Chuyên đề Bất đẳng thức, bất phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 Chân trời sáng tạo

 136
 Chûúng
 BẤT ĐẲNG THỨC.2
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬCBẤT NHẤT ĐẲNG MỘT THỨC. ẨN
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 Baâi 1 BẤT ĐẲNG THỨC
 AA TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
 1 Bất đẳng thức
 Khi biºu di¹n sè thực tr¶n trục sè, điểm biºu đến sè b² hơn n¬m trước điểm biºu di¹n sè lớn hơn. Ch¯ng h¤n,
 −2;5 < −1 < 1;5.
 2;5 −1 0 1 1;5
 ○ Sè a lớn hơn hoặc b¬ng sè b, tùc là a > b hoặc a = b, k½ hi»u là a ≥ b.
 ○ Sè a nhỏ hơn hoặc b¬ng sè b, tùc là a < b hoặc a = b, k½ hi»u là a ≤ b.
 Ta gọi h» thùc d¤ng a > b (hay a < b, a ≥ b, a <≤ b) là b§t đẳng thùc và gọi a là v¸ tr¡i, b là v¸ ph£i cõa b§t
 đẳng thùc.
 2 Tính chất bất đẳng thức
 2.1. Tính chất bắc cầu
 ǥ T½nh ch§t. Cho ba sè a, b, c. N¸u a > b và b > c th¼ a > c (t½nh ch§t b­c c¦u).
 o T½nh ch§t này v¨n đúng với c¡c b§t đẳng thùc có d§u <, ≥, ≤.
 2.2. Tính chất liên hệ thứ tự và phép cộng
 ○ Hai b§t đ¯ng thùc a > b và m > n được gọi là hai b§t đẳng thùc cùng chi·u.
 ○ Hai b§t đ¯ng thùc a > b và m < n được gọi là hai b§t đẳng thùc ngược chi·u.
 Ta th§y: Khi cëng cùng mët sè vào c£ hai v¸ cõa mët b§t đẳng thùc th¼ được mët b§t đẳng thùc mới cùng
 chi·u với b§t đẳng thùc đã cho.
 Mët c¡ch têng qu¡t, ta có:
 ǥ T½nh ch§t. Cho ba sè a, b, c. N¸u a > b th¼ a + c > b + c.
 o T½nh ch§t này v¨n đúng với c¡c b§t đẳng thùc có d§u <, ≥, ≤.
 2.3. Tính chất liên hệ thứ tự và phép nhân
 Khi nh¥n hai v¸ cõa mët b§t đẳng thùc với cùng mët sè dương th¼ được mët b§t đẳng thùc mới cùng chi·u
 với b§t đẳng thùc đã cho.
 Khi nh¥n hai v¸ cõa mët b§t đẳng thùc với cùng mët sè ¥m th¼ được mët b§t đẳng thùc mới ngược chi·u
 với b§t đẳng thùc đã cho.
 Mët c¡ch têng qu¡t, ta có:
136/476 136/476 138
 1. BẤT ĐẲNG THỨC
 Ą Ví dụ 5.
 Khi đi đường, chúng ta có thº th§y c¡c biºn b¡o giao thông b¡o hi»u giới h¤n tèc độ
 mà xe cơ giới được ph²p đi (h¼nh b¶n). Vi¸t c¡c b§t đẳng thùc để mô t£ tèc độ cho
 ph²p trong t¼nh huèng mở đầu biºn b¡o:
 a) Æ tô ở làn giúa; b) Xe m¡y ở làn b¶n ph£i.
 ɓ Lời giải.
 Với x là tèc độ cho ph²p cõa ô tô (xe m¡y), ta có:
 a) Æ tô ở làn giúa: x ≤ 50. b) Xe m¡y ở làn b¶n ph£i: x ≤ 50.
 □
 Ą Ví dụ 6. Gọi a là sè tuèi cõa b¤n Na, b là sè tuêi cõa b¤n Toàn, bi¸t r¬ng b¤n Toàn lớn tuêi hơn b¤n Na.
 H¢y dùng b§t đẳng thùc để biºu di¹n mèi quan h» v· tuêi cõa hai b¤n đó ở hi»n t¤i và sau ba n«m núa.
