Chuyên đề Bài toán thực tế Ôn thi vào 10 - Chủ đề: Ứng dụng đường tròn

 TUYỂN TÂP BÀI TOÁN THỰC TẾ 
 ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN
 (CÓ BÀI GIẢI CHI TIẾT)
Bài 1: Ở các nước xứ lạnh, vào mùa Đông thường có tuyết rơi dày đặc khắp các con đường, trẻ em 
tại đây rất thích đắp hình dạng của người tuyết. Có thể xem phần thân dưới và thân trên của người 
tuyết là hai hình cầu tiếp xúc nhau. Em hãy tính kích thước của hai viên tuyết cần đắp để được một 
người tuyết cao 1,8m biết rằng đường kính của phần thân dưới phải gấp đôi đường kính của phần 
thân trên người tuyết. 
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán:
 A
 O'
 O
 B
  Ta có: 1,8m = 180cm
  Gọi r (cm) là bán kính của đường tròn nhỏ
 Đường kính của đường tròn nhỏ là 2r (cm) (r > 0) 
 Đường kính của đường tròn lớn là: 2.2r = 4r (cm) 
  Ta có: 2r + 4r = 180 (vì (O) tiếp xúc với (O’)) 
 6r 180 r 30cm Bài 3: Khí cầu là một túi đựng không khí nóng, thường có khối lượng riêng nhỏ hơn không khí 
xung quanh và nhờ vào lực đẩy Ác-si-mét có thể bay lên cao. Giả sử có thể xem khinh khí cầu là 
một khối cầu và các dây nối sẽ tiếp xúc với khối cầu này. Hãy tính chiều dài của các dây nối để 
khoảng cách từ buồng lái đến điểm thấp nhất của khí cầu là 8m. Biết rằng bán kính của khối cầu 
này là 10m. 
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán:
 O
 B C
 D
 A
  Ta có: OB = OC = OD = R = 10m 
 OA = AD + DO = 8 + 10 = 18m 
  Xét ∆ABO vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến của (O))
 OA2 OB2 AB2 (định lí Pytago) 
 AB2 OA2 OB2 182 102 224
 AB 224 4 14 15m
  Vậy chiều dài của các dây nối thỏa yêu cầu bài toán là 15m.
Bài 4: Người ta muốn xây dựng một cây cầu bắc qua một hồ nước hình tròn có bán kính 2km. Hãy 
tính chiều dài của cây cầu để khoảng cách từ cây cầu đến tâm của hồ nước là 1732m. Bài giải: 
  Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa. Điều này có 
 nghĩa khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức 
 tường và mặt đất. 
  Hình vẽ minh họa bài toán:
 B
 O
 300
 600
 A
 C
  Ta có: OB = OC = 20cm (gt) 
 BAˆ C 600 (gt) 
 1 1
 OAˆ B BAˆ C .600 300 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 
 2 2
  Xét ∆OAB vuông tại B (vì AB tiếp tuyến của (O) nên AB  OB) 
 OB
 sinBAˆ O (tỉ số lượng giác góc nhọn) 
 OA
 OB 20
 OA 40cm
 sinBAˆ O sin300
  Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường là 40cm. OC OP.cosPOC 6400.cos23030' 5869km 
 CH OH OC 6400 5864 53,1km
  Vậy độ sâu nhất của đường hầm so với bề mặt Trái Đất là 531km.
Bài 7: Một quả cầu gỗ có bán kính là R = 5cm được đặt trên một cái đế bằng gỗ có dạng là một 
 R
nửa mặt cầu bán kính bằng . Hãy tính khoảng cách từ mặt đất đến điểm cao nhất của mặt cầu gỗ. 
