Chuyên đề Bài toán thực tế Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

 TUYỂN TÂP BÀI TOÁN THỰC TẾ 
 ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG 
 TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 (CÓ BÀI GIẢI CHI TIẾT)
Bài 1: Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao của một cây 
dừa, với các kích thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí 
chân của người thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người 
ngắm là 1,6m. Hỏi với các kích thước trên thì người thợ đo được chiều cao của cây đó 
là bao nhiêu? (làm tròn đến mét). 
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán:
 C
 B D
 1,6m
 4,8m
 A H AB 45
 tanACB 1,5 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
 AC 30
 ACˆ B 56018'
  Vậy tính độ dài AB = 45m và số đo góc ACB là 56018’
Bài 3: Một cây cau có chiều cao 6m. Để hái một buồn cau xuống, phải đặt thang tre sao 
cho đầu thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết 
chiếc thang dài 8m (làm tròn đến phút)
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán: 
 C
 8m 6m
 ?
 B A
  Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: 
 AC 6 3
 sinB (tỉ số lượng giác của góc nhọn) 
 BC 8 4
 Bˆ 48035'
  Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là 48035'
Bài 4: Một máy bay đang bay ở độ cao 12km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường 
đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất. AC
 sinB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
 BC
 AC 12
 BC 137,7km
 sinB sin50
  Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh khi cách sân bay 137,7km
Bài 5: Hải đăng kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận là 
ngọn hải đăng được trung tâm sách kỷ lục Việt Nam xác nhận là ngọn hải đăng cao nhất 
và nhiều tuổi nhất. Hải đăng Kê Gà được xây dựng từ năm 1897 – 1899 và toàn bộ bằng 
đá. Tháp đèn có hình bát giác, cao 66m so với mực nước biển. Ngọn đèn đặt trong tháp 
có thể phát sáng xa 22 hải lý (tương đương 40km). 
 Một người đi thuyền thúng trên biển, muốn đến ngọn hải đăng có độ cao 66m, 
người đó đứng trên mũi thuyền và dùng giác kế đo được góc giữa thuyền và tia nắng 
chiều từ đỉnh ngọn hải đăng đến thuyền là 25 0. Tính khoảng cách của thuyền đến ngọn 
hải đăng (làm tròn đến m). 
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán:
 B
 66m
 250
 A ? C
  Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: 
 AB
 tanC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
 AC Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán:
 A
 750 750
 B H C
  Do tam giác ABC cân nên đường cao AH cũng là trung tuyến hay H là trung 
điểm BC 
  Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:
 AH
 sinB (tỉ số lượng giác của góc nhọn) 
 AB
 AH 2
 AB 2,07m
 sinB sin750
  Vậy thang đơn cần có chiều dài 2,07m
Bài 8: Từ một đài quan sát cao 350m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một 
chiếc thuyền bị nạn dưới góc 20 0 so với phương ngang của mực nước biển. Muốn đến 
cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài bao nhiêu mét?  Dựa vào hình vẽ bài toán, ta có:
 B 8,3cm A
 5,7cm
 C
  Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
 AC 5,7
 tanB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
 AB 8,3
 Bˆ 34028' 
  Và: BC2 AB2 AC2 (định lý Pytago)
 BC AB2 AC2 8,3 2 5,7 2 10,1 cm 
  Vậy góc tạo bởi chùm tia với mặt da là 34 028’ và chùm tia phải đi một đoạn 
 dài khoảng 10,1cm để đến được khối u.
Bài 10: Một người quan sát đứng cách một cái tháp 10m, nhìn thẳng đỉnh tháp và chân 
tháp lần lượt dưới 1 góc 55 0 và 100 so với phương ngang của mặt đất. Hãy tính chiều 
cao của tháp. 
 550
 100
 10m
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán: Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán:
 B
 8,1m
 400
 A C
 D 2,6m
 1m
 K H
  Ta có: AK CH 
 AD DK CH 
 AD CH DK 2,6 1 1,6m 
  Mà: AB AD BD 
 AB BD AD 8,1 1,6 6,5m
  Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: 
 AB
 sinC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
 BC
 AB 6,5
 BC 10,1m 
 sinC sin400
  Vậy cần cẩu phải dài 10,1m
Bài 12: Một con thuyền qua khúc sông với vận tốc 3,5km/h mất hết 6 phút. Do dòng 
nước chảy mạnh nên đã đẩy con thuyền đi qua sông trên đường đi tạo với bờ một góc 
250. Hãy tính chiều rộng của con sông? Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán: 
 B'
 B ?