 ɓ Lời giải.
 B§t đẳng thùc biºu di¹n sè tuêi cõa b¤n Toàn và b¤n Na là
 b > a:
 Cëng 3 vào hai v¸ cõa b§t đẳng thùc b > a, ta được b§t đẳng thùc biºu di¹n sè tuêi sau ba n«m cõa b¤n Toàn và
 b¤n Na
 b + 3 > a + 3:
 □
 Ą Ví dụ 7. X¡c định v¸ tr¡i và v¸ ph£i cõa c¡c b§t đẳng thùc sau:
 a) −2 > −7; b) a2 + 1 > 0.
 ɓ Lời giải.
 a) V¸ tr¡i là −2 , v¸ ph£i là −7. b) V¸ tr¡i là a2 + 1, v¸ ph£i là 0.
 □
 Ą Ví dụ 8. Trong c¡c cặp b§t đẳng thùc sau đây, cặp b§t đẳng thùc nào cùng chi·u?
 p p p p p p
 a) 3 7 và 6 > 34. c) 17 > 13 và 82 < 97.
 ɓ Lời giải.
 Cặp b§t đẳng thùc ở c¡c c¥u a, b là cặp b§t đẳng thùc cùng chi·u. Cặp b§t đẳng thùc ở c¥u c là cặp b§t đẳng
 thùc ngược chi·u. □
 | Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức
 Ą Ví dụ 9. Chùng minh r¬ng:
 2 024 2021 2 024 2022
 a) > ; b) > 1;9; c) − > −1;1.
 2 023 2022 1000 2 023
 ɓ Lời giải.
138/476 138/476 140
 1. BẤT ĐẲNG THỨC
 Ą Ví dụ 13. Chùng minh:
 a) (a + 1)2 ≤ 2a + 2 với a2 ≤ 1. b) (a − 1)2 ≥ 4 − 2a với a2 ≥ 3. c) (a − 1)2 ≥ a2 − 1 với a ≤ 1.
 ɓ Lời giải.
 a) Do a2 ≤ 1 n¶n a2 + 2a + 1 ≤ 1 + 2a + 1, suy ra (a + 1)2 ≤ 2a + 2. Vªy (a + 1)2 ≤ 2a + 2.
 b) Do a2 ≥ 3 n¶n a2 − (2a − 1) ≥ 3 − (2a − 1), suy ra a2 − 2a + 1 ≥ 4 − 2a. Vªy (a − 1)2 ≥ 4 − 2a với a2 ≥ 3.
 c) V¼ a ≤ 1 n¶n −2a ≥ −2, suy ra −2a + a2 + 1 ≥ −2 + a2 + 1. Do đó (a − 1)2 ≥ a2 − 1.
 □
 Ą Ví dụ 14. Cho a > b và c > d. Chùng minh a + c > b + d.
 ɓ Lời giải.
 Do a > b n¶n a + c > b + c.
 L¤i có c > d n¶n b + c > b + d.
 Vªy a + c > b + d. □
 Ą Ví dụ 15. Cho a; b; c; d là c¡c sè thực dương thỏa m¢n a > b và c > d. Chùng minh: ac > bd.
 ɓ Lời giải.
 Do a > b n¶n ac > bc (v¼ c > 0).
 L¤i có c > d n¶n bc > bd (v¼ b > 0).
 Vªy ac > bd. □
 Ą Ví dụ 16. Cho a < b. Chùng minh
 a) a + b > 2a; b) 5a − b < 4a; c) a − 1 < b + 6.
 ɓ Lời giải.
 o Để chùng minh A > B ta có thº chùng minh A − B > 0.
 Do a 0 và a − b < 0.
 a) X²t hi»u a + b − 2a = b − a > 0. Vªy a + b > 2a.
 b) X²t hi»u (5a − b) − 4a = a − b < 0. Vªy 5a − b < 4a.
 c) X²t hi»u (b + 6) − (a − 1) = b − a + 7.
 Do b − a > 0 và 7 > 0 n¶n (b − a) + 7 > 0.