 2
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán: 
 E
 O
 H
 A B
 D
  Gọi H là trung điểm của AB và dây AB không qua tâm O 
 OH  AB (liên hệ giữa đường kính và dây cung) 
 R
  Ta có: AB 2. R (vì AB là đường kính) 
 2
  Xét ∆OAB có: OA = OB = AB = R 
 ∆OAB đều 
 OAˆ B 600 hay OAˆ H 600
  Xét ∆AHO vuông tại H A
 C
 B
 O O'
  Vẽ O’C vuông góc với OB (C thuộc OB) 
  Xét tứ giác CABO’ có: Cˆ Aˆ Bˆ 900 (vì AB là tiếp tuyến chung của (O), (O’) và O’C 
 OB)
 Tứ giác O’ABC là hình chữ nhật 
 AC = BO’ 
 OC = OA – AC = OA – O’B = R – r = 20 – 10 = 10cm 
  Xét ∆OCO’ vuông tại C 
 OO'2 OC2 O'C2 (định lý Pytago) 
 O'C2 OO'2 OC2 602 102 3500
 O'C 3500 10 35cm
 AB O'C 10 35cm (vì O’ABC là hình chữ nhật) 
Bài 9: Vinasat-1 là vệ tinh viễn thông địa tĩnh đầu tiên của Việt Nam được phóng vào vũ trụ lúc 22 
giờ 17 phút ngày 18 tháng 4 năm2008 (giờ UTC). Dự án vệ tinh Vinasat-1 đã khởi động từ năm 
1998 với tổng mức đầu tư là khoảng hơn 300 triệu USD. Việt Nam đã tiến hành đàm phán với 27 
quốc gia và vùng lãnh thổ để có được vị trí 132 độ Đông trên quỹ đạo địa tĩnh. 
Hãy tìm khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất. Biết rằng khi vệ tinh phát tín hiệu vô tuyến 
đến một điểm xa nhất trên mặt đất thì từ lúc phát tín hiệu đến mặt đất cho đến lúc vệ tinh thu lại 
được tín hiệu phản hồi mất khoảng thời gian là 0,28s. Trái đất được xem như một hình cầu có bán 
kính khoảng 6400km. (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị), giả sử vận tốc sóng vô 
tuyến là 3.108 m/s. một tín hiệu (truyền bằng sóng cực ngắn) được truyền đi từ vệ tinh A truyền đến vệ tinh B theo 
phương AB. Hỏi vệ tinh B có nhận được tín hiệu đó không? Biết khoảng cách giữa A và B theo 
đường thẳng là 2200km và bán kính Trái Đất là 6400km.
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán:
 A H B
 M N
 O
  Kẻ OH  AB H AB 
  Gọi M, N lần lượt là giao điểm của OA, OB với đường tròn (O).
  Ta có: AM BN 230 km (gt)
 OM ON R 6400 km 
 OA OB AM OM 230 6400 6630 km 
  AOB có OA = OB nên là tam giác cân tại O. 
 OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến. 
 H là trung điểm AB. 
 AB 2200
 HA HB 1100 km 
 2 2  OA cắt đường tròn (O, OA) tại điểm D D A AD 2R 
  ∆ACD nội tiếp đường tròn (O, OA) có đường kính AD nên là tam giác vuông tại C.
  Xét ∆ACD vuông tại C, đường cao BC, ta có: 
 CB2 AB.BD (hệ thức lượng trong tam giác vuông) 
 CB2 AB AD AB 
 CB2 AB 2R AB 
 28,4 2 1,2 2R 1,1 
 2R 807,77
 R 367,2m
Bài 12: Một chiếc cầu được thiết kế như hình bên dưới có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. 
Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB, (MK đi qua tâm của đường tròn chứa cung 
AMB)
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán:
 M
 3m
 A B
 20m K
 O
 N  Hình vẽ minh họa bài toán: 
 A
 B
 H
 850
 O
 O C B
  Xét ∆OBC vuông tại O 
 OC
 tanOBˆ C (tỉ số lượng giác góc nhọn) 
 OB
 OC OB.tanOBˆ C 85.tan850 971,6m 
  Ta có: 971,6 > 750 do đó đèn chiếu sáng được một đoạn của chiếc cầu 
  Xét ∆OHD vuông tại H
 OD2 OH2 HD2 (định lý Pytago) 
 HD2 OD2 OH2 971,62 7502
 HD 971,62 7502 617,7m
 AD 2HD 2.617,7 1235,4m
  Vậy độ dài đoạn cầu được chiếu sáng là khoảng 1235,4m.
Bài 14: Ở một nước nọ, có một hòn đảo hình tròn ở ngoài biển. Hãy xác định vị trí để làm một cái 
cầu AB (A là một điểm trên đất liền, B là một điểm trên đảo) sao cho độ dài của cây cầu là ngắn 
nhất. 
Bài giải:
  Hình vẽ minh họa bài toán: A
 B
 O O'
  Xét 3 điểm O’, A, B ta có: AB O'A O'B
 Xét 3 điểm O’, O, A ta có: O'A OO' OA
 AB OO' OA O'B 950 500 300 150m 
 Dấu “=” xảy ra khi O, A, B, O’ thẳng hàng theo thứ tự đó 
  Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu sẽ có chiều dài ngắn nhất là 
150m.