1
 A =11 − 
 102
 3 5 7 4019
Bài 16: CMR : + + +... + 1 
 12 .2 2 2 2 .3 2 3 2 .4 2 2009 2 .2010 2
HD : 
 22− 1 2 3 2 − 2 2 4 2 − 3 2 2010 2 − 2009 2
 Ta có : A = + + +... + 
 12 .2 2 2 2 .3 2 3 2 .4 2 2009 2 .2010 2
 1 1 1 1 1 1 1
 A = − + − +... + − = 1 − 1 
 12 2 2 2 2 3 2 2009 2 2010 2 2010 2
 1 1 1 1 1 1 1
Bài 17: Chứng minh rằng: S = − + − +... + − 
 22 2 4 2 6 2 8 2 2002 2 2004 5
HD : 
 1 1 1 1 1 1 1 SS5 1 1 1 1
 S = − + − +... + − => SS+ = = − = 
 22 2 4 2 6 2 8 2 10 2 2004 2 2006 4 4 22 2 2006 4 5
GV: Ngô Thế Hoàng_ THCS Hợp Đức 3 
 1 1 1 75
Bài 25: Cho A = + +... + , CMR: A 
 1.2 3.4 99.100 12 6
HD: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 CMR: A = + +... + => A = + +... + + + + ... + 
 51 52 100 51 52 75 76 77 100 
 1 1 1 1 7 1 1 1 1 5
 TH1: A .25 + .25 = + = TH2: A .25 + .25 = + = 
 75 100 3 4 12 50 75 2 3 6
 1 1 1
Bài 26: Cho A = + +... + , CMR: A < 2 
 12 2 2 50 2
HD: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có: A =++++... +++++ 1 ... =− 2 2 
 1 2.2 3.3 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50
Bài 27: CMR: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 3
a, − + − + − b, − + − +... + − 
 2 4 8 16 32 64 3 3 32 3 3 3 4 3 99 3 100 16
HD: 
 111111 11111
 a, Ta có: AA=−+− + − = 21 =−+−+ − 
 2 4 8 16 32 64 2 4 8 16 32
 11
 Nên 2AAAA+ = 3 = 1 − 1 = 
 64 3
 1 1 1 1 1 100
 b, Ta có: 3AAA+ = 4 = 1 − + − + − ... − − 
 3 32 3 3 3 4 3 99 3 100
 1 1 1 1 1 3 1
 Đặt BB=−+1 −+ −− ... = =− , Thay vào A ta được: 
 3 32 3 3 3 4 3 99 4 3.3 99
 3 1 100 3 3
 4AA= − − = 
 4 399 .4 3 100 4 16
 1 1 1 1 1
Bài 28: CMR : − +... + − 
 72 7 4 7 98 7 100 50
HD: 
 1 1 1 1 11
 Đặt A = − +... + − Nhân 49 A => 50AA= 1 − 1 = 
 72 7 4 7 98 7 100 7100 50
 1 1 1 1 1 1 1
Bài 29: Cho A = − + − +... + − , CMR: A 
 72 7 4 7 6 7 8 7 98 7 100 50
Bài 30: CMR : 
 1 1 1 1 1
Bài 31: CMR: A = + + +... + 
 5 52 5 3 5 99 4
 2012 2012 2012 2012
Bài 32: CMR: 1 2 + 2 + 2 + ... + 2 2 
 32011 5+ 1 2011 7 + 2 2011 4019 + 3 2011 + 2011
HD: + + +... + 1
 12 .2 2 2 2 .3 2 3 2 .4 2 2009 2 .2010 2
 2012 2012 2012 2012
 Ta có: , , tương tự như vậy : 
 201122+ 1 2011 201122+ 2 2011
 2012 2012 2012 2012.2011 2012
 AA + +... + = = 2 = 2 
 20112 2011 2 2011 2 2011 2 2011
 2012 2012 2012 2012
 Mặt khác: , = , Tương tự như vậy: 
 201122++ 1 2011 2011 201122++ 2 2011 2011
 2012 2012 2012 2012.2011 2012.2011
 A + +... + = = = 1 
 20112+ 2011 2011 2 + 2011 2011 2 + 2011 2011 2 + 2011 2011( 2011 +1)
GV: Ngô Thế Hoàng_ THCS Hợp Đức 5