 Vªy (b + 6) − (a − 1) > 0 hay a − 1 < b + 6.
 □
 Ą Ví dụ 17. Cho a ≥ 2b. Chùng minh:
 a) 2a − 1 ≥ a + 2b − 1; b) 4b + 4a ≤ 5a + 2b.
 ɓ Lời giải.
 o Để chùng minh A > B ta có thº chùng minh A − B > 0.
 Do a ≥ 2b n¶n a − 2b ≥ 0.
 a) X²t hi»u (2a − 1) − (a + 2b − 1) = a − 2b ≥ 0. Vªy 2a − 1 ≥ a + 2b − 1.
 b) X²t hi»u (5a + 2b) − (4b + 4a) = a − 2b ≥ 0. Vªy 5a + 2b ≥ 4b + 4a hay 4b + 4a ≤ 5a + 2b.
 □
140/476 140/476 142
 1. BẤT ĐẲNG THỨC
 a) V¼ 2 023 < 2 024 n¶n
 2 023 + (−19) < 2 024 + (−19) cëng vào hai v¸ với cùng mët sè − 19:
 Vªy 2 023 + (−19) < 2 024 + (−19).
 b) V¼ 19 > −31 n¶n
 19 + 2 023 > −31 + 2 023 cëng vào hai v¸ với cùng mët sè 2 023:
 Vªy 19 + 2 023 > −31 + 2 023.
 p
 c) V¼ 2 < 2 n¶n p
 2 + 2 < 2 + 2 cëng vào hai v¸ với cùng mët sè 2:
 p
 Vªy 2 + 2 < 4.
 d) Ta có −3 < −2 n¶n
 −3 + 2350 < −2 + 2350 Cëng hai v¸ cõa b§t đẳng thùc với 2350:
 Vªy −3 + 2350 < −2 + 2350.
 □
 Ą Ví dụ 23. Cho a < b, h¢y so s¡nh:
 a) a − 3 và b − 3; b) −5a + 1 và −5b + 1.
 ɓ Lời giải.
 a) Ta có a < b. Cëng th¶m −3 vào hai v¸ ta được a − 3 < b − 3.
 b) Ta có a −5b. Cëng th¶m 1 vào hai v¸, ta được −5a + 1 > −5a + 1.
 □
 Ą Ví dụ 24. Cho sè a b§t k¼, h¢y so s¡nh:
 a) a và a − 4; b) a − 7 và a + 5.
 ɓ Lời giải.
 a) Ta có 0 > −4. Cëng th¶m a vào hai v¸ ta được a > a − 4.
 b) Ta có −7 < 5. Cëng th¶m a vào hai v¸ ta được a − 7 < a + 5.
 □
 Ą Ví dụ 25. Thay ? trong c¡c biºu thùc sau bởi d§u th½ch hñp () để được kh¯ng định đúng.
 a) 3 · (−7) ? 3 · (−5); b) (−3) · (−7) ? (−3) · (−5).
 ɓ Lời giải.
 a) V¼ −7 0 n¶n 3 · (−7) < 3 · (−5). nh¥n c£ hai v¸ cõa b§t đẳng thùc với sè dương.
 b) V¼ −7 (−3) · (−5). nh¥n c£ hai v¸ cõa b§t đẳng thùc với sè ¥m.
 □
142/476 142/476 144
 1. BẤT ĐẲNG THỨC
 | Dạng 4. Bài toán thực tế
 Ą Ví dụ 29. Mët nhà tài trñ dự ki¸n tê chùc mët buêi đi d¢ ngo¤i tªp thº nh¬m giúp c¡c b¤n học sinh vùng
 cao tr£i nghi»m thực t¸ t¤i mët trang tr¤i trong 1 ngày (tø 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau).
 Cho bi¸t sè ti·n tài trñ dự ki¸n là 30 tri»u đồng và gi¡ thu¶ c¡c dịch vụ và pháng ngh¿ là 17 tri»u đồng 1 ngày,
 gi¡ méi su§t «n trưa, «n tèi là 60 000 đồng và méi su§t «n s¡ng là 30 000 đồng. Hỏi có thº tê chùc cho nhi·u
 nh§t bao nhi¶u b¤n tham gia được?