 7m
 A 14m C A' 272m C'
  Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc C bằng 
góc C’ 
 AB A'B'
 tanC tanC' (tỉ số lượng giác của góc nhọn) 
 AC A'C'
 AB.A'C' 7.272
 A'B' 136m
 AC 14
 136
  Vậy tòa nhà có: 40 (tầng)
 3,4
Bài 14: Tòa nhà Bitexco Financial, Bitexco Financial Tower hay Tháp Tài chính 
Bitexco là một tòa nhà chọc trời được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ 
Chí Minh. Tòa nhà có 68 tầng (không tính 3 tầng hầm). Biết rằng, khi tòa nhà có bóng 
in trên mặt đất dài 47,3 mét, thì cùng thời điểm đó có một cột tiêu (được cắm thẳng đứng 
trên mặt đất) cao 15 mét có bóng in trên mặt đất dài 2,64 mét.  Vậy chiều cao của tòa nhà là 268,8m
Bài 15: Giông bão thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và 
ngọn cây tạo với mặt đất một góc 30 0. Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây 
chạm đất đến gốc cây tre là 8,5m. Giả sử cây tre mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính 
chiều cao của cây tre đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) 
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán: 
 B
 D
 300
 C 8,5m A
  Xét ∆ADC vuông tại C, ta có: 
 AD
 tanDCA (tỉ số lượng giác của góc nhọn) 
 AC
 AD AC.tanDCA 8,5.tan300 m 
 AC
  Và: cosDCA (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
 DC
 AC 8,5
 DC m 
 cosDCA cos300 AB AB
 AC m (2) 
 tanACB tan300
  Ta có: AD DC AC (vì D thuộc AC)
 AB AB
 89 
 tan400 tan300
 AB AB
 89
 tan300 tan400
 1 1 
 AB. 89
 tan300 tan400 
 89
 AB 
 1 1
 tan300 tan400
 AB 164,7m
  Vậy chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu là 164,7m
Bài 17: Hai người A và B đứng cùng bờ sông nhìn ra một cồn nổi giữa sông. Người A 
nhìn ra cồn với 1 góc 430 so với bờ sông, người B nhìn ra cồn với 1 góc 28 0 so với bờ 
sông, 2 người đứng cách nhau 250m. Hỏi cồn cách bờ sông hai người đang đứng là bao 
nhiêu m? 
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán: Bài giải:
  Xét ∆AIK vuông tại I, ta có:
 AI
 tanAKI (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
 IK
 AI IK.tanAKI 380.tan500 453m
  Xét ∆BIK vuông tại I, ta có:
 BI
 tanBKI (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
 IK
 BI IK.tanBKI 380.tan 150 500 380.tan650 815m
  Ta có: AB AI BI 
 AB BI AI 815 453 362m
  Vậy khoảng cách giữa chúng là 362m
Bài 19: Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và 
xuống một con dốc như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn AB dài 762m, góc A = 60, góc B = 
40. 
 C
 60 40
 A H B 0
 SAC AC 32/sin6
 t AC s 
 vAC vAC 14,4
  Thời gian xuống dốc CB là: 
 0
 SCB CB 32/sin4
 t CB s 
 vCB vCB 68,4
  Thời gian đi từ A đến B là: 
 32 32
 t t t 362,44s 6 phút 3 giây
 AB AC CB 10 95
 .sin60 .sin40
 9 18
Bài 20: Trong một buổi luyện tập, một tàu ngầm ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống và 
di chuyển theo một đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc 210. 
 a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 250m thì tàu ở độ sâu bao 
 nhiêu so với mặt nước (làm tròn đến đơn vị mét). 
 b) Giả sử tốc độ trung bình của tàu là 9km/h thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu 
 lặn) tàu ở độ sâu 200 mét (cách mặt nước biển 200m) làm tròn đến phút. 
 Bài giải:
 a)  Hình vẽ minh họa bài toán:
 A C
 210
 B
  Xét ∆ABC vuông tại C, ta có:
 CB
 sinA (tỉ số lượng giác của góc nhọn) 
 AB