 ɓ Lời giải.
 ∗
 Gọi sè b¤n tham gia là x (x 2 N ).
 Theo đề bài ta có 17 000 000 + (60 000 + 30 000)x ≤ 30 000 000 hay 90 000x ≤ 13 000 000.
 1300
 Suy ra x ≤ = 144;(4).
 9
 Vªy có thº tê chùc nhi·u nh§t cho 144 b¤n tham gia. □
 Ą Ví dụ 30. Mët ca nô đi xuôi dáng trong 2 giờ 30 phút. Bi¸t r¬ng tèc độ cõa ca nô khi nước y¶n lặng không
 qu¡ 40 km/h và tèc độ cõa dáng nước là 6 km/h. Chùng minh qu¢ng đường ca nô đi được trong thời gian
 tr¶n không vượt qu¡ 115 km/h.
 ɓ Lời giải.
 Gọi tèc độ cõa ca nô khi nước y¶n lặng là x (km/h) (x > 6). Tèc độ ca nô đi xuôi dáng là x + 6 (km/h).
 Ta có x ≤ 40 n¶n x + 6 ≤ 40 + 6, tùc là x + 6 ≤ 46.
 Gọi s (km) là qu¢ng đường ca nô đi được trong 2 giờ 30 phút = 2;5 giờ.
 Ta có s = 2;5 · (x + 6) (km). Do x + 6 ≤ 46 n¶n 2;5 · (x + 6) ≤ 2;5 · 46 = 115 hay s ≤ 115.
 Vªy qu¢ng đường ca nô đi đi được trong 2 giờ 30 phút không vượt qu¡ 115 km. □
 Ą Ví dụ 31. Ch¿ sè cơ thº, thường được bi¸t đến với t¶n vi¸t t­t BMI (ti¸ng anh là Body Mass Index) cho
 ph²p đánh gi¡ thº tr¤ng cõa mët người là g¦y, b¼nh thường hay b²o. Ch¿ sè cơ thº cõa người được t½nh theo
 m
 công thùc sau BMI = , trong đó m là khèi lượng lượng cơ thº t½nh theo kilôgam, h là chi·u cao t½nh theo
 h2
 m²t. C«n cù vào b£ng đánh gi¡ thº tr¤ng ở người lớn theo BMI đối với khu vực ch¥u Á - Th¡i B¼nh Dương,
 mët người đàn ông có BMI ≥ 30 s³ bị b²o ph¼ đë II (trung b¼nh) hoặc độ III (nặng), người đó c¦n ph£i có
 bi»n ph¡p tªp thº dục, thº thao, thay đổi ch¸ độ dinh dưỡng để có được cơ thº khỏe m¤nh (Nguồn: To¡n
 7—Tªp Hai, NXB Gi¡o dục Vi»t Nam, n«m 2017). B¡c Dũng có chi·u cao 1;65 và c¥n nặng ½t nh§t là 82 kg.
 Hỏi b¡c Dũng có bị b²o ph¼ độ II hoặc độ III không?
 ɓ Lời giải.
 Gọi m (kg) là khèi lượng cơ thº cõa b¡c Dũng, h (m) là chi·u cao cõa b¡c Dũng.
 Theo gi£ thi¸t, ta có m ≥ 82; h = 1;65. Do đó ch¿ sè BMI cõa b¡c Dũng là
 m m
 BMI = =
 (1;65)2 2;7225
 m 82
 Do m ≥ 82 n¶n ≥ .
 2;7225 2;7225
 82 m
 V¼ ≈ 30;11938 và 30;11938 > 30 n¶n > 30.
 2;7225 2;7225
 Như vªy b¡c Dũng có thº đã bị b²o ph¼ độ II hoặc độ III. □
 | Dạng 5. Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
 ○ N¸u f(x) ≥ k (k là h¬ng sè) và d§u “=” x£y ra khi và ch¿ khi x = a th¼ gi¡ trị nhỏ nh§t cõa f(x) là k
 khi và ch¿ khi x = a.
 Ta vi¸t min f(x) = k khi và ch¿ khi x = a.
144/476 144/476